第六章　不等式、推理與證明第二節(jié)　二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點(diǎn)練1．下列各點(diǎn)中，與點(diǎn)(2，2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是(　　)A．(0，0)　　　　　　　　 B．(－1，1)C．(－1，3)  D．(2，－3)解析：點(diǎn)(2，2)使x＋y－1＞0，點(diǎn)(－1，3)使x＋y－1＞0，所以此兩點(diǎn)位于x＋y－1＝0的同一側(cè)．答案：C2．(2020·鐵嶺模擬)已知變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值為(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：作圖易知可行域?yàn)橐粋€三角形，其三個頂點(diǎn)為(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，驗(yàn)證知當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)A(1，0)時，z最大是2.答案：B3．(2020·大連模擬)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是(　　)A.  B．(0，1]C.  D．(0，1]∪解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和(1，0)，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是0＜a≤1或a≥.答案：D4．若函數(shù)y＝log2x的圖像上存在點(diǎn)(x，y)滿足約束條件則實(shí)數(shù)m的最大值為(　　)A.　　　　　　　　　 B．1C.  D．2解析：如圖，作出不等式組表示的可行域，當(dāng)函數(shù)y＝log2x的圖像過點(diǎn)(2，1)時，實(shí)數(shù)m有最大值1.答案：B5．(2020·石家莊模擬)已知x，y滿足約束條件則下列目標(biāo)函數(shù)中，在點(diǎn)(4，1)處取得最大值的是(　　)A．z＝x－y  B．z＝－3x＋yC．z＝x＋y  D．z＝3x－y解析：畫的線性區(qū)域，求得A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)為(4，1)、(1，4)、(－4，－1)，由于只在(4，1)處取得最大值，否定A、B、C.答案：D6．若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為(　　)A．－3  B．1C.  D．3解析：作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危瑒tm>－1.由解得即A(1－m，1＋m)．由解得即B.因?yàn)?/span>S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2m)·＝(m＋1)2＝，所以m＝1或m＝－3(舍去)，故選B.答案：B7．已知x，y滿足條件則z＝的最大值為(　　)A．2  B．3C．－  D．－解析：作出可行域(圖略)，問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域上哪一點(diǎn)與點(diǎn)M(－3，1)連線斜率最大，觀察知點(diǎn)A使kMA最大，zmax＝kMA＝＝3.答案：B8．設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　)A．－15  B．－9C．1  D．9解析：法一：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點(diǎn)A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當(dāng)直線z＝2x＋y過點(diǎn)B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15，選A.法二：易求可行域頂點(diǎn)A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標(biāo)函數(shù)，求出對應(yīng)的z的值依次為1，－15，9，故最小值為－15.答案：A9．若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則其表示的區(qū)域面積為________．解析：直線kx－y＋1＝0過點(diǎn)(0，1)，要使不等式組表示的區(qū)域?yàn)榈妊苯侨切?，只有直線kx－y＋1＝0垂直于y軸(如圖(1))或與直線x＋y＝0垂直(如圖(2))時才符合題意．所以S＝×1×1＝或S＝××＝.答案：或10．(2020·蘭州診斷)已知x，y滿足約束條件則x2＋y2的最小值是________．解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方．由題意知，當(dāng)以原點(diǎn)為圓心的圓與直線3x＋4y－4＝0相切時，x2＋y2取得最小值，即 ＝＝，所以(x2＋y2)min＝.答案：B組——素養(yǎng)提升練11．(2020·太原模擬)已知點(diǎn)(x，y)所在的可行域如圖中陰影部分所示(包含邊界)，若使目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則a的值為(　　)A．4  B．C.  D．解析：因為目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直線y＝－ax＋z在y軸上的截距．分析知當(dāng)直線y＝－ax＋z的斜率與直線AC的斜率相等時，目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，此時－a＝＝－，即a＝，故選D.答案：D12．(2020·開封模擬)已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則z＝()x－2y的最大值是(　　)A.  B．C．32  D．64解析：法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，設(shè)u＝x－2y，由圖知，當(dāng)直線u＝x－2y經(jīng)過點(diǎn)A(1，3)時，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此時z＝()x－2y取得最大值，即zmax＝()－5＝32，故選C.法二：由題易知z＝()x－2y的最大值在可行域的頂點(diǎn)處取得，只需求出頂點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別代入z＝()x－2y，即可求得最大值．聯(lián)立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；聯(lián)立得解得B(1，－)，代入可得z＝；聯(lián)立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通過比較可知，在點(diǎn)A(1，3)處，z＝()x－2y取得最大值32，故選C.答案：C13．(2020·福州模擬)不等式組的解集記為D.有下面四個命題：p1：任意(x，y)∈D，x－2y≥2；p2：存在(x，y)∈D，x－2y≥3；p3：任意(x，y)∈D，x－2y≥；p4：存在(x，y)∈D，x－2y≤－2.其中的真命題是(　　)A．p2，p3  B．p1，p4C．p1，p2  D．p1，p3解析：不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的陰影部分，由解得所以M(，)．由圖可知，當(dāng)直線z＝x－2y過點(diǎn)M(，)時，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命題是p2，p3，故選A.答案：A14．(2020·桂林模擬)若直線ax－y－a＋3＝0將x，y滿足的不等式組表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則z＝4x－ay的最大值是(　　)A．－8  B．2C．4  D．8解析：由直線ax－y－a＋3＝0，得a(x－1)＋(3－y)＝0，此直線恒過點(diǎn)C(1，3)．不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示．由解得B(3，4)．由解得A(－1，2)，可得C(1，3)是AB的中點(diǎn)．若直線ax－y－a＋3＝0將陰影部分所表示的平面區(qū)域分成面積相等的兩部分，則直線過頂點(diǎn)M(0，1)．將M(0，1)代入ax－y－a＋3＝0，解得a＝2.z＝4x－ay＝4x－2y，即y＝2x－.易知當(dāng)y＝2x－經(jīng)過點(diǎn)B時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，且最大值為4×3－2×4＝4.故選C.答案：C15．已知x，y滿足約束條件則z＝的范圍是__________．解析：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖所示：由解得A(1，2)，由解得B(3，1)，而z＝＝1＋，而z＝的幾何意義表示過平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與C(－1，－1)的直線的斜率，顯然直線AC斜率最大，直線BC斜率最小，kAC＝＝，kBC＝＝，所以z＝的最大值是1＋＝，最小值為1＋＝.答案：16．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為________. 甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128解析：設(shè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x噸，y噸，利潤為z萬元，則目標(biāo)函數(shù)為z＝3x＋4y.作出二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域(陰影部分)，即可行域．由z＝3x＋4y得y＝－x＋，平移直線y＝－x＋，由圖像可知當(dāng)直線y＝－x＋經(jīng)過點(diǎn)A時，直線y＝－x＋在y軸上的截距最大，此時z最大，解方程組得即A點(diǎn)的坐標(biāo)為(2，3)，所以zmax＝3x＋4y＝6＋12＝18.即每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為2噸、3噸，能夠產(chǎn)生最大的利潤，最大的利潤是18萬元．答案：18萬元

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