?人教版2021屆一輪復習打地基練習 空間中直線與平面間的關系
一．選擇題（共4小題）
1．設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則（　　）
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若m∥n，n⊥α，則m⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β
2．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是（　　）
A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
3．已知m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個不同的平面，下列命題正確的是（　?。?br /> A．若n⊥α，n⊥β，m?β，則m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，則m∥β
C．若m，n在γ內的射影互相平行，則m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，則m⊥α
4．已知α、β是兩個不同平面，m，n，l是三條不同直線，則下列命題正確的是（　　）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥β B．若m?α，n?α，l⊥n，則l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n D．若l⊥α且l⊥β，則α∥β
二．填空題（共15小題）
5．已知a，b，c是直線，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，則b與α的位置關系是 　 ?。?br /> （2）若b⊥α，a⊥b，則a與α的位置關系是 　 ?。?br /> 6．已知a，b表示兩條不同直線，α，β，γ表示三個不同平面，給出下列命題：
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；
②若a?α，a垂直于β內的任意一條直線，則α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；
④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線；
⑤若a⊥α，a⊥β，則α∥β．
上述五個命題中，正確命題的序號是　 ?。?br /> 7．設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題：
①若a⊥b，a⊥α，則b∥α；②若a∥α，α⊥β，則a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，則a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β．
其中正確的命題序號是　 　．
8．設m，n為空間兩條不同的直線，α，β為空間兩個不同的平面，給出下列命題：
①若m∥α，m∥β，則α∥β； ②若m⊥α，m∥β，則α⊥β；
③若m∥α，m∥n，則n∥α； ④若m⊥α，α∥β，則m⊥β．
其中的正確命題序號是　 ?。?br /> 9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，BB1，B1C1的中點，則下列結論中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正確結論的序號是　 　．

10．下列命題中正確的是　 ?。ㄌ钚蛱枺?br /> ①若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線都是異面直線；
②若兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條一定與該平面相交；
③若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線平行或異面．
11．下列命題：
①如果直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；
②如果直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；
③如果直線l不垂直于平面α，則平面α內沒有與l垂直的直線；
④如果直線l不垂直于平面α，則平面α內也可以有無數(shù)條直線與l垂直．
其中，正確的是　 　．（將你認為正確的序號都填上）
12．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中為真命題的是　 　．
①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，則m⊥n；
③若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β；
④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．
13．設m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，給出下列四個命題，其中是真命題的是　 ?。ㄌ钌险_命題的序號）．
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，則α∥β．
14．給出下列命題：
（1）若平面α內有兩條直線分別平行于平面β，則α∥β；
（2）若平面α內任意一條直線與平面β平行，則α∥β；
（3）過已知平面外一條直線，必能作出一個平面與已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，則有α∥β．
其中正確的命題是 　 ?。ㄌ顚懶蛱枺?br /> 15．若點M是兩條異面直線a，b外的一點，則過點M且與a，b都平行的平面有　 　個．
16．如圖把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下面結論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結論的序號為　 ?。?br />
17．已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中假命題的有　 ?。?br /> ①若a∥b，則α∥β；②若α⊥β，則a⊥b；③若a、b相交，則α、β相交；④若α、β相交，則a，b相交．
18．已知直線a、b和平面α，若a∥b，b?α，則a與α的關系是　 ?。?br /> 19．若直線a與平面α垂直，則a與平面α內的所有直線都垂直．　 　（判斷對錯）
三．解答題（共6小題）
20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求證：DC⊥平面PAC；
（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；
（3）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．

21．（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關系；
（2）已知一個平面內有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關系．
22．如圖，已知∠BAC在平面α內，P?α，∠PAB＝∠PAC，求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．α
23．如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中點．
（1）求證：AD1∥平面DOC1；
（2）求異面直線AD1和DC1所成角．

24．如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論；
（2）判斷MN與平面PAD的位置關系，并證明你的結論．

25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B為EC的中點，如圖1，將三角形ABE沿AB折起到ABE（E?平面ABCD），如圖2
（1）點F為線段AE的中點，判斷直線DF與平面BCE′的位置關系，并說明理由
（2）當△BCE′的面積最大時，求DE′的長．


