§2　導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用A組1.設(shè)函數(shù)g(x)=x(x2-1),則g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.-1 B.0 C.- D.解析:g(x)=x3-x,由g'(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).當(dāng)x變化時(shí),g'(x)與g(x)的變化狀態(tài)如下表:x01g'(x) -0+ g(x)0↘-↗0 所以當(dāng)x=時(shí),g(x)有最小值g=-.答案:C2.函數(shù)y=f(x)=ln x-x在區(qū)間(0,e]上的最大值為(　　)A.-e B.1-e C.-1 D.0解析:y'=-1,令y'=0,∴x=1,列表如下:x(0,1)1(1,e)ey'+0- y↗-1↘1-e 由于f(e)=1-e,而-1>1-e,從而y最大值=f(1)=-1.答案:C3.函數(shù)y=f(x)=(　　)A.有最大值2,無最小值B.無最大值,有最小值-2C.最大值為2,最小值為-2D.無最值解析:y'=,令y'=0,得x=±1,容易驗(yàn)證當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)取極小值f(-1)=-2,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)取極大值f(1)=2,此即為函數(shù)的最小值和最大值.答案:C4.某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為20 000元,每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品,成本增加100元,已知總收益R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R=R(x)=則總利潤P最大時(shí),每年生產(chǎn)的產(chǎn)品是(　　)A.100單位 B.150單位 C.200單位 D.300單位解析:由題意知,總成本為C=20000+100x.而總利潤為P=P(x)=R-C=P'(x)=令P'(x)=0,得x=300,易知當(dāng)x=300時(shí),總利潤最大.答案:D5.某銀行準(zhǔn)備新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù),經(jīng)預(yù)測(cè),存款量與存款利率成正比,比例系數(shù)為k(k>0),貸款的利率為4.8%,假設(shè)銀行吸收的存款能全部放貸出去.若存款利率為x(x∈(0,0.048)),則銀行獲得最大收益時(shí),存款利率為(　　)A.0.012 B.0.024C.0.032 D.0.036解析:由題意,存款量g(x)=kx(k>0),銀行應(yīng)支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).設(shè)銀行可獲得的收益為y,則y=0.048kx-kx2.于是y'=0.048k-2kx,令y'=0,解得x=0.024,依題意知y在x=0.024處取得最大值.故銀行獲得最大收益時(shí),存款利率為0.024.答案:B6.已知a為實(shí)數(shù),函數(shù)f(x)=(x2-4)(x-a),若f'(-1)=0,則函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值為　　　　　. 解析:f'(x)=2x(x-a)+(x2-4)=3x2-2ax-4,因?yàn)?/span>f'(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=,于是f'(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4).令f'(x)=0,得x=-1或x=,比較f(-2),f(-1),f,f(2)可得函數(shù)f(x)在[-2,2]上的最大值為f(-1)=.答案:7.已知函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值為20,則它在該區(qū)間上的最小值等于　　　　　. 解析:因?yàn)?/span>f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,所以f(2)>f(-2).因?yàn)樵?/span>(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上是增加的.又由于f(x)在[-2,-1]上是減少的,因此f(2)和f(-1)分別是f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最大值和最小值.于是有22+a=20,解得a=-2.故f(x)=-x3+3x2+9x-2.因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的最小值為-7.答案:-78.設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x2,g(x)=ln x的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最小值時(shí)t的值為　　　　　. 解析:因?yàn)?/span>f(x)的圖像始終在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,設(shè)h(x)=x2-lnx,則h'(x)=2x-,令h'(x)==0,得x=,所以h(x)在上是減少的,在上是增加的,所以當(dāng)x=時(shí)有最小值,故t=.答案:9.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844048已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(1,f(1))處的切線方程為y=3x+1.(1)求a,b的值;(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.解(1)依題意可知點(diǎn)P(1,f(1))為切點(diǎn),代入切線方程y=3x+1,可得f(1)=3×1+1=4,所以f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2.又由f(x)=x3+ax2+bx+5,得f'(x)=3x2+2ax+b,而由切線方程y=3x+1的斜率可知f'(1)=3,因此3+2a+b=3,即2a+b=0,由解得故a=2,b=-4.(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),令f'(x)=0,得x=或x=-2.當(dāng)x變化時(shí),f(x),f'(x)的變化情況如下表:x-3(-3,-2)-21f'(x) +0-0+ f(x)8↗極大值↘極小值↗4 因此f(x)的極大值為f(-2)=13,極小值為f.又f(-3)=8,f(1)=4,故f(x)在[-3,1]上的最大值為13.10.某地建一座橋,兩端的橋墩已建好,這兩墩相距a m,余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)預(yù)測(cè),一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元,距離為x m的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)用為(2+)x萬元.假設(shè)橋墩等距離分布,所有橋墩都視為點(diǎn),且不考慮其他因素,記余下工程的費(fèi)用為y萬元.(1)試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)當(dāng)a=640時(shí),需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小?