第五章　數(shù)列第三節(jié)　等比數(shù)列及其前n項和課時規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對點練1．(2020·合肥模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}滿足a1a5＝16，a2＝2，則公比q＝(　　)A．4　　　　　　　　　　　 B．C．2   D.解析：由題意，得解得或(舍去)，故選C.答案：C2．(2020·重慶模擬)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S3＝14，a3＝8，則a6＝(　　)A．16  B．32C．64  D．128解析：由題意得，等比數(shù)列的公比為q，由S3＝14，a3＝8，則解得a1＝2，q＝2，所以a6＝a1q5＝2×25＝64，故選C.答案：C3．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，則a3＋a5＋a7＝(　　)A．21  B．42C．63  D．84解析：設數(shù)列{an}的公比為q，則a1(1＋q2＋q4)＝21，又a1＝3，所以q4＋q2－6＝0，所以q2＝2(q2＝－3舍去)，所以a3＝6，a5＝12，a7＝24，所以a3＋a5＋a7＝42.故選B.答案：B4．(2020·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a4與a14的等比中項為2，則log2a7＋log2a11的值為(　　)A．1  B．2C．3  D．4解析：由題意得a4a14＝(2)2＝8，由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a4a14＝a7a11＝8，∴log2a7＋log2a11＝log2(a7a11)＝log28＝3，故選C.答案：C5．在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，則a1＝(　　)A．1  B．±1C．2  D．±2解析：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，所以a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，所以a7＝a3q4＝2q4＝8，所以q2＝2，則a1＝＝1，故選A.答案：A6．在公比為的等比數(shù)列{an}中，若sin(a1a4)＝，則cos(a2a5)的值是(　　)A．－   B.C.   D.解析：由等比數(shù)列的通項公式可知a2a5＝(a1a4)q2＝2(a1a4)，cos(a2a5)＝1－2sin2(a1a4)＝1－2×＝.答案：B7．(2020·臨沂模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝a·2n－1＋，則a的值為(　　)A．－   B.C．－   D.解析：當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，當n＝1時，a1＝S1＝a＋，又因為{an}是等比數(shù)列，所以a＋＝，所以a＝－.答案：A8．(2020·貴陽適應性考試)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝，a2a6＝8(a4－2)，則S2 019＝(　　)A．22 018－  B．1－C．22 019－  D．1－解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)及a2a6＝8(a4－2)，得a＝8a4－16，解得a4＝4.又a4＝q3，故q＝2，所以S2 019＝＝22 018－，故選A.答案：A9．若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________．解析：設等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q.由題意得－1＋3d＝－q3＝8?d＝3，q＝－2?＝＝1.答案：110．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝________．解析：設數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝＝，解得q＝，a1＝＝4.易知數(shù)列{anan＋1an＋2}是首項為a1a2a3＝4×2×1＝8，公比為q3＝的等比數(shù)列，所以a1a2a3＋a2a3a4＋…＋anan＋1an＋2＝＝(1－2－3n)．答案：(1－2－3n)B組——素養(yǎng)提升練11．(2020·青州市模擬)我國古代數(shù)學著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲(水生植物名)生一日，長三尺；莞(植物名，俗稱水蔥、席子草)生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為________日．(結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)(　　)A．1.3  B．1.5C．2.6  D．2.8解析：設蒲(水生植物名)的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1＝3，公比為，其前n項和為An.莞(植物名)的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1＝1，公比為2，其前n項和為Bn.則An＝，Bn＝，令＝，即2n＋＝7，解得2n＝6，2n＝1(舍去)．∴n＝＝1＋≈2.6.∴估計2.6日蒲、莞長度相等．答案：C12．若數(shù)列{an＋1－an}是等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝2，a3＝5，則an＝__________．解析：∵a2－a1＝1，a3－a2＝3，∴q＝3，∴an＋1－an＝3n－1，∴an－a1＝a2－a1＋a3－a2＋…＋an－1－an－2＋an－an－1＝1＋3＋…＋3n－2＝，∵a1＝1，∴an＝.答案：13．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋1.(1)證明{an＋}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)證明＋＋…＋<.證明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3(an＋)．又a1＋＝，所以{an＋}是首項為，公比為3的等比數(shù)列．所以an＋＝，因此{an}的通項公式為an＝.(2)由(1)知＝.因為當n≥1時，3n－1≥2×3n－1，所以≤.于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝＜.所以＋＋…＋＜.14．已知數(shù)列{an}滿足a1＝5，a2＝5，an＋1＝an＋6an－1(n≥2)．(1)求證：{an＋1＋2an}是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．解析：(1)證明：因為an＋1＝an＋6an－1(n≥2)，所以an＋1＋2an＝3an＋6an－1＝3(an＋2an－1)(n≥2)．因為a1＝5，a2＝5，所以a2＋2a1＝15，所以an＋2an－1≠0(n≥2)，所以＝3(n≥2)，所以數(shù)列{an＋1＋2an}是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列．(2)由(1)得an＋1＋2an＝15×3n－1＝5×3n，則an＋1＝－2an＋5×3n，所以an＋1－3n＋1＝－2(an－3n)．又因為a1－3＝2，所以an－3n≠0，所以{an－3n}是以2為首項，－2為公比的等比數(shù)列．所以an－3n＝2×(－2)n－1，即an＝2×(－2)n－1＋3n.

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