?第2講　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
最新考綱
考向預(yù)測
借助長方體，在直觀認(rèn)識空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義，了解公理1～4及其相關(guān)定理.
命題趨勢
主要考查與點(diǎn)、線、面位置關(guān)系有關(guān)的命題真假判斷和求解異面直線所成的角，主要以選擇題和填空題的形式出現(xiàn)，主要為中低檔題.
核心素養(yǎng)
直觀想象、邏輯推理


1．四個公理
公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面．
公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線．
公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行．
2．空間直線的位置關(guān)系
(1)位置關(guān)系的分類

(2)異面直線所成的角
①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
②范圍：．
(3)等角定理
空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)．
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)空間中直線和平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號表示
公共點(diǎn)
直線a在
平面α內(nèi)

a?α
有無數(shù)個公共點(diǎn)
直線
在平
面外
直線a與平面α平行

a∥α
沒有公共點(diǎn)
直線a與平面α斜交

a∩α＝A
有且只有一個公共點(diǎn)
直線a與平面α垂直

a⊥α
(2)空間中兩個平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系
圖形表示
符號表示
公共點(diǎn)
兩平面平行

α∥β
沒有公共點(diǎn)
兩平
面相
交
斜交

α∩β＝l
有一條公共直線
垂直

α⊥β且
α∩β＝a
常用結(jié)論
1．公理2的三個推論
推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)有且只有一個平面；
推論2：經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面；
推論3：經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面．
2．異面直線判定的一個定理
過平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線．
常見誤區(qū)
1．異面直線易誤解為“分別在兩個不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個平面，因此異面直線即不平行，也不相交．
2．在判斷直線與平面的位置關(guān)系時最易忽視“線在平面內(nèi)”．

1．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若P∈α∩β且l是α，β的交線，則P∈l.(　　)
(2)三點(diǎn)A，B，C確定一個平面．(　　)
(3)若直線a∩b＝A，則直線a與b能夠確定一個平面．(　　)
(4)若A∈l，B∈l且A∈α，B∈α，則l?α.(　　)
(5)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線是異面直線．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×
2．(多選)α是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點(diǎn)，若m?α，n?α，且A∈m，A∈α，則m，n的位置關(guān)系可能是(　　)
A．垂直　　　　　　　 B．相交
C．異面 D．平行
解析：選ABC.依題意，m∩α＝A，n?α，
所以m與n可能異面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．
3．若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA與O1A1的方向相同，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A．OB∥O1B1且方向相同
B．OB∥O1B1
C．OB與O1B1不平行
D．OB與O1B1不一定平行
解析：選D.兩角相等，角的一邊平行且方向相同，另一邊不一定平行，故選D.
4．(易錯題)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成角的大小為________．

解析：連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求角，又B1D1＝B1C＝D1C，所以∠D1B1C＝60°.
答案：60°
5．如圖，在三棱錐A-BCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則

(1)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為菱形；
(2)當(dāng)AC，BD滿足條件________時，四邊形EFGH為正方形．
解析：(1)因為四邊形EFGH為菱形，
所以EF＝EH，故AC＝BD.
(2)因為四邊形EFGH為正方形，
所以EF＝EH且EF⊥EH，
因為EF綊AC，EH綊BD，
所以AC＝BD且AC⊥BD.
答案：(1)AC＝BD　(2)AC＝BD且AC⊥BD


平面的基本性質(zhì)
如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，求證：E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．

【證明】　如圖所示，連接CD1，EF，A1B，

因為E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)，所以EF∥A1B且EF＝A1B.
又因為A1D1綊BC，
所以四邊形A1BCD1是平行四邊形，
所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1，
所以EF與CD1確定一個平面α，
所以E，F(xiàn)，C，D1∈α，
即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．
【引申探究】　(變問法)若本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？
證明：如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1，

所以四邊形CD1FE是梯形，
所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，
則P∈CE且P∈D1F，
又CE?平面ABCD，
且D1F?平面A1ADD1，
所以P∈平面ABCD，
且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD，
所以CE，D1F，DA三線交于一點(diǎn)．

共面、共線、共點(diǎn)問題的證明方法
(1)證明點(diǎn)或線共面：
①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個平面內(nèi)；②將所有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合．
(2)證明點(diǎn)共線：
①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定的直線上．
(3)證明線共點(diǎn)：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過該點(diǎn)．
[提醒]　點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等都是應(yīng)用公理3，證明點(diǎn)為兩平面的公共點(diǎn)，即證明點(diǎn)在交線上．　

