?人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 空間中線與線之間的關(guān)系
一．選擇題（共9小題）
1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（　?。?br /> A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．m∥n，n⊥α?m⊥α
2．直線l⊥平面α，直線m?α，則（　?。?br /> A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l和m相交 D．l和m不相交
3．已知a，b為直線，α為平面，若b⊥α，a與b相交，則a與α的位置關(guān)系不可能為（　?。?br /> A．相交 B．平行 C．a(chǎn)在α內(nèi) D．垂直
4．已知三條不同的直線a，b，c，且a⊥b，c⊥b，則a與c的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)∥c B．a(chǎn)與c相交于一點(diǎn)
C．a(chǎn)與c異面 D．前三個(gè)答案都有可能
5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點(diǎn)，則A1B與D1E所成角的余弦值為（　?。?br /> A．510 B．1010 C．55 D．105
6．如圖，等邊△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（　?。?br />
A．動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱錐A′﹣EFD的體積有最大值
D．異面直線A′E與BD不可能垂直
7．與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)（　　）
A．有且只有1個(gè) B．有且只有2個(gè)
C．有且只有3個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)
8．設(shè)a，b為兩條異面直線，空間一點(diǎn)P不在a，b上，則過(guò)點(diǎn)P必定存在（　?。?br /> A．唯一的直線l與a，b都相交
B．唯一的直線l與a，b都垂直
C．唯一的平面α與a，b都平行
D．唯一的平面α與a，b都垂直
9．如圖所示，將無(wú)蓋正方體紙盒展開(kāi)，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是（　　）

A．平行 B．相交 C．異面 D．相交成60°
二．多選題（共3小題）
10．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為（　　）

A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．異面直線PM與BD所成的角為45°
11．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（　?。?br />
A．直線D1D與直線AF垂直
B．直線A1G與平面AEF平行
C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92
D．點(diǎn)A1和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等
12．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（　　）

A．EF與BB1垂直 B．EF⊥平面BDD1B1
C．EF與C1D所成的角為45° D．EF∥平面A1B1C1D1
三．填空題（共14小題）
13．已知a，b，c是不重合的直線，α，β是不重合的平面，以下結(jié)論正確的是　 ?。▽⒄_的序號(hào)均填上）．
①若a∥b，b?α，則a∥α；　　　
②若a⊥b，a⊥c，b?α，c?a，則a⊥α；
③若a⊥α，a?β，則α⊥β；　　　
④若a∥β，b∥β，a?α，b?α，則α∥β．
14．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：（1）m⊥n；（2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：　 ?。?br /> 15．分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是　 ?。?br /> 16．已知平面α，β，直線a，b，l，若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝M，則點(diǎn)M與直線l的位置關(guān)系是　 　．
17．設(shè)m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面．給出下列四個(gè)命題：
①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．
其中正確的是　 　（填序號(hào)）．
18．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1與棱CD所在直線的位置關(guān)系是　 ?。?br /> 19．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC且AD＝AA′＝2BC．過(guò)A′，C，D三點(diǎn)的平面與BB′交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為CC′，A′D′的中點(diǎn)（如圖所示）給出以下判斷：
①E為BB′的中點(diǎn)；
②直線A′E和直線FG是異面直線；
③直線FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，則平面ABF⊥平面A′CD；
⑤幾何體EBC﹣A′AD是棱臺(tái)．
其中正確的結(jié)論是　 　．（將正確的結(jié)論的序號(hào)全填上）

20．定義側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中（如圖），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件　 　時(shí)，有BD1⊥A1C1．
（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

21．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)為　 　．
22．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列說(shuō)法正確的是　 　．
①AD1∥平面BC1；
②AC與BC1相交；
③點(diǎn)A1、D1到平面BCC1B1的距離相等；
④與AB平行的面只有一個(gè)，與AB垂直的面有兩個(gè)．
23．空間中兩條直線位置關(guān)系有相交、平行和　 　．
24．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是線段AB1，BC1的中點(diǎn)，以下結(jié)論：
①直線MN⊥直線AA1；
②直線MN∥直線A1C1；
③MN=12AC．
其中正確的是　 ?。?br />
25．如果a，b是異面直線，b，c也是異面直線，則直線a，c的位置關(guān)系是　 　．
26．平面α外有兩條直線m和n，如果m和n在平面α內(nèi)的射影分別是m′和n′，給出下列四個(gè)命題：（1）m′⊥n′?m⊥n；（2）m⊥n?m′⊥n′；（3）m′與n′相交?m與n相交或重合；（4）m′與n′平行?m與n平行或重合．其中不正確的命題是　 　．
四．解答題（共5小題）
27．在矩形ABCD中，已知AD＝2AB＝2，點(diǎn)E是AD得中點(diǎn)，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）證明：BE⊥CD′；
（2）求點(diǎn)E到平面D′EC的距離．

