一、選擇題
1．[2021·江西七校聯(lián)考]已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是( )
A．相交或平行B．相交或異面
C．平行或異面D．相交、平行或異面
2．若直線a⊥b，且直線a∥平面α，則直線b與平面α的位置關(guān)系是( )
A．b?α
B．b∥α
C．b?α或b∥α
D．b與α相交或b?α或b∥α
3.
如圖所示，ABCD－A1B1C1D1是正方體，O是B1D1的中點，直線A1C交平面AB1D1于點M，則下列結(jié)論正確的是( )
A．A，M，O三點共線
B．A，M，O，A1不共面
C．A，M，C，O不共面
D．B，B1，O，M共面
4．[2021·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考試題]在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，則異面直線A1B1與AC1所成角的正切值為( )
A.eq \r(5)B.eq \r(3)C.eq \f(\r(5),2)D.eq \f(\r(3),2)
5．a(chǎn)，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是( )
A．若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面
B．若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交
C．若a∥b，則a，b與c所成的角相等
D．若a⊥b，b⊥c，則a∥c
6．[2021·河北張家口模擬]三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為等邊三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，則BM與AN所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,10)B.eq \f(3,5)C.eq \f(7,10)D.eq \f(4,5)
二、填空題
7．設(shè)P表示一個點，a，b表示兩條直線，α，β表示兩個平面，給出下列四個命題，其中正確命題的序號是________．
①P∈a，P∈α?a?α；
②a∩b＝P，b?β?a?β；
③a∥b，a?α，P∈b，P∈α?b?α；
④α∩β＝b，P∈α，P∈β?P∈b.
8．如圖所示為正方體表面的一種展開圖，則圖中的AB，CD，EF，GH在原正方體中互為異面直線的有________對．
9．若直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，則直線l與平面α的位置關(guān)系為________．
三、解答題
10.
如圖，在四邊形ABCD中，已知AB∥CD，直線AB，BC，AD，DC分別與平面α相交于點E，G，H，F(xiàn)，求證：E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．
11.[2021·福建四地六校聯(lián)考]已知三棱錐A－BCD中，AB＝CD，且直線AB與CD成60°角，點M、N分別是BC、AD的中點，求異面直線AB與MN所成角的大?。?br>[能力挑戰(zhàn)]
12．[2021·洛陽市高三年級統(tǒng)一考試]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成的角的正弦值為( )
A.eq \f(\r(3),2)B.eq \f(\r(10),5)
C.eq \f(\r(15),5)D.eq \f(\r(6),3)
13．[2021·山西省六校高三階段性測試]已知三棱錐B－ACD中，棱AB，CD，AC的中點分別是M，N，O，△ABC，△ACD，△BOD都是正三角形，則異面直線MN與AD所成角的余弦值為( )
A.eq \f(1,3)B.eq \f(\r(7),28)
C.eq \f(2,3)D.eq \f(\r(7),4)
14．[2021·廣東廣州質(zhì)檢]如圖是正四面體(各面均為正三角形)的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點．在這個正四面體中：
①GH與EF平行；
②BD與MN為異面直線；
③GH與MN成60°角；
④DE與MN垂直．
以上四個命題中，正確命題的序號是________．
課時作業(yè)41
1．解析：依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.
答案：D
2．解析：b與α相交或b?α或b∥α都可以．故選D.
答案：D
3．解析：連接A1C1，AC(圖略)，則A1C1∥AC，
∴A1，C1，A，C四點共面，∴A1C?平面ACC1A1.
∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，
∴M在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
同理A，O在平面ACC1A1與平面AB1D1的交線上，
∴A，M，O三點共線．故選A.
答案：A
4．解析：在長方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1B1與直線AB平行，則直線A1B1與AC1所成的角等于AB與AC1所成的角，在直角三角形ABC1中，BC1＝eq \r(5)，AB＝1，所以tan∠BAC1＝eq \r(5)，所以異面直線A1B1與AC1所成角的正切值為eq \r(5).故選A.
答案：A
5．解析：若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若a⊥b，b⊥c，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確，故選C.
答案：C
6．解析：取BC的中點O，連接NO，AO，MN，因為B1C1綊BC，OB＝eq \f(1,2)BC，所以O(shè)B∥B1C1，OB＝eq \f(1,2)B1C1，因為M，N分別為A1B1，A1C1的中點，所以MN∥B1C1，MN＝eq \f(1,2)B1C1，所以MN綊OB，所以四邊形MNOB是平行四邊形，所以NO∥MB，所以∠ANO或其補角即為BM與AN所成角，不妨設(shè)AB＝2，則有AO＝eq \r(3)，ON＝BM＝eq \r(5)，AN＝eq \r(5)，在△ANO中，由余弦定理可得cs∠ANO＝eq \f(AN2＋ON2－AO2,2AN·ON)＝eq \f(5＋5－3,2×\r(5)×\r(5))＝eq \f(7,10).故選C.
