?模塊綜合測評
(時間:120分鐘　滿分:150分)
一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分)
1.已知命題p:?x∈R,x≥1,則命題?p為(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　
A.?x∈R,x≤1
B.?x∈R,xb且c>d
B.p:a>1,b>1,q:f(x)=ax-b(a>0且a≠1)的圖像不過第二象限
C.p:x=1,q:x2=x
D.p:a>1,q:f(x)=logax(a>0且a≠1)在(0,+∞)上為增函數(shù)
解析:由于a>b,c>d?a+c>b+d,而a+c>b+d卻不一定推出a>b,且c>d.故A中p是q的必要不充分條件.B中,當(dāng)a>1,b>1時,函數(shù)f(x)=ax-b不過第二象限,當(dāng)f(x)=ax-b不過第二象限時,有a>1,b≥1.故B中p是q的充分不必要條件.C中,因為x=1時有x2=x,但x2=x時不一定有x=1,故C中p是q的充分不必要條件.D中p是q的充要條件.
答案:A
6.(2017全國Ⅱ高考)若a>1,則雙曲線x2a2-y2=1的離心率的取值范圍是(　　)
A.(2,+∞) B.(2,2) C.(1,2) D.(1,2)
解析:由題意得e2=c2a2=a2+1a2=1+1a2.
因為a>1,所以10,b>0)的右焦點為F(c,0),點A在雙曲線的漸近線上,且△OAF是邊長為2的等邊三角形,不妨設(shè)點A在漸近線y=bax上,
∴c=2,ba=tan60°,a2+b2=c2,解得a=1,b=3.所以雙曲線的方程為x2-y23=1.故選D.
答案:D
9.若函數(shù)f(x)=x2+ax(a∈R),則下列結(jié)論正確的是(　　)
A.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
B.?a∈R,f(x)在(0,+∞)上是減函數(shù)
C.?a∈R,f(x)是偶函數(shù)
D.?a∈R,f(x)是奇函數(shù)
解析:f'(x)=2x-ax2,故只有當(dāng)a≤0時,f(x)在(0,+∞)上才是增函數(shù),因此A,B不對;當(dāng)a=0時,f(x)=x2是偶函數(shù),因此C對;D不對.
答案:C
10.(2017全國Ⅲ高考)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為(　　)
A.63 B.33 C.23 D.13
解析:以線段A1A2為直徑的圓的方程是x2+y2=a2.
因為直線bx-ay+2ab=0與圓x2+y2=a2相切,
所以圓心到該直線的距離d=2abb2+a2=a,
整理,得a2=3b2,即a2=3(a2-c2),
所以c2a2=23,從而e=ca=63.故選A.
答案:A
11.若不等式2xln x≥-x2+ax-3對x∈(0,+∞)恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.(-∞,0) B.(-∞,4] C.(0,+∞) D.[4,+∞)
解析:由2xlnx≥-x2+ax-3,得a≤2lnx+x+3x,設(shè)h(x)=2lnx+x+3x(x>0),則h'(x)=(x+3)(x-1)x2.當(dāng)x∈(0,1)時,h'(x)2,ab>0)的左、右焦點分別為F1,F2,短軸兩個端點為A,B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.
(1)求橢圓的方程;
(2)若C,D分別是橢圓的左、右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.證明:OM·OP為定值.
(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存在異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP,MQ的交點.若存在,求出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1)解a=2,b=c,a2=b2+c2,∴b2=2,
∴橢圓方程為x24+y22=1.
(2)證明C(-2,0),D(2,0),設(shè)M(2,y0),P(x1,y1),
則OP=(x1,y1),OM=(2,y0).
直線CM:y=y04(x+2),即y=y04x+12y0,代入橢圓方程x2+2y2=4,
得1+y028x2+12y02x+12y02-4=0.
∵x1=-12·4(y02-8)y02+8,∴x1=-2(y02-8)y02+8,
∴y1=8y0y02+8,
∴OP=-2(y02-8)y02+8,8y0y02+8,
∴OP·OM=-4(y02-8)y02+8+8y02y02+8=4y02+32y02+8=4(定值).
(3)解設(shè)存在Q(m,0)滿足條件,則MQ⊥DP.
MQ=(m-2,-y0),DP=-4y02y02+8,8y0y02+8,
則由MQ·DP=0得-4y02y02+8(m-2)-8y02y02+8=0,
從而得m=0,
∴存在Q(0,0)滿足條件.
21.導(dǎo)學(xué)號01844064(本小題滿分12分)(2017全國Ⅲ高考)已知函數(shù)f(x)=ln x+ax2+(2a+1)x.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)a0,故f(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增.
若a

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