1.(多選)如圖，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，O是DB的中點(diǎn)，直線A1C交平面C1BD于點(diǎn)M，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C1，M，O三點(diǎn)共線
B．C1，M，O，C四點(diǎn)共面
C．C1，O，A1，M四點(diǎn)共面
D．D1，D，O，M四點(diǎn)共面
解析：選ABC.連接A1C1，AC，則AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，所以三點(diǎn)C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，所以C1，M，O三點(diǎn)共線，所以選項A，B，C均正確，選項D錯誤．
2．如圖，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.

(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P，求證：P，A，C三點(diǎn)共線．
證明：(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EF∥BD.在△BCD中，＝＝，所以GH∥BD，所以EF∥GH，所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，
所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC .
所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)，
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，所以P，A，C三點(diǎn)共線．

空間兩直線的位置關(guān)系
(2019·高考全國卷Ⅲ)如圖，點(diǎn)N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點(diǎn)，則(　　)

A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線
B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線
C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線
D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線
【解析】　如圖，取CD的中點(diǎn)F，連接EF，EB，BD，F(xiàn)N，因為△CDE是正三角形，所以EF⊥CD.設(shè)CD＝2，則EF＝.因為點(diǎn)N是正方形ABCD的中心，所以BD＝2，NF＝1，BC⊥CD.因為平面ECD⊥平面ABCD，所以EF⊥平面ABCD，BC⊥平面ECD，所以EF⊥NF，BC⊥EC，所以在Rt△EFN中，EN＝2，在Rt△BCE中，EB＝2，所以在等腰三角形BDE中，BM＝，所以BM≠EN.易知BM，EN是相交直線．故選B.

【答案】　B

　

1．已知a，b是異面直線，A，B是a上的兩點(diǎn)，C，D是b上的兩點(diǎn)，M，N分別是線段AC，BD的中點(diǎn)，則MN和a的位置關(guān)系是(　　)
A．異面　　　　　　　　 B．平行
C．相交 D．以上均有可能
解析：選A.若MN與AB平行或相交，則MN與AB共面，設(shè)該平面為α.因為C∈直線AM，D∈直線BN，所以C∈α，D∈α，所以b?α.又因為A∈α，B∈α，所以a?α.這與a，b異面矛盾．故選A.
2．(多選)如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，下列說法正確的有(　　)

A．直線AM與CC1是相交直線
B．直線AM與BN是平行直線
C．直線BN與MB1是異面直線
D．直線AM與DD1是異面直線
解析：選CD.因為點(diǎn)A在平面CDD1C1外，點(diǎn)M在平面CDD1C1內(nèi)，直線CC1在平面CDD1C1內(nèi)，CC1不過點(diǎn)M，所以AM與CC1是異面直線，故A錯；取DD1的中點(diǎn)E，連接AE(圖略)，則BN∥AE，但AE與AM相交，故B錯；因為B1與BN都在平面BCC1B1內(nèi)，M在平面BCC1B1外，BN不過點(diǎn)B1，所以BN與MB1是異面直線，故C正確；同理D正確，故選CD.

異面直線所成的角
(1)如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為________．

(2)四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．若BD，AC所成的角為60°，且BD＝AC＝1，則EF的長為________．
【解析】　(1)取圓柱下底面弧AB的另一中點(diǎn)D，連接C1D，AD，

因為C是圓柱下底面弧AB的中點(diǎn)，
所以AD∥BC，所以直線AC1與AD所成的角即為異面直線AC1與BC所成的角，因為C1是圓柱上底面弧A1B1的中點(diǎn)，所以C1D垂直于圓柱下底面，所以C1D⊥AD.
因為圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，
所以C1D＝AD，
所以直線AC1與AD所成角的正切值為，
所以異面直線AC1與BC所成角的正切值為.
(2)如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF，

因為OE∥AC，OF∥BD，
所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時，EF＝OE＝OF＝.
當(dāng)∠EOF＝120°時，取EF的中點(diǎn)M，則OM⊥EF，
EF＝2EM＝2×＝.
【答案】　(1)　(2)或

平移法求異面直線所成角的步驟
具體步驟如下：
　

1．直三棱柱ABC-A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于(　　)
A．30°　　　　　　　 B．45°
C．60° D．90°
解析：選C.如圖，可補(bǔ)成一個正方體，

