高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習第二章第十節(jié)第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值課時作業(yè)理含解析北師大版-試卷下載-教習網(wǎng)

?第2課時利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第291頁
[A組　基礎(chǔ)保分練]
1．函數(shù)y＝在[0，2]上的最大值是(　　)
A.　　　　　　　 B.
C．0 D.
解析：易知y′＝，x∈[0，2]，令y′＞0，得0≤x＜1，令y′＜0，得1＜x≤2，所以函數(shù)y＝在[0，1]上單調(diào)遞增，在(1，2]上單調(diào)遞減，所以y＝在[0，2]上的最大值是.
答案：A
2．(2021·沈陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝xex＋1，則(　　)
A．x＝1為f(x)的極大值點
B．x＝1為f(x)的極小值點
C．x＝－1為f(x)的極大值點
D．x＝－1為f(x)的極小值點
解析：由f(x)＝xex＋1，可得f′(x)＝(x＋1)ex，令f′(x)＞0可得x＞－1，即函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)；令f′(x)＜0可得x＜－1，即函數(shù)f(x)在(－∞，－1)上是減函數(shù)，所以x＝－1為f(x)的極小值點．
答案：D
3．(2021·肇慶模擬)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的極小值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(1，＋∞) B.(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
解析：依題意f′(x)＝(x－a)(x－1)ex，它的兩個零點分別為x＝1，x＝a，若x＝1是函數(shù)f(x)的極小值點，則需a＜1，此時函數(shù)f(x)在(a，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在x＝1處取得極小值．
答案：D
4.若函數(shù)f(x)＝的圖像如圖所示，則m的取值范圍為(　　)

A．(－∞，－1)
B．(－1，2)
C．(0，2)
D．(1，2)
解析：f′(x)＝＝，由函數(shù)圖像的單調(diào)性及有兩個極值點可知m－2＜0且m＞0，故0＜m＜2.又由題圖易得＞1，即m＞1.故1＜m＜2.
答案：D
5．已知不等式xsin x＋cos x≤a對任意的x∈[0，π]恒成立，則整數(shù)a的最小值為(　　)
A．2 B.1
C．0 D．－1
解析：令f(x)＝xsin x＋cos x，則f′(x)＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，令f′(x)＝0，則在(0，π)上x＝.當x∈時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，當x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝1，f＝，f(π)＝－1，所以當x＝時，f(x)取得最大值，即f(x)max＝f＝，所以a≥，即整數(shù)a的最小值為2.
答案：A
6．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，若x＝－3是函數(shù)f(x)的一個極值點，則實數(shù)a＝________．
解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由題意知，x＝－3是方程f′(x)＝0的根，所以3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.經(jīng)檢驗，當a＝5時，f(x)在x＝－3處取得極值．
答案：5
7.函數(shù)f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致圖像如圖所示，則x＋x＝________．

