第4課時(shí)　導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.已知f(x)=x3-x2+6x-a,若對(duì)任意實(shí)數(shù)x,f'(x)≥m恒成立,則m的最大值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.3 B.2 C.1 D.-解析:f'(x)=3x2-9x+6,因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x,f'(x)≥m恒成立,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,所以Δ=81-12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值為-,故選D.答案:D2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>R,x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是(　　)A.?x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的極小值點(diǎn)C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn)D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn)解析:f(x)與-f(-x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn)時(shí),-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn),故選D.答案:D3.若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(　　)A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]C.[2,+∞) D.[1,+∞)解析:由f'(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,則f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立,即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立.又當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),0<<1,故k≥1.故選D.答案:D4.函數(shù)f(x)=1+x+(x∈R)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)A.0 B.1 C.2 D.3解析:因?yàn)?/span>f'(x)=1+x+x2=>0,因此函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增,且f(-2)=-<0,f(2)=>0,因此函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1,故選B.答案:B5.若0<x1<x2<1,則(　　)A.>ln x2-ln x1B.<ln x2-ln x1C.x2>x1D.x2<x1解析:令f(x)=,則f'(x)=.當(dāng)0<x<1時(shí),f'(x)<0,即f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減.∵0<x1<x2<1,∴f(x2)<f(x1),即,∴x2>x1,故選C.答案:C6.(2015陜西高考)函數(shù)y=xex在其極值點(diǎn)處的切線方程為　　　　　　　　　. 解析:令y'=(x+1)ex=0,得x=-1,則切點(diǎn)為.∵函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0,即切線斜率為0,則切線方程為y=-.答案:y=-7.(2015天津高考)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù),f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),若f'(1)=3,則a的值為　　　　　. 解析:因?yàn)?/span>f(x)=axlnx,所以f'(x)=alnx+ax·=a(lnx+1).由f'(1)=3得a(ln1+1)=3,所以a=3.答案:38.已知函數(shù)f(x)=ex(ax2-2x+2),其中a>0.(1)若曲線y=f(x)在x=2處的切線與直線x+e2y-1=0垂直,求實(shí)數(shù)a的值;(2)討論f(x)的單調(diào)性.解f'(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0).(1)由題意得f'(2)·=-1,解得a=.(2)令f'(x)=0,得x1=0,x2=.①當(dāng)0<a<1時(shí),f(x)的增區(qū)間為(-∞,0),,減區(qū)間為;②當(dāng)a=1時(shí),f(x)在(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;③當(dāng)a>1時(shí),f(x)的增區(qū)間為,(0,+∞),減區(qū)間為.9.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844061已知函數(shù)f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)當(dāng)a=-4時(shí),求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)若f(x)在區(qū)間[1,4]上的最小值為8,求a的值.解(1)當(dāng)a=-4時(shí),由f'(x)==0得x=或x=2,由f'(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(2,+∞).(2)因?yàn)?/span>f'(x)=,a<0,由f'(x)=0得x=-或x=-.當(dāng)x∈時(shí),f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈時(shí),f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈時(shí),f(x)單調(diào)遞增,易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.①當(dāng)-≤1時(shí),即-2≤a<0時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合題意.②當(dāng)1<-≤4時(shí),即-8≤a<-2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為f=0,不符合題意.③當(dāng)->4時(shí),即a<-8時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),當(dāng)a=-10時(shí),f(x)在(1,4)單調(diào)遞減,f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8,符合題意.綜上有,a=-10.10.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844062已知函數(shù)f(x)=ax2+x-xln x.(1)若a=0,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(1)=2,且在定義域內(nèi)f(x)≥bx2+2x恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.解(1)當(dāng)a=0時(shí),f(x)=x-xlnx,函數(shù)定義域?yàn)?/span>(0,+∞).f'(x)=-lnx,由-lnx=0,得x=1.當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)在(0,1)上是增函數(shù);當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).(2)由f(1)=2,得a+1=2,所以a=1,因此f(x)=x2+x-xlnx.由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥lnx.因?yàn)?/span>x>0,所以b≤1-恒成立.令g(x)=1-,可得g'(x)=,因此g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)min=g(1)=0,故b的取值范圍是(-∞,0].  

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