?數(shù)列求和

授課提示：對應學生用書第329頁
[A組　基礎(chǔ)保分練]
1．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝2n－3，則其前20項和為（　?。?br /> A．380－　　　 B．400－
C．420－ D．440－
解析：令數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2（1＋2＋…＋20）－3＝2×－3×＝420－．
答案：C
2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝則其前6項之和是（　?。?br /> A．16 B．20
C．33 D．120
解析：由已知得a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33．
答案：C
3．化簡Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結(jié)果是（　　）
A．2n＋1＋n－2 B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2 D．2n＋1－n－2
解析：因為Sn＝n＋（n－1）×2＋（n－2）×22＋…＋2×2n－2＋2n－1①，2Sn＝n×2＋（n－1）×22＋（n－2）×23＋…＋2×2n－1＋2n②，所以①－②得，－Sn＝n－（2＋22＋23＋…＋2n）＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2．
答案：D
4．（2021·重慶一調(diào)）已知數(shù)列{an}滿足an＝，則a1＋＋＋…＋＝（　　）
A．　　　 B．
C．　　　 D．
解析：由題知，數(shù)列{an}滿足an＝，所以數(shù)列的通項公式為＝＝－，所以a1＋＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝．
答案：A
5．數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝2，n∈N＋，則數(shù)列{ban}的前n項和為（　　）
A．（4n－1－1） B．（4n－1）
C．（4n－1－1） D．（4n－1）
解析：因為an＋1－an＝＝2，a1＝b1＝1，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，an＝1＋2（n－1）＝2n－1，bn＝1×2n－1＝2n－1，數(shù)列{ban}的前n項和為ba1＋ba2＋…＋ban＝b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝20＋22＋24＋…＋22n－2＝＝（4n－1）．
答案：D
6．已知數(shù)列{an}的首項a1＝3，前n項和為Sn，an＋1＝2Sn＋3，n∈N＋．設(shè)bn＝log3an，則數(shù)列的前n項和Tn的取值范圍為（　　）
A． B．
C． D．
解析：由an＋1＝2Sn＋3，可得當n≥2時，有an＝2Sn－1＋3，兩式相減得an＋1－an＝2（Sn－Sn－1）＝2an（n≥2），故an＋1＝3an（n≥2）．
又當n＝1時，a2＝2S1＋3＝2a1＋3＝3a1，
所以數(shù)列{an}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，故an＝3n．
所以bn＝log3an＝n，所以＝．
所以Tn＝＋＋…＋＋，?、?br /> Tn＝＋＋…＋＋，?、?br /> ①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－，
化簡整理得Tn＝－·，因為·＞0，
所以Tn＜，又Tn＋1－Tn＝＞0，所以數(shù)列{Tn}是遞增數(shù)列，所以（Tn）min＝T1＝，所以≤Tn＜，故Tn的取值范圍是．
答案：C
7．若數(shù)列{an}的通項公式是an＝（－1）n（3n－2），則a1＋a2＋…＋a10＝________．
解析：a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9＋a10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝5×3＝15．
答案：15
8．（2020·高考全國卷Ⅰ）數(shù)列{an}滿足an＋2＋（－1）nan＝3n－1，前16項和為540，則a1＝________．
解析：法一：因為an＋2＋（－1）nan＝3n－1，
所以當n為偶數(shù)時，an＋2＋an＝3n－1，
所以a4＋a2＝5，a8＋a6＝17，a12＋a10＝29，a16＋a14＝41，
所以a2＋a4＋a6＋a8＋a10＋a12＋a14＋a16＝92．
因為數(shù)列{an}的前16項和為540，
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝540－92＝448．①
因為當n為奇數(shù)時，an＋2－an＝3n－1，
所以a3－a1＝2，a7－a5＝14，a11－a9＝26，a15－a13＝38，
所以（a3＋a7＋a11＋a15）－（a1＋a5＋a9＋a13）＝80．②
由①②得a1＋a5＋a9＋a13＝184．
又a3＝a1＋2，a5＝a3＋8＝a1＋10，a7＝a5＋14＝a1＋24，
a9＝a7＋20＝a1＋44，a11＝a9＋26＝a1＋70，a13＝a11＋32＝a1＋102，
所以a1＋a1＋10＋a1＋44＋a1＋102＝184，所以a1＝7．
法二：同法一得a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝448．
當n為奇數(shù)時，有an＋2－an＝3n－1，
由累加法得an＋2－a1＝3（1＋3＋5＋…＋n）－＝（1＋n）·－＝n2＋n＋，
所以an＋2＝n2＋n＋＋a1．
所以a1＋a3＋a5＋a7＋a9＋a11＋a13＋a15＝a1＋＋＋＋＋＋＋＝8a1＋392＝448，解得a1＝7．
答案：7
9．（2021·大同調(diào)研）在數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝2an－1＋n－2（n≥2，且n∈N＋）．
