二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題[A組　基礎(chǔ)對點練]1．下列各點中，與點(2，2)位于直線x＋y－1＝0的同一側(cè)的是(　　)A．(0，0)     B．(－1，1)C．(－1，3)     D．(2，－3)解析：點(2，2)使x＋y－1＞0，點(－1，3)使x＋y－1＞0，所以此兩點位于x＋y－1＝0的同一側(cè)．答案：C2．(2020·遼寧鐵嶺模擬)已知變量x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最大值為(　　)A．1　　　        　B．2     C．3　　　　     D．4解析：作圖易知可行域為一個三角形，其三個頂點為(0，1)，(1，0)，(－1，－2)，驗證知當直線z＝2x＋y過點A(1，0)時，z最大是2.答案：B3．(2021·河北石家莊模擬)已知x，y滿足約束條件則下列目標函數(shù)中，在點(4，1)處取得最大值的是(　　)A．z＝x－y     B．z＝－3x＋yC．z＝x＋y     D．z＝3x－y解析：作出不等式組表示的可行域，求得A，B，C三點坐標分別為(4，1)，(1，4)，(－4，－1)，由于只在(4，1)處取得最大值，否定選項ABC.答案：D4．若函數(shù)y＝log2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為(　　)A．     B．1C．     D．2解析：如圖所示，作出不等式組表示的可行域，當函數(shù)y＝log2x的圖象過點(2，1)時，實數(shù)m有最大值1.答案：B5．設(shè)x，y滿足約束條件則z＝2x＋y的最小值是(　　)A．－15     B．－9C．1     D．9解析：法一：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示．易求得可行域的頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，當直線z＝2x＋y過點B(－6，－3)時，z取得最小值，zmin＝2×(－6)－3＝－15.法二：易求得可行域頂點A(0，1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分別代入目標函數(shù)，求出對應(yīng)的z的值依次為1，－15，9，故最小值為－15.答案：A6．已知x，y滿足條件則z＝的最大值為(　　)A．2     B．3C．－     D．－解析：作出可行域(圖略)，問題轉(zhuǎn)化為區(qū)域上哪一點與點M(－3，1)連線斜率最大，觀察知點A使kMA最大，所以zmax＝kMA＝＝3.答案：B7．(2020·山西太原模擬)已知點(x，y)所在的可行域如圖中陰影部分所示(包含邊界).若使目標函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，則a的值為(　　)A．4     B．C．     D．解析：因為目標函數(shù)z＝ax＋y，所以y＝－ax＋z，易知z是直線y＝－ax＋z在y軸上的截距．分析知當直線y＝－ax＋z的斜率與直線AC的斜率相等時，目標函數(shù)z＝ax＋y取得最大值的最優(yōu)解有無數(shù)多個，此時－a＝＝－，即a＝.答案：D8．若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________．解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，x＋y取得最大值?斜率為－1的直線x＋y＝z(z看作常數(shù))的縱截距最大，由圖可得直線x＋y＝z過點C時z取得最大值．由得點C(5，4)，∴zmax＝5＋4＝9.答案：99．若變量x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值是________．解析：畫出可行域如圖陰影部分所示，由z＝x＋y得y＝－3x＋3z，作出直線y＝－3x，并平移該直線，當直線y＝－3x＋3z過點A(2，3)時，目標函數(shù)z＝x＋y取得最大值，最大值為2＋×3＝3.答案：310．若關(guān)于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域是等腰直角三角形，則其表示的區(qū)域面積為________．解析：直線kx－y＋1＝0過點(0，1)，要使不等式組表示的區(qū)域為等腰直角三角形，只有直線kx－y＋1＝0垂直于y軸(如圖①)或與直線x＋y＝0垂直(如圖②)時才符合題意，所以S＝×1×1＝或S＝××＝.答案：或11．(2020·甘肅蘭州診斷)已知x，y滿足約束條件則x2＋y2的最小值是________．解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，x2＋y2表示平面區(qū)域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方．由題意知，當以原點為圓心的圓與直線3x＋4y－4＝0相切時，x2＋y2取得最小值，即 ＝＝，所以(x2＋y2)min＝.答案：[B組　素養(yǎng)提升練]1．(2021·河南開封模擬)已知實數(shù)x，y滿足約束條件則z＝的最大值是(　　)A．     B．C．32     D．64解析：法一：作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，設(shè)u＝x－2y，由圖知，當直線u＝x－2y經(jīng)過點A(1，3)時，u取得最小值，即umin＝1－2×3＝－5，此時z＝取得最大值，即zmax＝＝32.法二：由題易知z＝的最大值在可行域的頂點處取得，只需求出頂點A，B，C的坐標分別代入z＝，即可求得最大值．聯(lián)立得解得A(1，3)，代入可得z＝32；聯(lián)立得解得B，代入可得z＝；聯(lián)立得解得C(－2，0)，代入可得z＝4.通過比較可知，在點A(1，3)處，z＝取得最大值32.答案：C2．(2020·福建福州模擬)不等式組的解集記為D.有下面四個命題：p1：?(x，y)∈D，x－2y≥2；p2：?(x，y)∈D，x－2y≥3；p3：?(x，y)∈D，x－2y≥；p4：?(x，y)∈D，x－2y≤－2.其中的真命題是(　　)A．p2，p3     B．p1，p4C．p1，p2     D．p1，p3解析：不等式組表示的平面區(qū)域為如圖所示的陰影部分，由解得所以M.由圖可知，當直線z＝x－2y過點M時，z取得最小值，且zmin＝－2×＝，所以真命題是p2，p3.答案：A3．某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為(　　)A．31 200元     B．36 000元C．36 800元     D．38 400元解析：設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，目標函數(shù)為z＝1 600x＋2 400y，則約束條件為作出可行域，如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點(5，12)時，有最小值zmin＝36 800(元).答案：C4．設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，前n項和為Sn.若4a1≤a3＋3，a4≤2a1＋6，S2≥2，則數(shù)列{an}的前4項和S4的最大值為________．解析：該題可用線性規(guī)劃來求解，由已知得S4＝4a1＋6d.如圖所示，S4在點A(3，3)處取得最大值，即當a1＝d＝3時，(S4)max＝4×3＋6×3＝30.答案：30

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