第四章DISIZHANG導(dǎo)數(shù)應(yīng)用§1　函數(shù)的單調(diào)性與極值1.1　導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性A組1.函數(shù)f(x)=x3+的遞減區(qū)間為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.(-1,0),(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(-∞,0)∪(0,+∞).f'(x)=3x2-=3.令f'(x)>0,解得x<-1或x>1.令f'(x)<0,解得-1<x<1,且x≠0.所以函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(-∞,-1),(1,+∞);遞減區(qū)間為(-1,0),(0,1).答案:A2.已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(-3)=f(5)=1,f'(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示,則不等式f(x)<1的解集是(　　)A.(-3,0) B.(-3,5)C.(0,5) D.(-∞,-3)∪(5,+∞)解析:依題意得,當(dāng)x>0時(shí),f'(x)>0,f(x)是增加的;當(dāng)x<0時(shí),f'(x)<0,f(x)是減少的.又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)<1的解集是(-3,5),選B.答案:B3.若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),且滿足f(x)<xf'(x),則 (　　)A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2)C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2)解析:設(shè)g(x)=,則g'(x)=,∵f(x)<xf'(x),∴g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上是增加的,∴g(1)<g(2),即?2f(1)<f(2),故選A.答案:A4.已知函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示,則下列關(guān)于函數(shù)y=f(x)的單調(diào)性的說(shuō)法中,正確的是????????????? (　　)A.在(x0,x1)上f(x)是常數(shù)函數(shù)B.在(-∞,x2)上f(x)不是單調(diào)函數(shù)C.在(x2,x3)上f(x)是常數(shù)函數(shù)D.在(x2,+∞)上f(x)是增加的解析:因?yàn)?/span>x∈(-∞,x2)時(shí),f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x2)上是減少的;x∈(x2,x3)時(shí),f'(x)=0恒成立,即函數(shù)f(x)的變化率為0,故為常數(shù)函數(shù).答案:C5.設(shè)函數(shù)f(x)的圖像如圖所示,則導(dǎo)函數(shù)f'(x)的圖像可能為(　　)解析:由函數(shù)f(x)的圖像可知,函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間為(1,4),遞減區(qū)間為(-∞,1)和(4,+∞),因此x∈(1,4)時(shí),f'(x)>0,x∈(-∞,1)或x∈(4,+∞)時(shí),f'(x)<0,結(jié)合選項(xiàng)知選C.答案:C6.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)=-1,其導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)>k>1,則下列結(jié)論一定錯(cuò)誤的是 (　　)A.f B.fC.f D.f解析:構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-kx,則F'(x)=f'(x)-k>0,∴函數(shù)F(x)在R上為增函數(shù).∵>0,∴F>F(0)=f(0)=-1,即f-1=,∴f,故C錯(cuò)誤.答案:C7.函數(shù)y=x2-ln x的遞增區(qū)間為　　　　　,遞減區(qū)間為　　　　　. 解析:函數(shù)y=x2-lnx的定義域?yàn)?/span>(0,+∞),y'=x-,若y'>0,即解得x>1;若y'<0,即解得0<x<1.故函數(shù)y=x2-lnx的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1).答案:(1,+∞)　(0,1)8.函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖像如圖所示,則在(-2,+∞)上,函數(shù)y=f(x)的遞增區(qū)間為　　　　　. 解析:由f'(x)的圖像可知,當(dāng)x∈(-1,2)和x∈(4,+∞)時(shí),f'(x)>0,故函數(shù)f(x)在(-1,2)和(4,+∞)上都是增加的.答案:(-1,2)和(4,+∞)9.已知函數(shù)f(x)=ln x,g(x)=ax+b.(1)若f(x)與g(x)在x=1處相切,求g(x)的表達(dá)式;(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是減少的,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解(1)由已知得f'(x)=,g'(x)=a,∴f'(1)=1=a,a=2.又∵g(1)=a+b=0,∴b=-1,∴g(x)=x-1.(2)∵φ(x)=-f(x)=-lnx在[1,+∞)上是減少的,∴φ'(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立,即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,則2m-2≤x+,x∈[1,+∞)恒成立,∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞,2].10.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844042已知函數(shù)f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.(1)當(dāng)t=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)當(dāng)t≠0時(shí),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)當(dāng)t=1時(shí),f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6,所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=-6x.(2)f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,解得x=-t或x=,因?yàn)?/span>t≠0,以下分兩種情況討論:①若t<0,則<-t.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-t,+∞)f'(x)+-+f(x)↗↘↗ 所以f(x)的遞增區(qū)間是,(-t,+∞),f(x)的遞減區(qū)間是.(2)若t>0,則>-t.