28．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求證：A1C⊥CC1；
（2）若AB＝2，AC=3，BC=7，問(wèn)AA1為何值時(shí)，三棱柱ABC﹣A1B1C1體積最大，并求此最大值．

29．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是CC1，A1C1，CD的中點(diǎn)．證明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EF；
（2）直線GF與直線BA1不平行．
30．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M為棱CC1上一點(diǎn)．
（1）若C1M＝1，求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求證BM⊥平面A1B1M．

31．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（Ⅰ）求證：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱錐D﹣AEC的體積．


人教版2021屆一輪復(fù)習(xí)打地基練習(xí) 空間中線與線之間的關(guān)系
參考答案與試題解析
一．選擇題（共9小題）
1．已知m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（　　）
A．m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β B．α∥β，m?α，n?β?m∥n
C．m⊥α，m⊥n?n∥α D．m∥n，n⊥α?m⊥α
【分析】利用空間直線與直線的位置關(guān)系，直線與平面的位置關(guān)系，判斷選項(xiàng)的正誤即可．
【解答】解：m，n為兩條不同的直線，α，β為兩個(gè)不同的平面，
對(duì)于A，m?α，n?α，m∥β，n∥β?α∥β，也可能相交，所以A不正確；
對(duì)于B，α∥β，m?α，n?β?m∥n也可能異面，所以B不正確；
對(duì)于C，m⊥α，m⊥n?n∥α有可能n?α，所以C不正確；
對(duì)于D，m∥n，n⊥α?m⊥α，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)，所以D正確．
故選：D．
2．直線l⊥平面α，直線m?α，則（　?。?br /> A．l⊥m B．l可能和m平行
C．l和m相交 D．l和m不相交
【分析】由l⊥平面α知，l垂直于平面內(nèi)任何一條直線，則l⊥m．
【解答】解：∵l⊥平面α，直線m?α，∴l(xiāng)⊥m．
故選：A．
3．已知a，b為直線，α為平面，若b⊥α，a與b相交，則a與α的位置關(guān)系不可能為（　?。?br /> A．相交 B．平行 C．a(chǎn)在α內(nèi) D．垂直
【分析】當(dāng)a⊥α?xí)r，a∥b．與a與b相交矛盾．
【解答】解：∵a，b為直線，α為平面，b⊥α，a與b相交，
∴a與α相交且不垂直、平行或a?α，
a與α不可能垂直，
當(dāng)a⊥α?xí)r，a∥b，與a與b相交矛盾．
故選：D．
4．已知三條不同的直線a，b，c，且a⊥b，c⊥b，則a與c的位置關(guān)系是（　?。?br /> A．a(chǎn)∥c B．a(chǎn)與c相交于一點(diǎn)
C．a(chǎn)與c異面 D．前三個(gè)答案都有可能
【分析】由a⊥b，c⊥b，直接可得a與c平行、相交或異面．
【解答】解：由a⊥b，c⊥b，可得a與c有三種位置關(guān)系，
即a∥c，a與c相交于一點(diǎn)，a與c異面，如圖：

故選：D．

5．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中點(diǎn)，則A1B與D1E所成角的余弦值為（　?。?br /> A．510 B．1010 C．55 D．105
【分析】在正方體、長(zhǎng)方體中往往可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法解決問(wèn)題．
【解答】解：如圖，以D為坐標(biāo)系原點(diǎn)，AB為單位長(zhǎng)，DA，DC，DD1分別為x，y，z軸建立坐標(biāo)系，
易見(jiàn)A1B→=(0，1，?1)，D1E→=(1，12，0)，
所以cos＜A1B→，D1E→＞
=(0，1，?1)?(1，12，0)|(0，1，?1)|?|(1，12，0)|
=122?54
=1010，
故選：B．

6．如圖，等邊△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的一個(gè)圖形，下列命題中，錯(cuò)誤的是（　　）