人教版2021屆一輪復習打地基練習 空間中直線與平面間的關系
參考答案與試題解析
一．選擇題（共4小題）
1．設m、n是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則（　?。?br /> A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若m∥α，m∥β，則α∥β
C．若m∥n，n⊥α，則m⊥α D．若m∥α，α⊥β，則m⊥β
【分析】對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．
【解答】解：對于A，若m∥α，n∥α，則m∥n，或m，n相交、異面，故不正確；
對于B，若m∥α，m∥β，則α∥β或α，β相交，故不正確；
對于C，因為如果兩條平行線中有一條和一個平面垂直，則另一條一定和這個平面垂直，故正確；
對于D，若m∥α，α⊥β，則m、β相交或平行，或m?β，故不正確．
故選：C．
2．已知m，n是兩條不同直線，α，β，γ是三個不同平面，下列命題中正確的是（　?。?br /> A．若m∥α，n∥α，則m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β
C．若m∥α，m∥β，則α∥β D．若m⊥α，n⊥α，則m∥n
【分析】通過舉反例可得A、B、C不正確，根據垂直于同一個平面的兩條直線平行，可得D正確，從而得出結論．
【解答】解：A、m，n平行于同一個平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是異面直線，故A錯誤；
B、α，β 垂直于同一個平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B錯誤；
C、α，β平行于同一條直線m，故α，β 可能相交，可能平行，故C錯誤；
D、垂直于同一個平面的兩條直線平行，故D正確．
故選：D．
3．已知m，n為空間中兩條不同的直線，α，β為空間中兩個不同的平面，下列命題正確的是（　?。?br /> A．若n⊥α，n⊥β，m?β，則m∥α
B．若m⊥α，α⊥β，則m∥β
C．若m，n在γ內的射影互相平行，則m∥n
D．若m⊥l，α∩β＝l，則m⊥α
【分析】根據空間線面位置關系的定義及性質判斷或舉反例說明．
【解答】解：對于A，若n⊥α，n⊥β，則α∥β，
又m?β，∴m∥α，故A正確；
對于B，若m?β，顯然結論錯誤；故B錯誤；
對于C，設α⊥γ，β⊥γ，且α∥β，
設m為α內任意一條不與γ垂直的直線，n為β內任意一條不與γ垂直的直線，
則若m，n在γ內的射影互相平行，顯然m與n不一定平行，故C錯誤；
對于D，若m?α，顯然結論錯誤；故D錯誤；
故選：A．
4．已知α、β是兩個不同平面，m，n，l是三條不同直線，則下列命題正確的是（　　）
A．若m∥α，n⊥β且m⊥n，則α⊥β B．若m?α，n?α，l⊥n，則l⊥α
C．若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m∥n D．若l⊥α且l⊥β，則α∥β
【分析】在A中，α與β相交或平行；在B中，l與α相交、平行或l?α；在C中，m與n相交、平行或異面；在D中，由面面平行的性質定理得α∥β．
【解答】解：由α、β是兩個不同平面，m，n，l是三條不同直線，知：
在A中，若m∥α，n⊥β且m⊥n，則α與β相交或平行，故A錯誤；
在B中，若m?α，n?α，l⊥n，則l與α相交、平行或l?α，故B錯誤；
在C中，若m∥α，n⊥β且α⊥β，則m與n相交、平行或異面，故選C；
在D中，若l⊥α且l⊥β，則由面面平行的性質定理得α∥β，故D正確．
故選：D．
二．填空題（共15小題）
5．已知a，b，c是直線，α是平面．
（1）若a⊥α，a∥b，則b與α的位置關系是 　b⊥α　．
（2）若b⊥α，a⊥b，則a與α的位置關系是 　a?α或a∥α?。?br /> 【分析】（1）由直線與平面垂直的性質判斷；
（2）由直線與平面垂直、直線與直線垂直分析a與α的位置關系．
【解答】解：（1）若a⊥α，a∥b，由直線與平面垂直的性質可得b⊥α；
（2）若b⊥α，a⊥b，則a與α的位置關系是a?α或a∥α．
故答案為：（1）b⊥α；（2）a?α或a∥α．
6．已知a，b表示兩條不同直線，α，β，γ表示三個不同平面，給出下列命題：
①若α∩β＝a，b?α，a⊥b，則α⊥β；
②若a?α，a垂直于β內的任意一條直線，則α⊥β；
③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b；
④若a不垂直于平面α，則a不可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線；
⑤若a⊥α，a⊥β，則α∥β．
上述五個命題中，正確命題的序號是　②⑤　．
【分析】對于①③，根據線面垂直的判斷定理，對于②④⑤線面垂直的性質定理，判斷即可．
【解答】解：對于①，根據線面垂直的判定定理，需要一條直線垂直于兩條相交的直線，故不正確，
對于②a?α，a垂直于β內的任意一條直線，滿足線面垂直的定理，即可得到a⊥β，又a?α，則α⊥β，故正確，
對于③α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，則a⊥b或a∥b，或相交，故不正確，
對于④若a不垂直于平面α，則a可能垂直于平面α內的無數(shù)條直線，故不正確，
對于⑤根據線面垂直的性質，若a⊥α，a⊥β，則α∥β，故正確
故答案為：②⑤
7．設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題：
①若a⊥b，a⊥α，則b∥α；②若a∥α，α⊥β，則a⊥β；
③若a⊥β，α⊥β，則a∥α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β．
其中正確的命題序號是　④?。?br /> 【分析】對于①，b∥α或b?α；對于②，a與β相交、平行或a?β；對于③，a∥α或a?α；對于④，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：設a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則：
對于①，若a⊥b，a⊥α，則b∥α或b?α，故A錯誤；
對于②，若a∥α，α⊥β，則a與β相交、平行或a?β，故②錯誤；
對于③，若a⊥β，α⊥β，則a∥α或a?α，故③錯誤；
對于④，若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故④正確．
故答案為：④．
8．設m，n為空間兩條不同的直線，α，β為空間兩個不同的平面，給出下列命題：
①若m∥α，m∥β，則α∥β； ②若m⊥α，m∥β，則α⊥β；
③若m∥α，m∥n，則n∥α； ④若m⊥α，α∥β，則m⊥β．
其中的正確命題序號是　②④?。?br /> 【分析】在①中，α與β相交或平行；在②中，由面面垂直的判斷定理得α⊥β；在③中，n∥α或n?α；在④中，由線面垂直的判定定理得m⊥β．
【解答】解：由m，n為空間兩條不同的直線，α，β為空間兩個不同的平面，知：
在①中，若m∥α，m∥β，則α與β相交或平行，故①錯誤；
在②中，若m⊥α，m∥β，則由面面垂直的判斷定理得α⊥β，故②正確；
在③中，若m∥α，m∥n，則n∥α或n?α，故③錯誤；
在④中，若m⊥α，α∥β，則由線面垂直的判定定理得m⊥β，故④正確．
故答案為：②④．
9．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，BB1，B1C1的中點，則下列結論中：
①FG⊥BD；②B1D⊥面EFG；
③面EFG∥面ACC1A1；④EF∥面CDD1C1．
正確結論的序號是?、冖堋。?br />
【分析】對于①，推導出FG∥BC1，BC1與BD所成角為60°，從而FG與BD異面，且所成角為60°；對于②，由BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，得到B1D⊥面EFG；對于③，面EFG與面ACC1A1相交；對于④，由EF∥D1C，得到EF∥面CDD1C1．
【解答】解：對于①，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱A1B1，BB1，B1C1的中點，
∴FG∥BC1，∵BC1與BD所成角為60°，∴FG與BD異面，且所成角為60°，故①錯誤；
對于②，∵BD1⊥平面BA1C1，平面BA1C1∥平面FEG，∴B1D⊥面EFG，故②正確；
對于③，∵平面BA1C1∥平面FEG，平面平面BA1C1∩面ACC1A1＝A1C1，
∴面EFG與面ACC1A1相交，故③錯誤；
對于④，∵EF∥A1B，A1B∥D1C，∴EF∥D1C，
∵EF?面CDD1C1，D1C?面CDD1C1，
∴EF∥面CDD1C1．故④正確．
故答案為：②④．

