小明在證明“等邊對(duì)等角”時(shí)，通過作等腰三角形底邊的高來(lái)證明.過程如下：已知：在△ABC中， AB=AC．求證：∠B=∠C．證明：過A作AD⊥BC，垂足為C， ∴∠ADB=∠ADC=90°. 又∵AB=AC，AD=AD， ∴△ABD≌△ACD． ∴∠B=∠C（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）. 你同意他的作法嗎？
小穎說(shuō)：推理過程有問題．他在證明△ABD≌△ACD時(shí)，用了“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等”．而我們?cè)谇懊鎸W(xué)習(xí)全等的時(shí)候知道，兩個(gè)三角形，如果有兩邊及其一邊的對(duì)角相等，這兩個(gè)三角形是不一定全等的． 如圖所示：在△ ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD與△ABC不全等．
小剛說(shuō)：小穎這里說(shuō)的∠B是銳角，如果∠B是直角，即如果其中一邊所對(duì)的角是直角，這兩個(gè)三角形就是全等的．我認(rèn)為小明同學(xué)的證明無(wú)誤．
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′.求證：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
證明：在Rt△ABC中，AC2=AB2－BC2(勾股定理)．又∵在Rt△ A‘ B’ C‘中，A’ C‘ 2=A’B‘2－B’C‘2 (勾股定理)，AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等． 這一定理可以簡(jiǎn)單地用“斜邊、直角邊”或“HL”表示．
直角三角形全等的判定定理
例1 判斷下列命題的真假，并說(shuō)明理由：(1)兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (2)斜邊及一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (3)兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等； (4)一條直角邊和另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等．
例2 你能用三角尺平分一個(gè)已知角嗎?
如圖，在已知∠AOB的兩邊上分別取點(diǎn)M，N，使OM=ON，再過點(diǎn)M作OA的垂線，過點(diǎn)N作OB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)P，那么射線OP就是么AOB的平分線．
例3 如圖，已知∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌ △ BDA，還需要什么條件?把它們分別寫出來(lái)．
從添加角來(lái)說(shuō)，可以添加∠CBA=∠DAB或∠CAB=∠DBA；從添加邊來(lái)說(shuō)，可以是AC=BD，也可以是BC=AD．
若OA=OB，則△ACB≌△BDA．
證明：在Rt△ACO和Rt△BDO中，∵AO=BO，∠ACB=∠BDA=90°.∠AOC=∠BOD(對(duì)頂角相等)，∴△ACO≌△BDO(AAS)．∴AC=BD．又∵AB=AB，∴△ACB≌△BDA(HL).
如果把剛才添加的條件“OA=OB”改寫成“OC=OD”，也可以使△ACB≌△BDA．
例4 如圖，在△ABC和△A'B'C'中，CD，C'D'分別是高，并且AC=A'C'，CD=C'D'．∠ACB=∠A'C'B'．求證：△ABC≌△A'B'C' ．
證明：∵CD，C‘D’分別是△ABC和△A‘B’C‘的高，∴∠ADC=∠A'D'C'=90°．在Rt△ADC和Rt△A'D'C'中，AC=A'C'，CD=C'D'，∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C' (HL)．∴∠A=∠A'(全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等)．在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A' ，AC=A'C' ，∠ACB=∠A'C'B' ，∴△ABC≌△A'B'C' (ASA)．

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初中數(shù)學(xué)北師大版八年級(jí)下冊(cè)電子課本

2 直角三角形

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