A．動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上
B．恒有平面A′GF⊥平面BCED
C．三棱錐A′﹣EFD的體積有最大值
D．異面直線A′E與BD不可能垂直
【分析】由斜線的射影定理可判斷A正確；由面面垂直的判定定理，可判斷B正確；由三棱錐的體積公式，可判斷C正確；由異面直線所成的角的概念可判斷D不正確
【解答】解：∵A′D＝A′E，△ABC是正三角形，
∴A′在平面ABC上的射影在線段AF上，故A正確；
由A知，平面A′GF一定過(guò)平面BCED的垂線，
∴恒有平面A′GF⊥平面BCED，故B正確；
三棱錐A′﹣FED的底面積是定值，體積由高即A′到底面的距離決定，
當(dāng)平面A′DE⊥平面BCED時(shí)，三棱錐A′﹣FED的體積有最大值，故C正確；
當(dāng)（A′E）2+EF2＝（A′F）2時(shí)，面直線A′E與BD垂直，故④錯(cuò)誤．
故選：D．
7．與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)（　　）
A．有且只有1個(gè) B．有且只有2個(gè)
C．有且只有3個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)
【分析】由于點(diǎn)D、B1顯然滿足要求，猜想B1D上任一點(diǎn)都滿足要求，然后想辦法證明結(jié)論．
【解答】解：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1上建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
并設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，連接B1D，并在B1D上任取一點(diǎn)P，
因?yàn)镈B1→=（1，1，1），
所以設(shè)P（a，a，a），其中0≤a≤1．
作PE⊥平面A1D，垂足為E，再作EF⊥A1D1，垂足為F，
則PF是點(diǎn)P到直線A1D1的距離．
所以PF=a2+(1?a)2；
同理點(diǎn)P到直線AB、CC1的距離也是a2+(1?a)2．
所以B1D上任一點(diǎn)與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離都相等，
所以與正方體ABCD﹣A1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)．
故選：D．

8．設(shè)a，b為兩條異面直線，空間一點(diǎn)P不在a，b上，則過(guò)點(diǎn)P必定存在（　?。?br /> A．唯一的直線l與a，b都相交
B．唯一的直線l與a，b都垂直
C．唯一的平面α與a，b都平行
D．唯一的平面α與a，b都垂直
【分析】過(guò)點(diǎn)P的直線與直線a相交，但不與直線b相交，可能異面，可判斷A；與a，b的公垂線平行的直線有且只有一條，可判斷B；過(guò)P的平面α與a，b中的一條平行，可判斷C；由線面垂直的性質(zhì)定理，可判斷D．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)P的直線與直線a相交，但不與直線b相交，可能異面，故A錯(cuò)誤；
由于直線a，b的公垂線有且只有一條，過(guò)P與a，b都垂直的直線l有且只有一條，故B正確；
過(guò)P的平面α不一定與a，b都平行，可能與其中的一條平行，而經(jīng)過(guò)另一條，故C錯(cuò)誤；
如果平面α與a，b都垂直，可得a，b平行，這與a，b異面矛盾，故D錯(cuò)誤．
故選：B．
9．如圖所示，將無(wú)蓋正方體紙盒展開(kāi)，直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是（　　）

A．平行 B．相交 C．異面 D．相交成60°
【分析】將正方體的展開(kāi)圖還原為正方體，得到對(duì)應(yīng)的A，B，C，D的位置，然后判斷AB，CD的位置關(guān)系即可．
【解答】解：將無(wú)蓋正方體紙盒還原后，A，B，C，D在正方體中的位置如圖所示，
連結(jié)AC，則△ABC為等邊三角形，
所以∠ABC＝60°，
所以直線AB，CD在原正方體中的位置關(guān)系是相交成60°．
故選：D．