10．下列命題中正確的是?、邸。ㄌ钚蛱枺?br /> ①若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線都是異面直線；
②若兩條異面直線中的一條與一個平面平行，則另一條一定與該平面相交；
③若直線l與平面α平行，則l與平面α內的直線平行或異面．
【分析】在①中，l與平面α內的任意直線是異面直線或相交；在②中，另一條直線一定與該平面平行、相交或在該平面內；在③中，由直線與平行平行的性質得l與平面α內的直線平行或異面．
【解答】在①中，若直線l與平面α相交，則l與平面α內的任意直線是異面直線或相交，故錯誤；
在②中，如果兩條異面直線中的一條與一個平面平行，
則另一條直線一定與該平面平行、相交或在該平面內，故錯誤；
在③中，若直線l與平面α平行，則由直線與平行平行的性質得l與平面α內的直線平行或異面，故正確．
故答案為：③．
11．下列命題：
①如果直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α；
②如果直線l與平面α內的一條直線垂直，則l⊥α；
③如果直線l不垂直于平面α，則平面α內沒有與l垂直的直線；
④如果直線l不垂直于平面α，則平面α內也可以有無數(shù)條直線與l垂直．
其中，正確的是　④?。▽⒛阏J為正確的序號都填上）
【分析】由直線與平面垂直的定義及直線與平面垂直的性質逐一核對四個命題得答案．
【解答】解：如果直線l與平面α內的無數(shù)條直線垂直，則l∥α或l?α或l與α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故①錯誤；
如果直線l與平面α內的一條直線垂直，則l就與α內的無數(shù)條直線垂直，可得l∥α或l?α或l與α相交，相交可能垂直也可能不垂直，故②錯誤；
如果直線l不垂直于平面α，但平面α內仍有無數(shù)條與l垂直的直線，故③錯誤；④正確．
故答案為：④．
12．已知m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中為真命題的是?、冖邰堋。?br /> ①若m∥α，m⊥n，則n⊥α；
②若m⊥α，n∥α，則m⊥n；
③若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則α∥β；
④若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面．
【分析】對于①，n與α相交、平行或n?α；對于②，由線面垂直的性質得m⊥n；對于③，由面面平行的判定定理得α∥β；對于④，由線面垂直的性質得m與n不可能垂直于同一平面．
【解答】解：由m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，知：
對于①，若m∥α，m⊥n，則n與α相交、平行或n?α，故①錯誤；
對于②，若m⊥α，n∥α，則由線面垂直的性質得m⊥n，故②正確；
對于③，若m，n是異面直線，m?α，m∥β，n?β，n∥α，則由面面平行的判定定理得α∥β，故③正確；
對于④，若m，n不平行，則由線面垂直的性質得m與n不可能垂直于同一平面，故④正確．
故答案為：②③④．
13．設m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，給出下列四個命題，其中是真命題的是?、凇。ㄌ钌险_命題的序號）．
①若m?α，n∥α，則m∥n；
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；
③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；
④若m∥α，m∥β，m∥n，則α∥β．
【分析】對于①，m與n相交或平行；對于②，由線面垂直的判定定理得m⊥γ；對于③，m∥β或m?β；對于④，α與β相交或平行．
【解答】解：m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個不同的平面，
對于①，若m?α，n∥α，則m與n相交或平行，故①錯誤；
對于②，若α∥β，β∥γ，則α∥γ，又m⊥α，則由線面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正確；
對于③，若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β或m?β，故③錯誤；
對于④，若m∥α，m∥β，m∥n，則α與β相交或平行，故④錯誤．
故答案為：②．
14．給出下列命題：
（1）若平面α內有兩條直線分別平行于平面β，則α∥β；
（2）若平面α內任意一條直線與平面β平行，則α∥β；
（3）過已知平面外一條直線，必能作出一個平面與已知平面平行；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，則有α∥β．
其中正確的命題是 　（2）（4）?。ㄌ顚懶蛱枺?br /> 【分析】由平面與平面平行的判定判斷（1）；由平面與平面平行的定義判斷（2）與（3）；由平面平行的傳遞性判斷（4）．
【解答】解：（1）由平面與平面平行的判定可知，若平面α內有兩條相交直線分別平行于平面β，則α∥β，故（1）錯誤；
（2）由平面與平面平行的定義可知，若平面α內任意一條直線與平面β平行，則α∥β，故（2）正確；
（3）當平面外的一條直線與平面相交時，過已知平面外一條直線，不能作出一個平面與已知平面平行，故（3）錯誤；
（4）不重合的平面α，β，γ，若α∥γ，β∥γ，由平面與平面平行的傳遞性可得α∥β，故（4）正確．
故答案為：（2）（4）．
15．若點M是兩條異面直線a，b外的一點，則過點M且與a，b都平行的平面有　0或1　個．
【分析】設a?α，b?β，且α∥β，討論M與α，β的關系得出結論．
【解答】解：設a?α，b?β，且α∥β，
若M∈α或M∈β，則不存在平面使得該平面與a，b都平行；
若M?α且M?β，則過M只有1個平面使得該平面與a，b都平行．
故答案為：0或1．

