正態(tài)分布【考點梳理】考點一、正態(tài)分布1.正態(tài)曲線及性質(zhì)（1）正態(tài)曲線的定義函數(shù)其中實數(shù)和（>0）為參數(shù)，我們稱的圖象（如圖）為正態(tài)分布密謀曲線，簡稱正態(tài)曲線。注：是正態(tài)分布的期望，是正態(tài)分布的標準。（2）正態(tài)曲線的性質(zhì)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x=對稱；③曲線在x=處達到峰值④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當一定時，曲線隨著的變化而沿x軸平移，如圖甲所示；⑥當一定時，曲線的形狀由確定。越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙表示。2．正態(tài)分布（1）正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實數(shù)a,b(a<b),隨機變量X滿足P（a<X≤b）=,則稱X的分布為正態(tài)分布，記作。（2）正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間取值的概率值①P（-＜X≤+）=0.6826;②P(-2＜X≤+2)=0.9544;③P(-3＜X≤+3)=0.9974.（3）3原則通常認為服從于正態(tài)分布的隨機變量X只取（-3，+3）之間的值，并簡稱為3原則。正態(tài)總體幾乎總?cè)≈涤趨^(qū)間（-3，+3）之內(nèi)，而在此區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生。要點詮釋：正態(tài)曲線的對稱性正態(tài)曲線的函數(shù)很顯然，當μ＝0時，是偶函數(shù)，關(guān)于y軸對稱；當μ≠0時，對稱軸為x＝μ，所以正態(tài)曲線是一個軸對稱圖形，很多關(guān)于正態(tài)分布的概率問題，都是根據(jù)其對稱性求解． 類型一、正態(tài)分布的性質(zhì)【例1】若一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值為(1)求該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式；(2)求正態(tài)總體在(－4,4]的概率．【思路點撥】要確定一個正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式，關(guān)鍵是求解析式中的兩個參數(shù)μ，σ的值，其中μ決定曲線的對稱軸的位置，σ則與曲線的形狀和最大值有關(guān)。【解析】(1)由于該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個偶函數(shù)，所以其圖象關(guān)于y軸對稱，即μ＝0.由＝，得σ＝4，故該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式是 (2)P(－4<X≤4)＝P(0－4<X≤0＋4)＝P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826.【變式】把一正態(tài)曲線C1沿著橫軸方向向右移動2個單位，得到一條新的曲線C2，下列說法不正確的是(　　)(A)曲線C2仍是正態(tài)曲線(B)曲線C1、C2的最高點的縱坐標相等(C)以曲線C2為概率密度曲線的總體的方差比以曲線C1為概率密度曲線的總體的方差大2(D)以曲線C2為概率密度曲線的總體的期望比以曲線C1為概率密度曲線的總體的期望大2【解析】選C.由題意，曲線C1和C2的大小形狀完全一樣，只是在坐標系中的位置不同，而對稱軸是x＝μ，形狀決定方差σ.故選C. 類型二、正態(tài)分布的計算【例2】已知隨機變量X～N(2，σ2)，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X<4－a)＝　　　　.【思路點撥】X＝a與X＝4－a關(guān)于直線x＝2對稱，再由正態(tài)曲線的對稱性求解.【解析】由正態(tài)分布圖象的對稱性可得：P(a≤X<4－a)＝1－2P(X<a)＝0.36.【變式】設(shè)隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，則P(|ξ|<1.96)＝(　　)(A)0.025     (B)0.050     (C)0.950     (D)0.975【解析】選C.P(|ξ|<1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－0.050＝0.950.類型三、正態(tài)分布的應用【例3】在某次數(shù)學考試中，考生的成績ξ服從正態(tài)分布，即ξ～N(100,100)，已知滿分為150分．(1)試求考試成績ξ位于區(qū)間(80,120]內(nèi)的概率；(2)若這次考試共有2000名考生參加，試估計這次考試及格(不小于90分)的人數(shù)．【思路點撥】由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.將區(qū)間用μ，σ表示求概率．【解析】(1)由ξ～N(100,100)知μ＝100，σ＝10.∴P(80<ξ≤120)＝P(100－20<ξ≤100＋20)＝0.9544，即考試成績位于區(qū)間(80,120]內(nèi)的概率為0.9544.(2)P(90<ξ≤110)＝P(100－10<ξ≤100＋10)＝0.6826，∴P(ξ>110)＝(1－0.6826)＝0.1587，∴P(ξ≥90)＝0.6826＋0.1587＝0.8413.∴及格人數(shù)為2 000×0.841 3≈1 683(人)． 【變式】工廠制造的某機械零件尺寸X服從正態(tài)分布，問在一次正常的試驗中，取1 000個零件時，不屬于區(qū)間(3,5]這個尺寸范圍的零件大約有多少個？【解析】∵X～，∴μ＝4，σ＝.∴不屬于區(qū)間(3,5]的概率為P(X≤3)＋P(X>5)＝1－P(3<X≤5)＝1－P(4－1<X≤4＋1)＝1－P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6≈0.003，∴1 000×0.003＝3(個)，即不屬于區(qū)間(3,5]這個尺寸范圍的零件大約有3個。

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7.5 正態(tài)分布

版本： 人教A版 (2019)

年級： 選擇性必修 第三冊

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