二．多選題（共3小題）
10．如圖，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中，正確的為（　?。?br />
A．AC⊥BD
B．AC∥截面PQMN
C．AC＝BD
D．異面直線PM與BD所成的角為45°
【分析】首先由正方形中的線線平行推導(dǎo)線面平行，再利用線面平行推導(dǎo)線線平行，這樣就把AC、BD平移到正方形內(nèi)，即可利用平面圖形知識(shí)做出判斷．
【解答】解：因?yàn)榻孛鍼QMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
則PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正確；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正確；
異面直線PM與BD所成的角等于PM與QM所成的角，故D正確；
綜上C是錯(cuò)誤的．
故選：ABD．
11．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別為BC，CC1，BB1的中點(diǎn)．則（　?。?br />
A．直線D1D與直線AF垂直
B．直線A1G與平面AEF平行
C．平面AEF截正方體所得的截面面積為92
D．點(diǎn)A1和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等
【分析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．
【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
則A（2，0，0），E（1，2，0），F(xiàn)（0，2，1），D（0，0，0），D1（0，0，2），A1（2，0，2），G（2，2，1），
對(duì)于A，D1D→=（0，0，﹣2），AF→=（﹣2，2，1），
∵DD1→?AF→=?2≠0，∴直線D1D與直線AF不垂直，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，A1G→=（0，2，﹣1），AE→=（﹣1，2，0），AF→=（﹣2，2，1），
設(shè)平面AEF的法向量n→=（x，y，z），
則n→?AE→=?x+2y=0n→?AF→=?2x+2y+z=0，取y＝1，得n→=（2，1，2），
∵A1G→?n→=0，A1G?平面AEF，
∴直線A1G與平面AEF平行，故B正確；
對(duì)于C，連接AD1，F(xiàn)D1，∵E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，
∴面AEF截正方體所得的截面為梯形AEFD1，
∴面AEF截正方體所得的截面面積為：
S=AD1+EF2×AB=4+4+124+42×(4+1)?(22)2=92，故C正確；
對(duì)于D，由B知平面AEF的法向量n→=（2，1，2），
∴點(diǎn)A1到平面AEF的距離h=|AA1→?n→||n→|=49=43，
點(diǎn)D到平面AEF的距離d=|DA→?n→||n→|=49=43，
∴點(diǎn)A1和點(diǎn)D到平面AEF的距離相等，故D正確．
故選：BCD．

12．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中成立的是（　?。?br />
A．EF與BB1垂直 B．EF⊥平面BDD1B1
C．EF與C1D所成的角為45° D．EF∥平面A1B1C1D1
【分析】連接A1B，運(yùn)用中位線定理推出EF∥A1C1，結(jié)合線面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理，分析判斷A，B，D正確；再由異面直線所成的角的概念判斷C錯(cuò)誤．
【解答】解：連A1B，A1C1，則A1B交AB1于E，又F為BC1中點(diǎn)，
可得EF∥A1C1，由B1B⊥平面A1B1C1D1，可得B1B⊥A1C1，可得B1B⊥EF，故A正確；
連接D1B1，EF∥A1C1，A1C1⊥平面BDD1B1，可得EF⊥平面BDD1B1，故B正確；
EF與C1D所成角就是∠A1C1D，∵AA1的長(zhǎng)度不確定，∴∠A1C1D的大小不確定，故C錯(cuò)誤；
由E，F(xiàn)分別是AB1，BC1的中點(diǎn)，得EF∥A1C1，可得EF∥平面A1B1C1D1，故D正確．
故選：ABD．

三．填空題（共14小題）
13．已知a，b，c是不重合的直線，α，β是不重合的平面，以下結(jié)論正確的是?、邸。▽⒄_的序號(hào)均填上）．
①若a∥b，b?α，則a∥α；　　　
②若a⊥b，a⊥c，b?α，c?a，則a⊥α；
③若a⊥α，a?β，則α⊥β；　　　
④若a∥β，b∥β，a?α，b?α，則α∥β．
【分析】由線面平行的判定定理，即可判斷①；由線面垂直的判定定理，即可判斷②；
由面面垂直的判定定理，即可判斷③；由面面平行的判定定理，即可判斷④．
【解答】解：對(duì)于①，若a∥b，b?α，則a∥α或a?α，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，若a⊥b，a⊥c，b?α，c?a，且b，c相交，則a⊥α，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，若a⊥α，a?β，由面面垂直的判定定理，即可得到α⊥β，故③對(duì)；
對(duì)于④，若a∥β，b∥β，a?α，b?α，且a，b相交，則α∥β，故④錯(cuò)．
故答案為：③．
14．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：（1）m⊥n；（2）α⊥β （3）n⊥β （4）m⊥α．以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：　m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β?。?br /> 【分析】m⊥α，n⊥β，α⊥β，由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n；m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β．
【解答】解：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n，由面面垂直的性質(zhì)定理得m⊥n正確；
m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β，由面面垂直的判定定理得α⊥β正確；
α⊥β，n⊥β，m⊥n?m⊥α，這里m與α相交、平行或m?α，故m⊥α不正確；
m⊥n，α⊥β，m⊥α?n⊥β，這里n與β相交、平行或n?β，故n⊥β不正確．
故答案為：m⊥α，n⊥β，α⊥β?m⊥n或m⊥n，m⊥α，n⊥β?α⊥β．
15．分別和兩條異面直線相交的兩條直線的位置關(guān)系是　相交或異面　．
【分析】畫(huà)出草圖，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí)，兩條直線異面，即可得到結(jié)論．
【解答】解：已知直線a與b是異面直線，直線AB與直線CD分別與兩條直線a與直線b相交于點(diǎn)A，B，C，D，