16．如圖把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，對于下面結論：
①AC⊥BD；
②CD⊥平面ABC；
③AB與BC成60°角；
④AB與平面BCD成45°角．
則其中正確的結論的序號為?、佗邰堋。?br />
【分析】逐一判斷正誤，①垂直平面內兩條相交直線，則垂直平面；②平面內過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；
③求角一般要解三角形；④線面角的求法．
【解答】解：取BD的中點為O連接OC、OA．易證BD⊥平面AOC，（1）正確；
把正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，AO⊥平面BCD，所以CD⊥BC、CD⊥OA?CD不垂直AC，（2）不正確；
易證：△AOC≌△BOC，△ABC是正三角形，（3）正確．
AB與平面BCD成的角是∠ABO＝45°（4）正確．
故答案為：①③④．
17．已知a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，則下列命題中假命題的有　④?。?br /> ①若a∥b，則α∥β；②若α⊥β，則a⊥b；③若a、b相交，則α、β相交；④若α、β相交，則a，b相交．
【分析】根據空間空間中線面關系的判定及性質定理逐個分析題目中的4個結論，即可求出答案．由面面平行的判定方法，我們易得①正確；由面面垂直的性質及線線垂直的判定方法我們易得②正確；而由a、b相交，我們用反證法易得α、β也相交，分析即可得到結論．
【解答】解：由a、b為兩條不同的直線，α、β為兩個不同的平面，且a⊥α，b⊥β，
若a∥b，我們可得a⊥α且a⊥β，由垂直于同一直線的兩個平面平行，可得α∥β，故①正確；
若α⊥β，則a∥β或a?β，此時a⊥b，故②正確；
若a、b相交，則表示a，b不平行，則α，β也不平行，則α、β相交，故③正確；
若α、β相交，則a、b既可以是相交直線，也可以是異面直線．故④錯誤
故答案為：④
18．已知直線a、b和平面α，若a∥b，b?α，則a與α的關系是　a∥α或a?α　．
【分析】由題意畫圖說明a∥α或a?α，再由反證法說明a與α不相交．
【解答】解：如圖，