答案：C
7．解析：當(dāng)a∩α＝P時，P∈a，P∈α，
但a?α，∴①錯；
a∩β＝P時，②錯；
如圖∵a∥b，P∈b，
∴P?a，∴由直線a與點P確定唯一平面α，
又a∥b，由a與b確定唯一平面γ，
但γ經(jīng)過直線a與點P，
∴γ與α重合，∴b?α，故③正確；
兩個平面的公共點必在其交線上，故④正確．
答案：③④
8.
解析：還原后如圖，顯然AB與CD，EF與GH，AB與GH都是異面直線，而AB與EF相交，CD與GH相交，CD與EF平行．故互為異面直線的有3對．
答案：3
9．解析：∵直線l⊥平面β，平面α⊥平面β，
∴直線l∥平面α，或者直線l?平面α.
答案：l∥α或l?α
10．證明：因為AB∥CD，
所以AB，CD確定一個平面β.
又因為AB∩α＝E，AB?β，所以E∈α，E∈β，
即E為平面α與β的一個公共點．
同理可證F，G，H均為平面α與β的公共點，
因為若兩個平面有公共點，那么它們有且只有一條通過公共點的公共直線，所以E，F(xiàn)，G，H四點必定共線．
11.
解析：如圖，取AC的中點P，連接PM，PN，則PM∥AB，且PM＝eq \f(1,2)AB，PN∥CD，且PN＝eq \f(1,2)CD.
∴∠MPN或其補角為AB與CD所成的角，則∠MPN＝60°或∠MPN＝120°，
∵PM∥AB，
∴∠PMN或其補角是AB與MN所成的角，
∵AB＝CD，∴PM＝PN，
若∠PMN＝60°，
則△PMN是等邊三角形，∴∠PMN＝60°，
∴AB與MN所成的角為60°.
若∠MPN＝120°，
則∠PMN＝30°，∴AB與MN所成的角為30°，
綜上，異面直線AB與MN所成的角為30°或60°.
12．解析：解法一 如圖，將題中的直三棱柱補形成一個直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，連接AD1，易知BC1∥AD1，所以∠B1AD1是直線AB1與BC1所成的角或者其補角．連接B1D1，在△AB1D1中，AB1＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，AD1＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，B1D1＝eq \r(22＋12－2×2×1×cs 60°)＝eq \r(3)，ADeq \\al(2,1)＋B1Deq \\al(2,1)＝5＝ABeq \\al(2,1)，AD1⊥B1D1，sin∠B1AD1＝eq \f(B1D1,AB1)＝eq \f(\r(3),\r(5))＝eq \f(\r(15),5).因此，異面直線AB1與BC1所成的角的正弦值為eq \f(\r(15),5)，故選C.
解法二 依題意得，AB1＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5)，BC1＝eq \r(12＋12)＝eq \r(2)，eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＝eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，eq \(AB1,\s\up6(→))·eq \(BC1,\s\up6(→))＝(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→)))·(eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BB1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))2＋eq \(BB1,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝2，即|eq \(AB1,\s\up6(→))|·|eq \(BC1,\s\up6(→))|·cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝2，eq \r(10)cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝2，cs〈eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(BC1,\s\up6(→))〉＝eq \f(2,\r(10))，又異面直線AB1與BC1所成的角θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以異面直線AB1與BC1所成的角的正弦值sin θ＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(10))))2)＝eq \f(\r(15),5)，故選C.
答案：C
13．解析：由題意可得BO⊥AC，DO⊥AC，連接BN，AN，設(shè)AC＝2，則BO＝DO＝eq \r(3)，所以BD＝eq \r(3).在△BDC中，BC＝CD＝2，BD＝eq \r(3)，通過余弦定理可得BN＝eq \f(\r(10),2).在△ABN中，BN＝eq \f(\r(10),2)，AB＝2，AN＝eq \r(3)，通過余弦定理可得MN＝eq \f(\r(7),2).連接ON，則ON∥AD，易得∠MNO或其補角是異面直線MN與AD所成的角．連接MO，在△MNO中，OM＝ON＝1，MN＝eq \f(\r(7),2)，由余弦定理可得cs∠MNO＝eq \f(\r(7),4).故選D.
答案：D
14．解析：把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，由正四面體的性質(zhì)易知GH與EF為異面直線，BD與MN為異面直線，GH與MN成60°角，DE⊥MN.
答案：②③④

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