根據(jù)題意可得當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)，兩條直線相交，當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合時(shí)，兩條直線異面．
故答案為：相交或異面
16．已知平面α，β，直線a，b，l，若α∩β＝l，a?α，b?β，a∩b＝M，則點(diǎn)M與直線l的位置關(guān)系是　M∈l?。?br /> 【分析】由已知直接證明M∈l．
【解答】解：∵a∩b＝M，∴M∈a，M∈b，
又a?α，b?β，∴M∈α，M∈β，
又α∩β＝l，∴M∈l．
∴點(diǎn)M與直線l的位置關(guān)系是M∈l．
故答案為：M∈l．
17．設(shè)m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面．給出下列四個(gè)命題：
①若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥n；
②若α⊥β，m⊥β，m?α，則m∥α；
③若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β；
④若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則m⊥β．
其中正確的是?、冖堋。ㄌ钚蛱?hào)）．
【分析】在①中，m與n相交、平行或異面；在②中，由面面垂直的性質(zhì)定理得m∥α；在③中，n∥β或n?β；在④中，線面垂直的判定定理得m⊥β．
【解答】解：由m，n是空間兩條不同的直線，α，β是空間兩個(gè)不同的平面．知：
在①中，若m∥α，n∥β，α∥β，則m與n相交、平行或異面，故①錯(cuò)誤；
在②中，若α⊥β，m⊥β，m?α，則由面面垂直的性質(zhì)定理得m∥α，故②正確；
在③中，若m⊥n，m⊥α，α∥β，則n∥β或n?β，故③錯(cuò)誤；
在④中，若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，則線面垂直的判定定理得m⊥β，故④正確．
故選：②④．
18．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1與棱CD所在直線的位置關(guān)系是　異面直線?。?br /> 【分析】由異面直線判定定理得：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1與棱CD所在直線的位置關(guān)系是異面直線．
【解答】解：∵AC1∩平面CDD1C1＝C1，
CD?平面CDD1C1，且C1?CD，
∴由異面直線判定定理得：
在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體對(duì)角線AC1與棱CD所在直線的位置關(guān)系是異面直線．
故答案為：異面直線．

19．在四棱柱ABCD﹣A′B′C′D′中，AA′⊥底面ABCD，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC且AD＝AA′＝2BC．過(guò)A′，C，D三點(diǎn)的平面與BB′交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為CC′，A′D′的中點(diǎn)（如圖所示）給出以下判斷：
①E為BB′的中點(diǎn)；
②直線A′E和直線FG是異面直線；
③直線FG∥平面A′CD；
④若AD⊥CD，則平面ABF⊥平面A′CD；
⑤幾何體EBC﹣A′AD是棱臺(tái)．
其中正確的結(jié)論是　①③④⑤?。▽⒄_的結(jié)論的序號(hào)全填上）