所以AC1∥BD1.
所以BA1與AC1所成的角為∠A1BD1.
又易知△A1BD1為正三角形．
所以∠A1BD1＝60°.即BA1與AC1所成的角為60°.
2．(2021·濟(jì)南市學(xué)習(xí)質(zhì)量評估)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則異面直線BD與CF所成角的余弦值為________．

解析：如圖，連接DE交FC于點(diǎn)O，

取BE的中點(diǎn)G，連接OG，CG，
則OG∥BD且OG＝BD，
所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角．
設(shè)正方形ABCD的邊長為2，
則CE＝BE＝1，CF＝DE＝＝，
所以CO＝CF＝.
易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，
所以BD＝＝，
所以O(shè)G＝BD＝.
易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，
又GE＝BE＝，所以CG＝＝.
在△COG中，由余弦定理得，
cos∠COG＝＝＝，
所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為.
答案：

[A級　基礎(chǔ)練]
1．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是(　　)
A．相交或平行　　　　　　 B．相交或異面
C．平行或異面 D．相交、平行或異面
解析：選D.依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.
2．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．梯形一定是平面圖形
B．若兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行
C．兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面
D．若兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面重合
解析：選AC.對于A，由于兩條平行直線確定一個平面，所以梯形可以確定一個平面，故A正確；對于B，兩條直線和第三條直線所成的角相等，則這兩條直線平行或異面或相交，故B錯誤；對于C，兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面，故C正確；對于D，若兩個平面有三個公共點(diǎn)，則這兩個平面相交或重合，故D錯誤．
3．(2021·安徽蚌埠第二中學(xué)期中)在四面體ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在直線AD，AB，CD，BC上，若直線EF和GH相交，則它們的交點(diǎn)一定(　　)
A．在直線DB上 B．在直線AB上
C．在直線CB上 D．都不對
解析：選A.直線EF和GH相交，設(shè)其交點(diǎn)為M.因為EF?平面ABD，HG?平面CBD，所以M∈平面ABD且M∈平面CBD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF與HG的交點(diǎn)在直線BD上．故選A.
4．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是(　　)

A．直線AC B．直線AB
C．直線CD D．直線BC
解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，
又因為D∈AB，所以D∈平面ABC，
所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．
又因為C∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.
5．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點(diǎn)，則下列敘述正確的是(　　)

A．CC1與B1E是異面直線
B．C1C與AE共面
C．AE與B1C1是異面直線
D．AE與B1C1所成的角為60°
解析：選C.由于CC1與B1E都在平面C1B1BC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面C1B1BC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點(diǎn)，點(diǎn)E不在C1C上，故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點(diǎn)，△ABC為正三角形，所以AE⊥BC，D錯誤．
6．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是________．
解析：如圖，由題意可知MN∥AC.
又因為AC∥A′C′，
所以MN∥A′C′.
答案：平行
7．(2020·高考全國卷Ⅰ)如圖，在三棱錐P-ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．

解析：依題意得，AE＝AD＝，在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠EAC＝3＋1－2cos 30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又BC＝＝＝2，BF＝BD＝＝，所以在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝＝＝－.
答案：－
8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為________．

解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，
則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，
在△AGP中，AG＝GP＝AP，
所以∠APG＝.
答案：
9．如圖，在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.
(1)畫出l的位置；
(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長．

解：(1)如圖，延長DM與D1A1交于點(diǎn)O，連接NO，則直線NO即為直線l.

(2)因為l∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點(diǎn)即為P.
所以A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，所以A1也為D1O的中點(diǎn)．由圖可知＝＝，所以A1P＝，從而可知PB1＝.
10．如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．