由a∥b，b?α，可得a∥α或a?α，
a與α不可能相交，若a與α相交，則a與b相交或異面，與a∥b矛盾．
故答案為：a∥α或a?α．
19．若直線a與平面α垂直，則a與平面α內的所有直線都垂直．　正確　（判斷對錯）
【分析】線面垂直的性質得a與平面α內的所有直線都垂直．
【解答】解：∵直線a與平面α垂直，
∴由線面垂直的性質得a與平面α內的所有直線都垂直．
故答案為：正確．
三．解答題（共6小題）
20．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求證：DC⊥平面PAC；
（2）求證：平面PAB⊥平面PAC；
（3）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得PA∥平面CEF？說明理由．

【分析】（1）利用線面垂直的判定定理證明DC⊥平面PAC；
（2）利用線面垂直的判定定理證明AB⊥平面PAC，即可證明平面PAB⊥平面PAC；
（3）在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．利用線面平行的判定定理證明．
【解答】（1）證明：∵PC⊥平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC＝C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）證明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC＝C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中點F，使得PA∥平面CEF．
∵點E為AB的中點，
∴EF∥PA，
∵PA?平面CEF，EF?平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
21．（1）已知平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，試判斷這條直線與該平面的位置關系；
（2）已知一個平面內有三點到另一平面距離相等，試判斷這兩個平面的位置關系．
【分析】（1）考慮平面外的一條直線上的兩點在平面的同側或兩側，可得這條直線與該平面的位置關系；
（2）考慮平面內的三個點都在另一個平面的同側、平面內的有兩個點在另一個平面的同側，另一個點在另一個平面的另一側，可判斷這兩個平面的位置關系．
【解答】解：（1）由平面外的一條直線上有兩點到這個平面距離相等，
若平面外的一條直線上的兩點在平面的同側，可得直線和平面平行；
若平面外的一條直線上的兩點在平面的兩側，可得直線和平面相交．
綜上可得，這條直線和該平面平行或相交；
（2）由一個平面內有三點到另一平面距離相等，
若平面內的三個點都在另一個平面的同側，可得這兩個平面平行；
若平面內的有兩個點在另一個平面的同側，另一個點在另一個平面的另一側，可得這兩個平面相交．
故這兩個平面平行或相交．
22．如圖，已知∠BAC在平面α內，P?α，∠PAB＝∠PAC，求證：點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．α
【分析】作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，推導出AB⊥OE，AC⊥OF．從而Rt△AOE≌Rt△AOF，進而∠EAO＝∠FAO，由此能證明點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．
【解答】證明：作PO⊥α，PE⊥AB，PF⊥AC，
垂足分別為O，E，F(xiàn)，連接OE，OF，OA，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠PAE＝∠PAF，PA＝PA，
∴Rt△PAE≌Rt△PAF，∴AE＝AF，
∵PO⊥α，AB?α，∴AB⊥PO，
又∵AB⊥PE，PO∩PE＝P，
∴AB⊥平面PEO，
∴AB⊥OE，同理AC⊥OF．
在Rt△AOE和Rt△AOF，AE＝AF，OA＝OA，
∴Rt△AOE≌Rt△AOF，∴∠EAO＝∠FAO，
∴點P在平面α上的射影在∠BAC的平分線上．

