第二章 第九節(jié) 導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算、定積分授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第287頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1.(sin x－acos x)dx＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　)A．－1　　　　　　　　　 B．1C．－2  D．2解析：由題意知(－cos x－asin x)|0＝1－a＝2，a＝－1.答案：A2．函數(shù)f(x)＝exln x在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是(　　)A．y＝2e(x－1)  B.y＝ex－1C．y＝e(x－1)  D．y＝x－e解析：f(1)＝0，∵f′(x)＝ex，∴f′(1)＝e，∴切線方程是y＝e(x－1)．答案：C3．(2021·南昌模擬)已知f(x)在R上連續(xù)可導(dǎo)，f′(x)為其導(dǎo)函數(shù)，且f(x)＝ex＋e－x－xf′(1)·(ex－e－x)，則f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)A．4e2＋4e－2  B.4e2－4e－2C．0  D．4e2解析：函數(shù)f(－x)＝e－x＋ex－(－x)f′(1)·(e－x－ex)＝f(x)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得－f′(－x)＝f′(x)．即f′(－x)＝－f′(x)，則f′(x)是R上的奇函數(shù)，則f′(0)＝0，f′(－2)＝－f′(2)，即f′(2)＋f′(－2)＝0，則f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0.答案：C4．曲線y＝ax在x＝0處的切線方程是xln 2＋y－1＝0，則a＝(　　)A.  B.2C．ln 2  D．ln 解析：由題意知，y′＝axln a，則在x＝0處，y′＝ln a，又切點(diǎn)為(0，1)，∴切線方程為xln a－y＋1＝0，∴a＝.答案：A5．設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋＋b，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(a，f(a))處的切線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則ab＝(　　)A．1  B.0C．－1  D．－2解析：由題意可得，f(a)＝a＋＋b，f′(x)＝1－，所以f′(a)＝1－，故切線方程是y－a－－b＝(x－a)，將(0，0)代入得－a－－b＝(－a)，故b＝－，故ab＝－2.答案：D6．如圖所示為函數(shù)y＝f(x)，y＝g(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像．那么y＝f(x)，y＝g(x)的圖像可能是(　　)解析：由y＝f′(x)的圖像知y＝f′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，說明函數(shù)y＝f(x)的切線的斜率在(0，＋∞)上也單調(diào)遞減，故排除A、C.又由圖像知y＝f′(x)與y＝g′(x)的圖像在x＝x0處相交，說明y＝f(x)與y＝g(x)的圖像在x＝x0處的切線的斜率相同，故排除B.答案：D7．(2021·天津模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2－a)ln x，f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，若f′(1)＝－2，則a的值為________．解析：∵f(x)＝(x2－a)ln x(x＞0)，∴f′(x)＝2xln x＋，∴f′(1)＝1－a＝－2，得a＝3.答案：38．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x3－ln x，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線的斜率為________．解析：因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x3－ln x，所以當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0，f(－x)＝－x3－ln(－x)．因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝x3＋ln(－x)，則f′(x)＝3x2＋，所以f′(－1)＝2，所以曲線y＝f(x)在點(diǎn)(－1，－1)處的切線的斜率為2.答案：29．已知函數(shù)f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲線f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程；(2)求經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程．解析：(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲線在點(diǎn)(2，f(2))處的切線方程為y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)設(shè)曲線與經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的切線相切于點(diǎn)P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切線方程為y－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)·(x－x0)，又切線過點(diǎn)A(2，－2)，∴－2－(x－4x＋5x0－4)＝(3x－8x0＋5)(2－x0)，整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，∴經(jīng)過點(diǎn)A(2，－2)的曲線f(x)的切線方程為x－y－4＝0或y＋2＝0.10．(2021·淮南模擬)已知函數(shù)f(x)＝x2－ln x.(1)求函數(shù)f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程；(2)在函數(shù)f(x)＝x2－ln x的圖像上是否存在兩點(diǎn)，使以這兩點(diǎn)為切點(diǎn)的切線互相垂直，且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在區(qū)間上？若存在，求出這兩點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．解析：(1)由題意可得f(1)＝1，且f′(x)＝2x－，f′(1)＝2－1＝1，則所求切線方程為y－1＝1×(x－1)，即y＝x.(2)假設(shè)存在兩點(diǎn)滿足題意，且設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1，x2∈，不妨設(shè)x1＜x2，結(jié)合題意和(1)中求得的導(dǎo)函數(shù)解析式可得＝－1，又函數(shù)f′(x)＝2x－在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)的值域?yàn)?/span>[－1，1]，故－1≤2x1－＜2x2－≤1，據(jù)此有解得x1＝，x2＝1，故存在兩點(diǎn)，(1，1)滿足題意．[B組　能力提升練]1．