(1)求證：直線EF與BD是異面直線；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．
解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾．故直線EF與BD是異面直線．
(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．
又因為AC⊥BD，則FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.
[B級　綜合練]
11．已知直線l?平面α，直線m?平面α，給出下面四個結(jié)論：①若l與m不垂直，則l與α一定不垂直；②若l與m所成的角為30°，則l與α所成的角也為30°；③l∥m是l∥α的必要不充分條件；④若l與α相交，則l與m一定是異面直線．其中正確結(jié)論的個數(shù)為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
解析：選A.對于①，當(dāng)l與m不垂直時，假設(shè)l⊥α，那么由l⊥α一定能得到l⊥m，這與已知條件矛盾，因此l與α一定不垂直，故①正確；對于②，易知l與m所成的角為30°時，l與α所成的角不一定為30°，故②不正確；對于③，l∥m可以推出l∥α，但是l∥α不能推出l∥m，因此l∥m是l∥α的充分不必要條件，故③不正確；對于④，若l與α相交，則l與m相交或異面，故④不正確．故正確結(jié)論的個數(shù)為1，選A.
12.如圖，在正方體ABCD-A′B′C′D′中，平面α垂直于對角線AC′，且平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形，記此截面六邊形的面積為S，周長為l，則(　　)
A．S為定值，l不為定值 B．S不為定值，l為定值
C．S與l均為定值 D．S與l均不為定值
解析：選B.設(shè)平面α截得正方體的六個表面得到截面六邊形ω，ω與正方體的棱的交點(diǎn)分別為I，J，N，M，L，K(如圖)．
將正方體切去兩個正三棱錐A-A′BD和C′-B′CD′，得到一個幾何體V，則V的上、下底面B′CD′與A′BD互相平行，每個側(cè)面都是等腰直角三角形，截面六邊形ω的每一條邊分別與V的底面上的每一條邊平行．設(shè)正方體的棱長為a，＝γ，則IK＝γB′D′＝aγ，KL＝(1－γ)A′B＝a(1－γ)，故IK＋KL＝aγ＋a(1－γ)＝a.同理可證LM＋MN＝NJ＋I(xiàn)J＝a，故六邊形ω周長為3a，即周長為定值．
當(dāng)I，J，N，M，L，K都在對應(yīng)棱的中點(diǎn)時，ω是正六邊形．其面積S＝6×××＝a2，△A′BD的面積為×(a)2×＝a2，當(dāng)ω?zé)o限趨近于△A′BD時，ω的面積無限趨近于a2，故ω的面積一定會發(fā)生變化，不為定值．故選B.
13．如圖，四邊形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)．
(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；
(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？

解：(1)證明：由已知FG＝GA，F(xiàn)H＝HD可得GH綊AD.又BC綊AD，所以GH綊BC.所以四邊形BCHG為平行四邊形．
(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面，理由如下：由BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)知，BE綊FG，所以四邊形BEFG為平行四邊形，所以EF∥BG.由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，所以EF與CH共面，又D∈FH，所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面．
14.

如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.
(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)m，n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？
(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.
解：(1)證明：因為AE∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.
又CF∶FB＝CG∶GD，
所以FG∥BD.所以EH∥FG.
所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．
(2)當(dāng)m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形，理由如下：
當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．
因為＝＝，所以EH＝BD.
同理可得FG＝BD，由EH＝FG，得m＝n.
故當(dāng)m＝n時，四邊形EFGH為平行四邊形．
(3)證明：當(dāng)m＝n時，AE∶EB＝CF∶FB，
所以EF∥AC，
又EH∥BD，
所以∠FEH是AC與BD所成的角(或其補(bǔ)角)，
因為AC⊥BD，所以∠FEH＝90°，
從而平行四邊形EFGH為矩形，所以EG＝FH.
[C級　創(chuàng)新練]
15．平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，則m，n所成角的正弦值為(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析：選A.如圖所示，設(shè)平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，
因為α∥平面CB1D1，則m1∥m，又因為平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

所以B1D1∥m1，
所以B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小與B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大?。?br /> 又因為B1C＝B1D1＝CD1(均為面對角線)，
所以∠CD1B1＝，
得sin∠CD1B1＝，故選A.
16．(2020·新高考卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長為________．
解析：如圖，連接B1D1，易知△B1C1D1為正三角形，所以B1D1＝C1D1＝2.分別取B1C1，BB1，CC1的中點(diǎn)M，G，H，連接D1M，D1G，D1H，則易得D1G＝D1H＝＝，D1M⊥B1C1，且D1M＝.由題意知G，H分別是BB1，CC1與球面的交點(diǎn)．在側(cè)面BCC1B1內(nèi)任取一點(diǎn)P，使MP＝，連接D1P，則D1P＝ ＝＝，連接MG，MH，易得MG＝MH＝，故可知以M為圓心，為半徑的圓弧GH為球面與側(cè)面BCC1B1的交線．由∠B1MG＝∠C1MH＝45°知∠GMH＝90°，所以的長為×2π×＝.
答案：

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