【分析】利用四棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面關(guān)系、面面關(guān)系定理對(duì)選項(xiàng)分別分析解答．
【解答】解：對(duì)于①，∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，四邊形ABCD為梯形，AD∥BC，
∴平面EBC∥平面A1D1DA，
∴平面A1CD與面EBC、平面A1D1DA的交線平行，∴EC∥A1D
∴△EBC∽△A1AD，
∴BEBB1=BEAA1=BCAD=12，
∴E為BB1的中點(diǎn)；
故①正確；
對(duì)于②，因?yàn)镋，F(xiàn)都是棱的中點(diǎn)，所以EF∥B'C'，又B'C'∥A'D'，
所以EF∥A'D'，所以A'E，F(xiàn)G都在平面EFD'A'中；故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，由②可得EF∥A'G，EF＝A'G，所以四邊形A'EFG是平行四邊形，所以FG∥A'E，又A'E?平面A'CD中，F(xiàn)G?平面A'CD，所以直線FG∥平面A′CD正確；
對(duì)于④，連接AD'，容易得到BF∥AD'，所以ABFD'四點(diǎn)共面，因?yàn)锳D⊥CD，AD'在底面的射影為AD，所以CD⊥AD'，又AD'⊥BF，所以BF⊥CD，又BF⊥CE，所以BF⊥平面A'CD，
BF?平面ABFD'，所以平面ABF⊥平面A′CD；故④正確；
對(duì)于⑤，由④得到，AB與D'F，DC交于一點(diǎn)，所以幾何體EBC﹣A′AD是棱臺(tái)．故⑤正確；
故答案為：①③④⑤．
20．定義側(cè)面與底面垂直的棱柱為直棱柱，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中（如圖），當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件　BD⊥AC　時(shí)，有BD1⊥A1C1．
（注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情形）

【分析】根據(jù)題意，由A1C⊥B1D1，結(jié)合直棱柱的性質(zhì)，分析底面四邊形ABCD得到BD⊥AC，進(jìn)而驗(yàn)證即可得答案．
【解答】解：∵四棱柱A1B1C1D1﹣ABCD是直棱柱，
∴B1D1⊥A1A，若A1C⊥B1D1，
則B1D1⊥平面A1AC1C，
∴B1D1⊥AC，
又由B1D1∥BD，
則有BD⊥AC，
反之，由BD⊥AC亦可得到A1C⊥B1D1，
故答案為：BD⊥AC．
21．設(shè)α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，給出下列三個(gè)結(jié)論：
①若m⊥α，n⊥α，則m∥n；
②若m⊥α，m⊥β，則α∥β；
③若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β．
其中，正確結(jié)論的序號(hào)為?、佗凇。?br /> 【分析】由同垂直于同一平面的兩直線平行，可判斷①；由同垂直于同一直線的兩平面平行，可判斷②；考慮墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可判斷③．
【解答】解：α，β，γ是三個(gè)不同的平面，m，n是兩條不同的直線，
對(duì)于①，若m⊥α，n⊥α，由同垂直于同一平面的兩直線平行，可得m∥n，故①正確；
對(duì)于②，若m⊥α，m⊥β，由同垂直于同一直線的兩平面平行，可得α∥β，故②正確；
對(duì)于③，若α⊥γ，β⊥γ，考慮墻角處的三個(gè)平面兩兩垂直，可判斷α、β相交，則α∥β不正確．
故答案為：①②．
22．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，下列說(shuō)法正確的是　①③?。?br /> ①AD1∥平面BC1；
②AC與BC1相交；
③點(diǎn)A1、D1到平面BCC1B1的距離相等；
④與AB平行的面只有一個(gè)，與AB垂直的面有兩個(gè)．
【分析】由面面平行的性質(zhì)定理可判斷①；結(jié)合圖形可知AC與BC1是異面直線，可判斷②，由直線A1D1∥平面BCC1B1，可判斷③；與AB平行的面有兩個(gè)，可判斷④．
【解答】解：對(duì)于①，因?yàn)槠矫鍭DD1A1∥平面BCC1B1，AD1?平面ADD1A1，
所以AD1∥平面BCC1B1，故①正確；
對(duì)于②，AC與BC1是異面直線，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，因?yàn)橹本€A1D1∥平面BCC1B1，所以點(diǎn)A1、D1到平面BCC1B1的距離相等，故③正確；
對(duì)于④，與AB平行的面有兩個(gè)，分別為平面A1B1C1D1，平面DCC1D1．
故正確的是①③．
故答案為：①③．

23．空間中兩條直線位置關(guān)系有相交、平行和　異面?。?br /> 【分析】直接由空間中兩直線的位置關(guān)系得答案．
【解答】解：由定義可知，空間中兩條直線位置關(guān)系有相交、平行和異面．
故答案為：異面．
24．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分別是線段AB1，BC1的中點(diǎn)，以下結(jié)論：
①直線MN⊥直線AA1；
②直線MN∥直線A1C1；
③MN=12AC．
其中正確的是?、佗冖邸。?br />
【分析】過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥BC，交BC于點(diǎn)E連接EF、AC、BD、B1D1，推導(dǎo)出四邊形MNEF為矩形，由中位線定理得MN∥=EF，從而MN＝EF=12AC，由此能求出結(jié)果．
【解答】解：過(guò)點(diǎn)M作MF⊥AB，交AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)N作NE⊥BC，交BC于點(diǎn)E，
連接EF、AC、BD、B1D1，
∵M(jìn)，N分別是線段AB1，BC1的中點(diǎn)，
∴NE∥=12CC1∥=12BB1∥=MF，
∴四邊形MNEF為矩形，
∴直線MN⊥直線AA1，直線MN∥直線A1C1，故①②正確；
對(duì)于③，由中位線定理得MN∥=EF，∴MN＝EF=12AC，故③正確．
故答案為：①②③．

