一、選擇題
1．若圓錐的側(cè)面展開圖是圓心角為120°，半徑為l的扇形，則這個(gè)圓錐的表面積與側(cè)面積比是( )
A．3：2B．2：1
C．4：3D．5：3
2．[2021·重慶一中調(diào)考]一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為( )
A．3πB．4π
C．2π＋4D．3π＋4
3．[2021·福州市高中畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某三棱錐的正視圖、俯視圖，則該三棱錐的體積為( )
A．81B．27
C．18D．9
4．[2020·天津卷，5]若棱長為2eq \r(3)的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為( )
A．12πB．24π
C．36πD．144π
5．[2021·廣州市高三年級(jí)階段訓(xùn)練題]陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，也稱陀羅．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某個(gè)陀螺的三視圖，則該陀螺的表面積為( )
A．(7＋2eq \r(2))πB．(10＋2eq \r(2))π
C．(10＋4eq \r(2))πD．(11＋4eq \r(2))π
6．[2021·大同市高三學(xué)情調(diào)研測(cè)試試題]體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的體積為( )
A．4eq \r(3)πB．8eq \r(3)π
C．12eq \r(3)πD．6eq \r(3)π
7．[2021·河北省九校高三聯(lián)考試題]下圖網(wǎng)格紙中小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為( )
A．7π＋8＋4eq \r(2)B．7π＋4＋4eq \r(2)
C．5π＋8＋4eq \r(2)D．5π＋4＋4eq \r(2)
8．[2021·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考試題]已知一圓錐的底面直徑與母線長相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為( )
A.eq \f(2,3)B.eq \f(4,9)
C.eq \f(2\r(6),9)D.eq \f(8,27)
9．[2021·北京昌平區(qū)檢測(cè)]《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)著作，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問：積及為米幾何？”其意思為：在屋內(nèi)墻角處堆放米，米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積及堆放的米各為多少？已知米堆所形成的幾何體的三視圖如圖所示，一斛米的體積約為1.62立方尺，由此估算出堆放的米約有( )
A．21斛B．34斛
C．55斛D．63斛
10.[2020·全國卷Ⅱ，10]已知△ABC是面積為eq \f(9\r(3),4)的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上．若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為( )
A.eq \r(3)B.eq \f(3,2)
C．1D.eq \f(\r(3),2)
二、填空題
11．[2021·南昌市高三年級(jí)摸底測(cè)試卷]已知一個(gè)圓錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐的側(cè)面積為________．
12．[2021·廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試]如圖，如果一個(gè)空間幾何體的正視圖與側(cè)視圖為全等的等邊三角形，俯視圖為一個(gè)半徑為1的圓及其圓心，則這個(gè)幾何體的體積為________，表面積為________．
13．[2021·廣州市高三年級(jí)調(diào)研檢測(cè)]已知某正三棱錐的側(cè)棱長大于底邊長，其外接球體積為eq \f(125π,6)，三視圖如圖所示，則其側(cè)視圖的面積為________．
14．[2021·石家莊市重點(diǎn)高中高三畢業(yè)班摸底考試]已知正三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，棱錐的底面是邊長為2eq \r(3)的正三角形，側(cè)棱長為2eq \r(5)，則球O的表面積為________．
