22.2　二次函數(shù)與一元二次方程一、基本目標(biāo)【知識與技能】1．理解二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．2．會判斷拋物線與x軸的交點個數(shù)．3．掌握方程與函數(shù)間的轉(zhuǎn)化．4．會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解．【過程與方法】經(jīng)歷探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系的過程，體會方程與函數(shù)之間的聯(lián)系，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想．【情感態(tài)度與價值觀】通過對小球飛行問題的分析，感受數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情．二、重難點目標(biāo)【教學(xué)重點】二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．【教學(xué)難點】用圖象法求解一元二次方程．環(huán)節(jié)1　自學(xué)提綱，生成問題【5 min閱讀】閱讀教材P43～P46的內(nèi)容，完成下面練習(xí)．【3 min反饋】1．觀察圖中的拋物線與x軸的交點情況，你能得出相應(yīng)方程的根嗎？(1)方程x2＋x－2＝0的根是__x1＝－2，x2＝1__；(2)方程x2－6x＋9＝0的根是__x1＝x2＝3__；(3)方程x2－x＋1＝0的根是__無實根__.2．若二次函數(shù)的解析式為y＝2x2－4x＋3，則其函數(shù)圖象與x軸交點的情況是__沒有交點__.3．一般地，從二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象可知：(1)如果拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸有公共點，公共點的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)x＝__x0___時，函數(shù)的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一個__根__；(2)二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點．這對應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：__沒有__實數(shù)根，有兩個__相等__的實數(shù)根，有兩個__不等__的實數(shù)根．環(huán)節(jié)2　合作探究，解決問題【活動1】　小組討論(師生互學(xué))【例1】求二次函數(shù)y＝－(x－2)2＋1與x軸的交點坐標(biāo)．【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)怎樣求二次函數(shù)與x軸的交點坐標(biāo)？二次函數(shù)與一元二次方程有什么關(guān)系？【解答】令－(x－2)2＋1＝0，解得x1＝0，x2＝4.∴二次函數(shù)y＝－(x－2)2＋1與x軸的交點坐標(biāo)為(0,0)，(4,0)．【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根即為二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c與x軸的交點的橫坐標(biāo)．【例2】小穎用計算器探索方程ax2＋bx＋c＝0的根，作出如圖所示的圖象，并求得一個近似根x＝－3.4，求方程的另一個近似根(精確到0.1)．【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)求一元二次方程的另一個近似根，如何將要求的這個根與已知的圖象信息聯(lián)系起來？【解答】∵拋物線與x軸的一個交點為(－3.4,0)，拋物線的對稱軸為直線x＝－1，∴另一個交點坐標(biāo)為(1.4,0)，則方程的另一個近似根為1.4.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的另一個近似根，可以根據(jù)一元二次方程的一個近似根，得到拋物線與x軸的一個交點，根據(jù)拋物線的對稱軸，求出另一個交點坐標(biāo)，即可得到方程的另一個近似根．【活動2】　鞏固練習(xí)(學(xué)生獨學(xué))1．如圖是拋物線y＝ax2＋bx＋c的圖象的一部分，請你根據(jù)圖象求出方程ax2＋bx＋c＝0的兩根x1＝__－3__ ，x2＝ __1__.2．若二次函數(shù)y＝x2－2x＋c的圖象與x軸沒有交點，求c的取值范圍．解：∵二次函數(shù)y＝x2－2x＋c的圖象與x軸沒有交點，∴x2－2x＋c＝0的判別式Δ＜0，即b2－4ac＝4－4c＜0，解得c＞1.3．若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的最低點的坐標(biāo)為(1，－1)，求關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根．解：∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象的最低點的坐標(biāo)為(1，－1)，∴二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)圖象經(jīng)過點(1，－1)，∴當(dāng)y＝－1，即ax2＋bx＋c＝－1時，x1＝x2＝1.∴關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝－1的根為x1＝x2＝1.【活動3】　拓展延伸(學(xué)生對學(xué))【例3】已知二次函數(shù)y＝x2－(a－1)x＋a－2，其中a是常數(shù)．(1)求證：不論a為何值，該二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點；(2)當(dāng)a＝4時，該二次函數(shù)的圖象頂點為A，與x軸交于B、D兩點，與y軸交于C點，求四邊形ABCD的面積．【互動探索】(引發(fā)學(xué)生思考)要證明二次函數(shù)的圖象與x軸一定有公共點，可以轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的判斷，如何轉(zhuǎn)化？求四邊形ABCD的面積，需要確定四邊形的底和高，如何確定四邊形的底和高？【解答】(1)證明：y＝x2－(a－1)x＋a－2.∵Δ＝[－(a－1)]2－4(a－2)＝(a－3)2≥0，∴方程x2－(a－1)x＋a－2＝0有實數(shù)根，∴不論a為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有公共點．(2)由題可知，當(dāng)a＝4時，y＝x2－3x＋2.∵y＝x2－3x＋2＝2－，∴A.當(dāng)y＝0時，x2－3x＋2＝0，解得x1＝1，x2＝2，∴B(1,0)、D(2,0)．當(dāng)x＝0時，y＝2，∴C(0,2)．∴S四邊形ABCD＝S△ABD＋S△BDC＝＋1＝.【互動總結(jié)】(學(xué)生總結(jié)，老師點評)要判斷二次函數(shù)的圖象與x軸的交點情況，只需要將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次方程，然后判斷方程的根的判別式的情況即可．環(huán)節(jié)3　課堂小結(jié)，當(dāng)堂達(dá)標(biāo)(學(xué)生總結(jié)，老師點評)1．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與二次方程之間的關(guān)系，當(dāng)y為某一確定值m時，相應(yīng)的自變量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．2．若拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交點為(x0,0)，則x0是方程ax2＋bx＋c＝0的一個根．3．二次函數(shù)與一元二次方程有下列對應(yīng)關(guān)系：二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象與x軸的位置關(guān)系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情況b2－4ac的值有兩個公共點有兩個不相等的實數(shù)根b2－4ac>0只有一個公共點有兩個相等的實數(shù)根b2－4ac＝0無公共點無實數(shù)根b2－4ac<0 請完成本課時對應(yīng)練習(xí)！ 

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22.2 二次函數(shù)與一元二次方程

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