當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)的變化情況如下表:x(-∞,-t)f'(x)+-+f(x)↗↘↗ 所以f(x)的遞增區(qū)間是(-∞,-t),,f(x)的遞減區(qū)間是.B組1.已知f(x)=x-sin x,則f(x)(　　)A.既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B.既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C.是有零點(diǎn)的減函數(shù)D.是沒有零點(diǎn)的奇函數(shù)解析:顯然f(x)是奇函數(shù),又f'(x)=1-cosx≥0,所以f(x)在R上是增加的,故選B.答案:B2.函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖像是如圖所示的一條直線l,l與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則f(0)與f(2)的大小關(guān)系為(　　)A.f(0)<f(2) B.f(0)>f(2)C.f(0)=f(2) D.無(wú)法確定解析:由圖知f'(1)=0.當(dāng)x<1時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)是增加的,當(dāng)x>1時(shí),f'(x)<0,函數(shù)f(x)是減少的;又因?yàn)?/span>f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)的圖像是如圖所示的一條直線l,所以f(x)是對(duì)稱軸為x=1且開口向下的拋物線,故f(0)=f(2).答案:C3.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)>f(x),則f(2 017)與e·f(2 016)的大小關(guān)系為 (　　)A.f(2 017)<e·f(2 016)B.f(2 017)=e·f(2 016)C.f(2 017)>e·f(2 016)D.不能確定解析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=,則g'(x)=,因?yàn)?/span>f'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在R上是增加的,則,f(2017)>e·f(2016).答案:C4.已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2-x,若在區(qū)間(1,2)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)p,q(p≠q),不等式>0恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　)A.(-∞,2] B.C.(-∞,0] D.解析:任意兩個(gè)實(shí)數(shù)p,q(p≠q),不等式>0恒成立,即函數(shù)f(x)在(1,2)上是增加的,因此當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f'(x)≥0恒成立,即ax-1≥0恒成立,由此得a≤,而g(x)=在(1,2)上滿足g(x)>-,所以a≤-.答案:B5.已知函數(shù)f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不單調(diào),則t的取值范圍是　　　　　. 解析:由題意知f'(x)=-x+4-=-.由f'(x)=0得x=1或x=3.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間[t,t+1]上不單調(diào),所以t<1<t+1或t<3<t+1,解得0<t<1或2<t<3.答案:(0,1)∪(2,3)6.若函數(shù)f(x)圖像上任意一點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線斜率k=ln x0-2,則f(x)的遞增區(qū)間是　　　　　　　. 解析:由題意得f'(x)=lnx-2,令f'(x)=lnx-2>0,得x>e2,所以f(x)的遞增區(qū)間是(e2,+∞).答案:(e2,+∞)7.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844043已知函數(shù)f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是　　　　　. 解析:f'(x)=-4x+,若函數(shù)f(x)在[1,2]上為單調(diào)函數(shù),則f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,則h(x)在[1,2]上是增加的,所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.答案:∪[1,+∞)8.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844044設(shè)函數(shù)f(x)=aln x+,其中a為常數(shù).(1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程;(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.解(1)由題意知a=0時(shí),f(x)=,x∈(0,+∞).此時(shí)f'(x)=.可得f'(1)=,又f(1)=0,所以曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為x-2y-1=0.(2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?/span>(0,+∞).f'(x)=.當(dāng)a≥0時(shí),f'(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的.當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),①當(dāng)a=-時(shí),Δ=0,f'(x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減少的.②當(dāng)a<-時(shí),Δ<0,g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減少的.③當(dāng)-<a<0時(shí),Δ>0.設(shè)x1,x2(x1<x2)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)零點(diǎn),則x1=,x2=.由x1=>0,所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)是減少的;x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f'(x)>0,函數(shù)f(x)是增加的;x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f'(x)<0,函數(shù)f(x)是減少的.綜上可得,當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是增加的;當(dāng)a≤-時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上是減少的;當(dāng)-<a<0時(shí),f(x)在上是減少的,在上是增加的. 

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