[能力挑戰(zhàn)]
15．[2021·廣州市普通高中畢業(yè)班綜合測(cè)試]已知直三棱柱ABC－A1B1C1的體積為V，若P，Q分別在AA1，CC1上，且AP＝eq \f(1,3)AA1，CQ＝eq \f(1,3)CC1，則四棱錐B－APQC的體積為( )
A.eq \f(1,6)VB.eq \f(2,9)V
C.eq \f(1,3)VD.eq \f(7,9)V
16．[2021·福建省高三畢業(yè)班質(zhì)量檢測(cè)]某學(xué)生到工廠實(shí)踐，欲將一個(gè)底面半徑為2，高為3的實(shí)心圓錐體工件切割成一個(gè)圓柱體，并使圓柱體的一個(gè)底面落在圓錐體的底面內(nèi)．若不考慮損耗，則得到的圓柱體的最大體積是( )
A.eq \f(16π,9)B.eq \f(8π,9)
C.eq \f(16π,27)D.eq \f(8π,27)
17．[2021·河南省豫北名校高三質(zhì)量考評(píng)]如圖為一個(gè)正方體ABCD－A1B1C1D1與一個(gè)半球O1構(gòu)成的組合體，半球O1的底面圓與該正方體的上底面A1B1C1D1的四邊相切，O1與正方形A1B1C1D1的中心重合．將此組合體重新置于一個(gè)球O中(球O未畫出)，使該正方體的下底面ABCD的頂點(diǎn)均落在球O的表面上，半球O1與球O內(nèi)切，設(shè)切點(diǎn)為P，若四棱錐P－ABCD的表面積為4＋4eq \r(10)，則球O的表面積為( )
A.eq \f(121π,6)B.eq \f(121π,9)
C．12πD．9π
課時(shí)作業(yè)40
1．解析：底面半徑r＝eq \f(\f(2,3)π,2π)l＝eq \f(1,3)l，故圓錐中S側(cè)＝eq \f(1,3)πl(wèi)2，S表＝eq \f(1,3)πl(wèi)2＋πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)l))2＝eq \f(4,9)πl(wèi)2，所以表面積與側(cè)面積的比為43.故選C.
答案：C
2.
解析：由幾何體的三視圖可知，該幾何體為半圓柱，直觀圖如圖所示，表面積為2×2＋2×eq \f(1,2)×π×12＋π×1×2＝4＋3π，故選D.
答案：D
3．解析：由已知條件可以確定該幾何體為三棱錐，其高為6，底面積為俯視圖中三角形的面積，故底面積S＝36－eq \f(1,2)×3×3－2×eq \f(1,2)×3×6＝eq \f(27,2)，所以該三棱錐的體積V＝eq \f(1,3)×eq \f(27,2)×6＝27.故選B.
答案：B
4．解析：設(shè)外接球的半徑為R，易知2R＝eq \r(3)×2eq \r(3)＝6，所以R＝3，于是表面積S＝4πR2＝36π，故選C.
答案：C
5．解析：由三視圖知，該陀螺是一個(gè)圓錐與一個(gè)圓柱的組合體，其中圓錐的底面半徑為2、高為2，圓柱的底面半徑為1、高為3，所以該陀螺的表面積為π×2×eq \r(22＋22)＋π×22＋2π×1×3＝(10＋4eq \r(2))π，故選C.
答案：C
6．解析：由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對(duì)角線為其外接球的直徑，所以其外接球的半徑R＝eq \f(\r(22＋22＋22),2)＝eq \r(3)，則外接球的體積V＝eq \f(4π,3)R3＝4eq \r(3)π.故選A.
答案：A
7．解析：由三視圖可知，該幾何體是上方為一個(gè)八分之一球，下方是一個(gè)底面為等腰直角三角形的直三棱柱，故所求表面積S＝eq \f(1,8)×4π×22＋eq \f(1,4)×π×22×3＋2×2×2＋2eq \r(2)×2＝5π＋8＋4eq \r(2)，故選C.
答案：C
8．解析：設(shè)圓錐底面圓的半徑為R，球的半徑為r，由題意知，圓錐的軸截面是邊長為2R的等邊三角形，球的大圓是該等邊三角形的內(nèi)切圓，如圖所示，所以r＝eq \f(\r(3),3)R，S球＝4πr2＝4π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)R))2＝eq \f(4π,3)R2，S圓錐＝πR·2R＋πR2＝3πR2，所以球與圓錐的表面積之比eq \f(S球,S圓錐)＝eq \f(\f(4π,3)R2,3πR2)＝eq \f(4,9)，故選B.
答案：B
9．解析：設(shè)圓錐的底面eq \f(1,4)圓的半徑為r，則eq \f(π,2)r＝8，解得r＝eq \f(16,π)，
故米堆的體積為eq \f(1,4)×eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,π)))2×5＝eq \f(320,3π)(立方尺)．
∵1斛米的體積約為1.62立方尺，
∴eq \f(320,3π)÷1.62≈21(斛)，故選A.