（1）求a2和a3的值；
（2）證明：數(shù)列{an＋n}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；
（3）求數(shù)列{an}的前n項和Sn．
解析：（1）∵a1＝3，∴a2＝2a1＋2－2＝6，
∴a3＝2a2＋3－2＝13．
（2）證明：∵an＝2an－1＋n－2，n≥2，
∴an＋n＝2（an－1＋n－1），n≥2．
又a1＋1＝4，∴{an＋n}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．∴an＋n＝4×2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－n．
（3）Sn＝22－1＋23－2＋…＋2n－（n－1）＋2n＋1－n＝22（2n－1）－＝2n＋2－．
10．（2021·寧德二檢）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－2kn（k∈N＋），Sn的最小值為－9．
（1）確定k的值，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn＝（－1）n·an，求數(shù)列{bn}的前2n＋1項和T2n＋1．
解析：（1）由已知得Sn＝n2－2kn＝（n－k）2－k2，因為k∈N＋，則當n＝k時，（Sn）min＝－k2＝－9，故k＝3．
所以Sn＝n2－6n．
因為Sn－1＝（n－1）2－6（n－1）（n≥2），
所以an＝Sn－Sn－1＝（n2－6n）－[（n－1）2－6（n－1）]＝2n－7（n≥2）．
當n＝1時，S1＝a1＝－5，滿足an＝2n－7，
綜上，an＝2n－7．
（2）依題意，得bn＝（－1）n·an＝（－1）n（2n－7），
則T2n＋1＝5－3＋1＋1－3＋5－…＋（－1）2n（4n－7）＋（－1）2n＋1[2（2n＋1）－7]
＝5－（2＋2＋…＋2）
　　n個
＝5－2n．
[B組　能力提升練]
1．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項和，且a3＝3，S3＝9．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設(shè)bn＝log2，且{bn}為遞增數(shù)列，若cn＝，求證：c1＋c2＋c3＋…＋cn＜1．
解析：（1）設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，當q＝1時，符合條件，a1＝a3＝3，an＝3，
當q≠1時，所以
解得an＝12×．
綜上，an＝3或an＝12×．
（2）證明：若an＝3，則bn＝0，與題意不符，
所以an＝12×．
所以a2n＋3＝12×＝3×，
bn＝log2＝log222n＝2n，
cn＝＝＝－，
c1＋c2＋c3＋…＋cn＝＋＋…＋＝1－＜1．
2．（2021·合肥調(diào)研）已知等差數(shù)列{an}，a2＝12，a5＝24，數(shù)列{bn}滿足b1＝4，bn＋1－bn＝an（n∈N＋）．
（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項公式；
（2）求使得＋＋＋…＋＞成立的最小正整數(shù)n的值．
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a5－a2＝3d＝12，d＝4，
∴an＝a2＋（n－2）d＝4n＋4，∴bn＋1－bn＝4n＋4，
∴bn＝b1＋（b2－b1）＋（b3－b2）＋…＋（bn－bn－1）
＝4＋（4×1＋4）＋（4×2＋4）＋…＋[4（n－1）＋4]
4＋4[1＋2＋…＋（n－1）]＋4（n－1）
＝2n2＋2n（n＞1），b1＝4也適合．
∴an＝4n＋4，bn＝2n2＋2n（n∈N＋）．
（2）∵＝＝＝，
∴＋＋＋…＋
＝
＝＝，
即＞，解得n＞16，
∴滿足條件的最小正整數(shù)n的值為17．
[C組　創(chuàng)新應用練]
1．（2021·長春聯(lián)考）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公差d＞0，a6和a8是函數(shù)f（x）＝ln x＋x2－8x的極值點，則S8＝（　　）
A．－38　　　　　　　 B．38
C．－17 D．17
解析：因為f（x）＝ln x＋x2－8x，
所以f′（x）＝＋x－8＝
＝，
令f′（x）＝0，解得x＝或x＝．
又a6和a8是函數(shù)f（x）的極值點，且公差d＞0，
所以a6＝，a8＝，
所以解得
所以S8＝8a1＋×d＝－38．
答案：A
2．（2021·合肥調(diào)研）設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，4Sn＝（2n＋1）an＋1（n∈N＋）．定義數(shù)列{bn}如下：對于正整數(shù)m，bm是使不等式an≥m成立的所有n的最小值，則數(shù)列{bn}的前60項的和為（　?。?br /> A．960 B．930
C．900 D．840
解析：由4Sn＝（2n＋1）an＋1，得當n≥2時，4Sn－1＝（2n－1）an－1＋1，兩式相減，得4an＝（2n＋1）an－（2n－1）·an－1，即（2n－3）an＝（2n－1）an－1，所以＝，所以＝＝…＝．又4S1＝4a1＝（2＋1）·a1＋1，解得a1＝1，所以an＝2n－1（n≥2），又a1＝1也適合，所以an＝2n－1（n∈N＋）．由an≥m，得2n－1≥m，所以n≥，所以滿足條件an≥m的n的最小值為大于等于的整數(shù)，所以bm＝，所以數(shù)列{bn}的前60項和為＋＋＋＋…＋＋＝＋＝960．
答案：A
3．已知數(shù)列{an}，若an＋1＝an＋an＋2（n∈N＋），則稱數(shù)列{an}為“凸數(shù)列”．已知數(shù)列{bn}為“凸數(shù)列”，且b1＝1，b2＝－2，則數(shù)列{bn}的前2 019項和為________．
解析：由“凸數(shù)列”的定義及b1＝1，b2＝－2，得b3＝－3，b4＝－1，b5＝2，b6＝3，b7＝1，b8＝－2，…，所以數(shù)列{bn}是周期為6的周期數(shù)列，且b1＋b2＋b3＋b4＋b5＋b6＝0，于是數(shù)列{bn}的前2 019項和等于b1＋b2＋b3＝－4．
答案：－4