25．如果a，b是異面直線，b，c也是異面直線，則直線a，c的位置關(guān)系是　相交、平行或異面?。?br /> 【分析】在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，分別找出滿足條件直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線的直線，借助正方體的幾何特征易分析出答案．
【解答】解：在正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，
令直線a為AA′，直線b為CD，直線c為BB′，
滿足直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，此時(shí)直線a與c平行；
令直線a為AA′，直線b為CD，直線c為AB′，
滿足直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，此時(shí)直線a與c相交；
令直線a為AA′，直線b為CD，直線c為DB′，
滿足直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，此時(shí)直線a與c異面；
故直線a與c可能平行，可能相交，也可能異面．
故答案為：相交、平行或異面．

26．平面α外有兩條直線m和n，如果m和n在平面α內(nèi)的射影分別是m′和n′，給出下列四個(gè)命題：（1）m′⊥n′?m⊥n；（2）m⊥n?m′⊥n′；（3）m′與n′相交?m與n相交或重合；（4）m′與n′平行?m與n平行或重合．其中不正確的命題是?。?）（2）（3）（4）?。?br /> 【分析】利用投影的概念分析把握好兩直線位置關(guān)系和其投影位置關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．可以利用長(zhǎng)方體這一直觀圖形把握好這些線之間的位置關(guān)系．
【解答】解：如圖的正方體模型底面ABCD即為平面α．對(duì)于
（1），AB，BC分別是A'B，BC'在底面ABCD內(nèi)的射影，有AB⊥BC，但是A'B不垂直于BC'，它們成60°角；
（2）BC'，B'C是兩條垂直的直線，但是其射影是同一條直線BC；
（3）AD，BD分別是EF，BD'的射影（E，F(xiàn)分別是AA'，DD'的中點(diǎn)），射影相交，但是EF，BD'不相交；
（4）AD，BC分別是A'D，BC'在底面的射影，射影平行，但是兩直線異面；
故答案為（1）（2）（3）（4）．

四．解答題（共5小題）
27．在矩形ABCD中，已知AD＝2AB＝2，點(diǎn)E是AD得中點(diǎn)，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使平面D′EC⊥平面BEC．
（1）證明：BE⊥CD′；
（2）求點(diǎn)E到平面D′EC的距離．

【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)證明線面垂直，即BE⊥面D'EC，利用線面垂直的性質(zhì)，可得結(jié)論；
（2）設(shè)點(diǎn)E到平面D′BC的距離為h先計(jì)算V三棱錐B﹣D′EC=13×12×2=26，V三棱錐E﹣D′BC=13×32×h，利用V三棱錐E﹣D′BC＝V三棱錐B﹣D′EC，即可求得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵AD＝2AB＝2，E是AD的中點(diǎn)，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，BE⊥EC．…（3分）
∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC＝EC
∴BE⊥面D'EC，
∵CD′?面D'EC，
∴BE⊥CD′． …（7分）
（2）解：設(shè)點(diǎn)E到平面D′BC的距離為h．
由（1）可知BE⊥面D'EC，且BE=2，
∵S△D′EC＝S△DEC=12×1×1=12，∴V三棱錐B﹣D′EC=13×12×2=26． …（9分）
∵BE⊥面D'EC，D′C?面D'EC，∴BE⊥D'C．
在△D′BC中，BC＝2，D'C＝DC＝1，∴D′B=3，
∴S△D′BC=12×3×1=32，∴V三棱錐E﹣D′BC=13×32×h …（12分）
由V三棱錐E﹣D′BC＝V三棱錐B﹣D′EC，得h=63．
所以，點(diǎn)E到平面D′BC的距離為63． …（14分）