23．如圖，在棱長為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中點．
（1）求證：AD1∥平面DOC1；
（2）求異面直線AD1和DC1所成角．

【分析】（1）連接D1C交DC1于點O1，連接OO1．結合三角形中位線定理，可線面平行的判定定理，可得AD1∥平面DOC1；
（2）由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．解△OO1D可得答案．
【解答】（1）證明：如圖，連接D1C交DC1于點O1，連接OO1．

∵O、O1分別是AC和D1C的中點，
∴OO1∥AD1．
又OO1?平面DOC1，AD1?平面DOC1，
∴AD1∥平面DOC1．
（2）解：由OO1∥AD1知AD1和DC1所成的角等于OO1和DC1所成的角．
在△OO1D中，由題設可得OD＝O1D＝OO1，
故異面直線AD1和DC1所成的角為60°．
24．如圖所示，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點，M、N分別為AB、PC的中點，平面PAD∩平面PBC＝l．
（1）判斷BC與l的位置關系，并證明你的結論；
（2）判斷MN與平面PAD的位置關系，并證明你的結論．

【分析】（1）由AD∥BC，可得BC∥平面PAD，再利用線面平行的性質可得BC∥l；
（2）取CD的中點Q，連接MQ、NQ，可證平面MNQ∥平面PAD，再由面面平行的性質得線面平行．
【解答】解：（1）結論：BC∥l．
證明：∵AD∥BC，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
又∵BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC＝l，
∴BC∥l．
（2）結論：MN∥平面PAD．
證明：取CD的中點Q，連結NQ，MQ，
則NQ∥PD，MQ∥AD，又∵NQ∩MQ＝Q，PD∩AD＝D，
∴平面MNQ∥平面PAD．又∵MN?平面MNQ，
∴MN∥平面PAD．

25．已知等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，B為EC的中點，如圖1，將三角形ABE沿AB折起到ABE（E?平面ABCD），如圖2
（1）點F為線段AE的中點，判斷直線DF與平面BCE′的位置關系，并說明理由
（2）當△BCE′的面積最大時，求DE′的長．

【分析】（1）若DF∥平面BCE′，設平面DCF∩BCE′＝CM，則DF∥CM，CM與CD不重合，由此推導出直線DF與平面BCE'相交．
（2）取AB的中點O，連結E′O，BD，則E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，AO⊥平面E′OD，E′D⊥AO，E′D⊥DC，由此能求出當△BCE的面積最大時，DE的長
【解答】解：（1）直線DF與平面BCE'相交．理由如下：
∵E′?平面ABCD，
∴D?平面BCE′．
若DF∥平面BCE′，設平面DCF∩BCE′＝CM，則DF∥CM，
∴CM與CD不重合，
∵AD∥BC，∴平面ADE′∥平面BCE′，矛盾，
∴直線DF與平面BCE'相交．
證明：（2）取AB的中點O，連結E′O，BD，
由等腰梯形ADCE中，AD∥EC，EC＝2AD＝2AE＝4，∠E=π3，得E′O⊥AB，DO⊥AB，AB∥DC，
∴AO⊥平面E′OD，∴E′D⊥AO，∴E′D⊥DC，
∵△BCE′的面積為12?BE′?BC?sin∠E′BC=2sin∠E′BC，
∴當△BCE′的面積最大時，∠E′BC＝90°，
∴E′C=E′B2+BC2=22，
∴E′D=E′C2?DC2=2．

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