相關(guān)試卷

北師大版高考數(shù)學一輪復習第5章第4節(jié)數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析：

這是一份北師大版高考數(shù)學一輪復習第5章第4節(jié)數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析，共7頁。

高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習課時作業(yè)33《數(shù)列求和》(原卷版)：

這是一份高考數(shù)學(理數(shù))一輪復習課時作業(yè)33《數(shù)列求和》(原卷版)，共4頁。

高考數(shù)學一輪復習第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和課時規(guī)范練含解析文北師大版：

這是一份高考數(shù)學一輪復習第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和課時規(guī)范練含解析文北師大版，共5頁。試卷主要包含了已知數(shù)列等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高考數(shù)學一輪復習第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和課時規(guī)范練理含解析新人教版

高考數(shù)學一輪復習第五章數(shù)列第四節(jié)數(shù)列求和課時規(guī)范練理含解析新人教版
高考數(shù)學一輪復習第五章第四節(jié)數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析北師大版

高考數(shù)學一輪復習第五章第四節(jié)數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析北師大版
高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習課時作業(yè)31數(shù)列求和文含解析新人教版

高考數(shù)學統(tǒng)考一輪復習課時作業(yè)31數(shù)列求和文含解析新人教版
高考數(shù)學一輪復習第六章6.4數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析

高考數(shù)學一輪復習第六章6.4數(shù)列求和課時作業(yè)理含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部