解(1)設(shè)需要新建b個(gè)橋墩,則(b+1)x=a,即b=-1.因此,y=f(x)=256b+(b+1)(2+)x=256(2+)x=+a+2a-256.(2)由(1)知,f'(x)=-=.令f'(x)=0,得=512,所以x=64.當(dāng)0<x<64時(shí),f'(x)<0,f(x)在區(qū)間(0,64)上是減少的;當(dāng)64<x<640時(shí),f'(x)>0,f(x)在區(qū)間(64,640)上是增加的,所以f(x)在x=64處取得最小值.此時(shí),b=-1=-1=9.即需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.B組1.一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的距離為s=t3-2t2,那么速度為0的時(shí)刻是(　　)A.1秒末 B.0秒 C.2秒末 D.0秒或1秒末解析:由題意可得v(t)=s'=4t2-4t,令v(t)=s'=0,解得t1=0,t2=1.答案:D2.已知函數(shù)f(x)=(2x-x2)ex,給出下列判斷:①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-)是極小值,f()是極大值;③f(x)沒有最小值,也沒有最大值,其中判斷正確的是(　　)A.①③ B.①②③C.② D.①②解析:由f(x)>0,得2x-x2>0,所以0<x<2,故①正確;f'(x)=[(2x-x2)ex]'=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),令f'(x)=0,得x=±,容易驗(yàn)證f(-)是極小值,f()是極大值,所以②正確;③不正確.答案:D3.在三棱錐O-ABC中,OA,OB,OC兩兩垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,則三棱錐O-ABC體積的最大值為(　　)A.4 B.8 C. D.解析:V=·y==(0<x<3),V'==2x-x2=x(2-x).令V'=0,得x=2或x=0(舍去).故當(dāng)x=2時(shí),V最大為.答案:C4.若函數(shù)f(x)=在[-2,2]上的最大值為2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A. B.C.(-∞,0] D.解析:當(dāng)x≤0時(shí),f'(x)=6x2+6x,易知函數(shù)f(x)在(-∞,0]上的最大值點(diǎn)是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2恒成立即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤在(0,2]上恒成立,故a≤ln2.答案:D5.將8分為兩個(gè)非負(fù)數(shù)之和,使其立方和最小,則這兩個(gè)數(shù)為(　　)A.2和6 B.4和4 C.3和5 D.以上都不對(duì)解析:設(shè)一個(gè)數(shù)為x,則另一個(gè)數(shù)為8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0≤x≤8,y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.當(dāng)0≤x<4時(shí),y'<0;當(dāng)4<x≤8時(shí),y'>0,所以當(dāng)x=4時(shí),y取得極小值,也是最小值.答案:B6.電動(dòng)自行車的耗電量y與速度x之間的關(guān)系為y=x3-x2-40x(x>0),為使耗電量最小,則其速度應(yīng)定為　　　　　. 解析:y'=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y'=0得x=40,且當(dāng)0<x<40時(shí),y'<0;當(dāng)x>40時(shí),y'>0,所以當(dāng)x=40時(shí),y取最小值,即速度為40時(shí),耗電量最小.答案:407.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844049設(shè)函數(shù)f(x)=ln x-ax2+(a-2)x(a∈R),求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a2,a]上的最大值.解因?yàn)?/span>a2<a,所以0<a<1.f'(x)=-2ax+a-2=-.因?yàn)?/span>x∈(0,+∞),所以ax+1>0,所以f(x)在上是增加的,在上是減少的.①當(dāng)0<a≤時(shí),f(x)在[a2,a]上是增加的,所以f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;②當(dāng)<a<時(shí),f(x)在上是增加的,在上是減少的,所以f(x)max=f-1-ln2;③當(dāng)≤a2,即≤a<1時(shí),f(x)在[a2,a]上是減少的,所以f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.綜上,當(dāng)0<a≤時(shí),函數(shù)f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;當(dāng)<a<時(shí),函數(shù)f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2;當(dāng)≤a<1時(shí),函數(shù)f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.8.導(dǎo)學(xué)號(hào)01844050近年來,網(wǎng)校教學(xué)越來越受到廣大學(xué)生的喜愛,它已經(jīng)成為學(xué)生們課外學(xué)習(xí)的一種趨勢(shì).假設(shè)某網(wǎng)校的套題每日的銷售量y(單位:千套)與銷售價(jià)格x(單位:元/套)滿足關(guān)系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6,m為常數(shù).已知當(dāng)銷售價(jià)格為4元/套時(shí),每日可售出套題21千套.(1)求m的值;(2)假設(shè)網(wǎng)校的員工工資、辦公等所有開銷折合為每套題2元(只考慮銷售出的套數(shù)),試確定銷售價(jià)格x的值,使網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大(保留1位小數(shù)).解(1)因?yàn)楫?dāng)x=4時(shí),y=21,代入關(guān)系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.(2)由(1)可知套題每日的銷售量y=+4(x-6)2,所以每日銷售套題所獲得的利潤f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),從而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).令f'(x)=0,得x=或x=6(舍去),且在上,f'(x)>0,函數(shù)f(x)是增加的;在上,f'(x)<0,函數(shù)f(x)是減少的,所以x=是函數(shù)f(x)在(2,6)內(nèi)的極大值點(diǎn),也是最大值點(diǎn),所以當(dāng)x=≈3.3時(shí),函數(shù)f(x)取得最大值.故當(dāng)銷售價(jià)格為3.3元/套時(shí),網(wǎng)校每日銷售套題所獲得的利潤最大. 

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