28．如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥BC，A1B⊥BB1，
（1）求證：A1C⊥CC1；
（2）若AB＝2，AC=3，BC=7，問(wèn)AA1為何值時(shí)，三棱柱ABC﹣A1B1C1體積最大，并求此最大值．

【分析】（1）通過(guò)證明直線CC1與平面BA1C垂直，即可證明A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC 于O，連結(jié)A1O，說(shuō)明∠AA1O＝90°，設(shè)A1A＝h，求出A1O的表達(dá)式，以及三棱柱ABC﹣A1B1C1體積V的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的最值，求最大值．
【解答】解：（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，
∴A1A∥CC1∥BB1，
∵AA1⊥BC，∴CC1⊥BC，
∵A1B⊥BB1，∴A1B⊥CC1，
∵BC∩BA1＝B，
∴CC1⊥平面BA1C，A1C?平面BA1C
∴A1C⊥CC1；
（2）作AO⊥BC于O，連結(jié)A1O，由（1）可知∠AA1O＝90°，∵AB＝2，AC=3，BC=7，∴AB⊥AC，
∴AO=237，
設(shè)A1A＝h，A1O=(237)2??2=127??2，
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1體積V=S△A1BC??=12×7×127??2??=1212?2?7?4，
當(dāng)h2=67，即h=427時(shí)，即AA1=427時(shí)棱柱的體積最大，
最大值為：377．

29．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F(xiàn)，G分別是CC1，A1C1，CD的中點(diǎn)．證明：
（1）AB1∥GE，AB1⊥EF；
（2）直線GF與直線BA1不平行．
【分析】（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明AB1∥GE，AB1⊥EF．
（2）求出GF→=（1，0，2），BA1→=（0，﹣2，2），由此能證明直線GF與直線BA1不平行．
【解答】證明：（1）以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1中棱長(zhǎng)為2，
則A（2，0，0），B1（2，2，2），G（0，1，0），E（0，2，1），F(xiàn)（1，1，2），
AB1→=（0，2，2），GE→=（0，1，1），EF→=（1，﹣1，1），
∵AB1→=2GE→，∴AB1∥GE，
∵AB1→?EF→=0，∴AB1⊥EF．
（2）B（2，2，0），A1（2，0，2），GF→=（1，0，2），BA1→=（0，﹣2，2），
∵GF→，BA1→之間沒(méi)有等量關(guān)系，
∴直線GF與直線BA1不平行．

30．如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M為棱CC1上一點(diǎn)．
（1）若C1M＝1，求異面直線A1M和C1D1所成角的正切值；
（2）若C1M＝2，求證BM⊥平面A1B1M．

【分析】（1）由C1D1∥B1A1，得∠B1A1M是異面直線A1M和C1D1所成角，由此能示出異面直線A1M和C1D1所成角的正切值．
（2）C1M＝2時(shí)，由勾股定理得B1M⊥BM，A1M⊥BM，由此能證明BM⊥平面A1B1M．
【解答】（1）解：∵C1D1∥B1A1，
∴∠B1A1M是異面直線A1M和C1D1所成角，
∵在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BCC1B1，
∴A1B1⊥B1M，
∵AB＝2，BC＝2，CC1＝4，M為棱CC1上一點(diǎn)，C1M＝1，
∴B1M=B1C12+MC12=4+1=5，
∴tan∠B1A1M=B1MA1B1=52，
∴異面直線A1M和C1D1所成角的正切值為52．
（2）證明：C1M＝2時(shí)，B1M＝BM=BC2+CM2=22，
∴B1M2+BM2=BB12，∴B1M⊥BM．
∵A1M2=A1C12+MC12=4+4+4＝12，
A1B2=16+4=20，
∴A1M2+BM2=A1B2，
∴A1M⊥BM，
又A1M∩B1M＝M，∴BM⊥平面A1B1M．
31．如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，BF⊥平面ACE于點(diǎn)F，且點(diǎn)F在CE上．
（Ⅰ）求證：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱錐D﹣AEC的體積．

【分析】（Ⅰ）由題意證明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再結(jié)合條件證明AE⊥平面BCE，再證出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用題意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交線的垂線，利用換低求三棱錐體積．
【解答】（Ⅰ）證明：由題意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF＝B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE．

（Ⅱ）在△ABE中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AB于點(diǎn)H，
∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=12AB=2，S△ADC＝22．
故VD﹣ABC＝VE﹣ADC=13×22×2=43．

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