(2021·南陽模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，則f(e)＝(　　)A．e  B.－C．－1  D．－e解析：由f(x)＝2xf′(e)＋ln x，得f′(x)＝2f′(e)＋，則f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－，故f(x)＝－x＋ln x，所以f(e)＝－1.答案：C2．(2021·保定模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝g(x)＋x2，曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，則曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為(　　)A．2  B.C．4  D．－解析：因?yàn)榍€y＝g(x)在點(diǎn)(1，g(1))處的切線方程為y＝2x＋1，所以g′(1)＝2.又f′(x)＝g′(x)＋2x，故曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線的斜率為f′(1)＝g′(1)＋2＝4.答案：C3．(2021·廣州模擬)已知過點(diǎn)A(a，0)作曲線C：y＝x·ex的切線有且僅有兩條，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　)A．(－∞，－4)∪(0，＋∞)  B.(0，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)  D．(－∞，－1)解析：對(duì)y＝x·ex求導(dǎo)得y′＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex.設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，x0ex0)，則過點(diǎn)A(a，0)的切線斜率k＝(1＋x0)ex0＝，化簡得x－ax0－a＝0.依題意知，上述關(guān)于x0的二次方程x－ax0－a＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝(－a)2－4×1×(－a)＞0，解得a＜－4或a＞0.答案：A4．(2021·宣城模擬)若曲線y＝aln x＋x2(a＞0)的切線的傾斜角的取值范圍是，則a＝(　　)A.  B.C.  D.解析：因?yàn)?/span>y＝aln x＋x2(a＞0)，所以y′＝＋2x≥2，因?yàn)榍€的切線的傾斜角的取值范圍是，所以斜率k≥，因?yàn)?/span>＝2，所以a＝.答案：B5．已知曲線y＝＋在x＝1處的切線l與直線2x＋3y＝0垂直，則實(shí)數(shù)a的值為________．解析：y′＝－＋，當(dāng)x＝1時(shí)，y′＝－1＋.由于切線l與直線2x＋3y＝0垂直，所以·＝－1，解得a＝.答案：6．(2021·烏魯木齊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y＝x＋m與曲線y＝asin x＋bcos x(a，b，m∈R)相切于點(diǎn)(0，1)，則的值為________．解析：根據(jù)題意，若直線y＝x＋m與曲線y＝asin x＋bcos x(a，b，m∈R)相切于點(diǎn)(0，1)，則點(diǎn)(0，1)為直線y＝x＋m與曲線y＝asin x＋bcos x的交點(diǎn)，則1＝0＋m且1＝asin 0＋bcos 0，解得m＝1，b＝1.由y＝asin x＋bcos x，得y′＝a·cos x－b·sin x，所以當(dāng)x＝0時(shí)，y′＝a·cos 0－b·sin 0＝1，解得a＝1，則＝＝2.答案：27．已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．(1)若函數(shù)f(x)的圖像過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率為－3，求a，b的值；(2)若曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍．解析：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．(1)由題意得解得b＝0，a＝－3或a＝1.(2)因?yàn)榍€y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，所以關(guān)于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.所以a的取值范圍為∪.[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1．給出定義：設(shè)f′(x)是函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)，f″(x)是函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)，若方程f″(x)＝0有實(shí)數(shù)解x0，則稱點(diǎn)(x0，f(x0))為函數(shù)f(x)的“拐點(diǎn)”．已知函數(shù)f(x)＝3x＋4sin x－cos x的拐點(diǎn)是M(x0，f(x0))，則點(diǎn)M(　　)A．在直線y＝－3x上B．在直線y＝3x上C．在直線y＝－4x上D．在直線y＝4x上解析：f′(x)＝3＋4cos x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cos x，結(jié)合題意知4sin x0－cos x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直線y＝3x上．答案：B2．在等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a8＝4，函數(shù)f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，則f′(0)＝(　　)A．26  B.29C．212  D．215解析：因?yàn)?/span>f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]＋[(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)·…·(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)＋0＝a1a2·…·a8.因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列，所以a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝8，所以f′(0)＝84＝212.答案：C3．(2021·長春模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將直線y＝x與直線x＝1及x軸所圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，圓錐的體積V圓錐＝πx2dx＝0＝.據(jù)此類比：將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的體積V＝________．解析：類比已知結(jié)論，將曲線y＝2ln x與直線y＝1及x軸、y軸所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到旋轉(zhuǎn)體的體積應(yīng)為一定積分，被積函數(shù)為π(e)2＝πey，積分變量為y，積分區(qū)間為[0，1]，即V＝0＝π(e－1)．答案：π(e－1)

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