答案：A
10．解析：設(shè)等邊△ABC的邊長為a，外接圓半徑為r，球心O到平面ABC的距離為h，球的半徑為R，依題意得eq \f(\r(3),4)a2＝eq \f(9\r(3),4)，解得a＝3(負(fù)值舍去)，則△ABC的外接球半徑為r＝eq \f(\r(3),3)a＝eq \r(3)，因?yàn)榍騉的表面積為16π，即4πR2＝16π，所以R＝2.由R2＝h2＋r2得h＝ eq \r(22－(\r(3))2)＝1.故選C.
答案：C
11．解析：因?yàn)閳A錐的軸截面是斜邊長為2的等腰直角三角形，所以圓錐的底面半徑r＝1，母線l＝eq \r(2)，所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝eq \r(2)π.
答案：eq \r(2)π
12．解析：根據(jù)三視圖可知，該幾何體為圓錐，其底面半徑r＝1，母線長l＝2，所以該圓錐的高h(yuǎn)＝eq \r(l2－r2)＝eq \r(3)，所以這個(gè)幾何體的體積為eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×π×12×eq \r(3)＝eq \f(\r(3)π,3)，表面積為π·r2＋π·r·l＝π×12＋π×1×2＝3π.
答案：eq \f(\r(3)π,3) 3π
13．解析：
畫出正三棱錐的直觀圖如圖所示，其中F是等邊三角形ABC的中心，E是正三棱錐外接球的球心，G是BC的中點(diǎn)．根據(jù)正三棱錐的幾何性質(zhì)有DF⊥平面ABC.由俯視圖可知，等邊三角形ABC的邊長為2eq \r(3)，所以△ABC的高為2eq \r(3)×sin 60°＝3.根據(jù)等邊三角形的幾何性質(zhì)可知，等邊三角形ABC的外接圓半徑FA＝eq \f(2,3)×3＝2.設(shè)正三棱錐的外接球半徑為R，則eq \f(4π,3)R3＝eq \f(125π,6)，解得R＝eq \f(5,2)，故DE＝EA＝R＝eq \f(5,2)，所以EF＝eq \r(EA2－FA2)＝eq \r(\f(25,4)－4)＝eq \f(3,2).所以正三棱錐的高DF＝ED＋EF＝eq \f(5,2)＋eq \f(3,2)＝4，即側(cè)視圖的高為4.所以側(cè)視圖的面積為eq \f(1,2)×3×4＝6.
答案：6
14．解析：如圖，延長SO交球O于點(diǎn)D，設(shè)△ABC的外心為點(diǎn)E，連接AE，AD，
由正弦定理得2AE＝eq \f(2\r(3),sin 60°)＝4，∴AE＝2，
易知SE⊥平面ABC，由勾股定理可知，三棱錐S－ABC的高SE＝eq \r(SA2－AE2)＝eq \r((2\r(5))2－22)＝4，由于點(diǎn)A是以SD為直徑的球O上一點(diǎn)，∴∠SAD＝90°，由射影定理可知，球O的直徑2R＝SD＝eq \f(SA2,SE)＝5，
因此，球O的表面積為4πR2＝π×(2R)2＝25π.
答案：25π
15．解析：如圖，設(shè)D是BB1上一點(diǎn)，且BD＝eq \f(1,3)BB1，連接DP，DQ，由于AP＝eq \f(1,3)AA1，CQ＝eq \f(1,3)CC1，所以平面DPQ∥平面ABC.所以V四棱錐B－APQC＝V三棱柱ABC－PDQ×eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)×V三棱柱ABC－A1B1C1))×eq \f(2,3)＝eq \f(2,9)V.故選B.
答案：B
16．解析：解法一 如圖，OC＝2，OA＝3，由△AED∽△AOC可得eq \f(ED,OC)＝eq \f(AE,AO).設(shè)圓柱體的底面半徑r＝ED＝2x(0

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