解析：函數(shù)f(x)的圖像過原點，所以d＝0.又f(－1)＝0且f(2)＝0，即－1＋b－c＝0且8＋4b＋2c＝0，解得b＝－1，c＝－2，所以函數(shù)f(x)＝x3－x2－2x，所以f′(x)＝3x2－2x－2，由題意知x1，x2是函數(shù)的極值點，所以x1，x2是f′(x)＝0的兩個根，所以x1＋x2＝，x1x2＝－，所以x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝＋＝.
答案：
8．已知函數(shù)f(x)＝sin x－x2，若f(x)在上有唯一極大值點，求實數(shù)a的取值范圍．
解析：由已知得f′(x)＝cos x－ax，
當a≤0時，f′(x)≥0，∴f(x)在上單調(diào)遞增，此時f(x)在上不存在極值點；當a＞0時，f″(x)＝－sin x－a＜0，∴f′(x)在上單調(diào)遞減，又f′(0)＝1＞0，f′＝－a＜0，故存在唯一x0∈使得x∈(0，x0)時，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈時，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減．此時，x0是函數(shù)f(x)的唯一極大值點，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是(0，＋∞)．
9．已知函數(shù)f(x)＝ln x－ax2＋x，a∈R.
(1)當a＝0時，求曲線y＝f(x)在(1，f(1))處的切線方程；
(2)令g(x)＝f(x)－(ax－1)，求函數(shù)g(x)的極值．
解析：(1)當a＝0時，f(x)＝ln x＋x，
則f(1)＝1，所以切點為(1，1)，
又f′(x)＝＋1，
所以切線斜率k＝f′(1)＝2，
故切線方程為y－1＝2(x－1)，
即2x－y－1＝0.
(2)g(x)＝f(x)－(ax－1)＝ln x－ax2＋(1－a)x＋1，
則g′(x)＝－ax＋(1－a)＝，
當a≤0時，因為x＞0，所以g′(x)＞0.
所以g(x)在(0，＋∞)上是增函數(shù)，函數(shù)g(x)無極值點．
當a＞0時，g′(x)＝
＝－，
令g′(x)＝0得x＝.
所以當x∈時，g′(x)＞0；
當x∈時，g′(x)＜0.
因為g(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．
所以x＝時，g(x)有極大值g＝ln－×＋(1－a)·＋1＝－ln a.
綜上，當a≤0時，函數(shù)g(x)無極值；
當a＞0時，函數(shù)g(x)有極大值－ln a，無極小值．
[B組　能力提升練]
1. (2021·太原模擬)函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列說法錯誤的是(　　)

A．(－1，3)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間
B．(3，5)為函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間
C．函數(shù)y＝f(x)在x＝0處取得極大值
D．函數(shù)y＝f(x)在x＝5處取得極小值
解析：由函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖像可知，當x＜－1或3＜x＜5時，f′(x)＜0，y＝f(x)單調(diào)遞減；當x＞5或－1＜x＜3時，f′(x)＞0，y＝f(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，5)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－1，3)，(5，＋∞)，函數(shù)y＝f(x)在x＝－1，5處取得極小值，在x＝3處取得極大值，故選項C錯誤．
答案：C
2．函數(shù)f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分別是(　　)
A．25，－2 B.50，14
C．50，－2 D．50，－14
解析：因為f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，當x∈[－4，－3)或x∈(0，2]時，f′(x)＞0，f(x)為增函數(shù)，當x∈(－3，0)時，f′(x)＜0，f(x)為減函數(shù)，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函數(shù)f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分別是50，－2.
答案：C
3．若函數(shù)f(x)＝x3－3x在(a，6－a2)上有最小值，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－，1) B.[－，1)
C．[－2，1) D．(－2，1)
解析：由f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，且x＝－1為函數(shù)的極大值點，x＝1為函數(shù)的極小值點．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，6－a2)上有最小值，則函數(shù)f(x)的極小值點必在區(qū)間(a，6－a2)內(nèi)，且左端點的函數(shù)值不小于f(1)，即實數(shù)a滿足得解得－2≤a＜1.
答案：C
4．函數(shù)f(x)＝x2ex在區(qū)間(a，a＋1)上存在極值點，則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A．(－3，－1)∪(0，2) B.(－3，－2)∪(－1，0)
C．(－2，－1)∪(0，3) D．(－3，－2)∪(0，1)
解析：函數(shù)f(x)＝x2ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令f′(x)＝0，則x＝0或x＝－2.當x∈(－2，0)時，f(x)單調(diào)遞減，當x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)時，f(x)單調(diào)遞增，所以0和－2是函數(shù)的極值點．因為函數(shù)f(x)＝x2ex在區(qū)間(a，a＋1)上存在極值點，所以a＜－2＜a＋1或a＜0＜a＋1?－3＜a＜－2或－1＜a＜0.
答案：B
5．若x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，則a＝________，f(x)的極小值為________．
解析：因為f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1.因為x＝－2是函數(shù)f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的極值點，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)＞0，解得x＜－2或x＞1，令f′(x)＜0，解得－2＜x＜1，所以f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，在(－2，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以當x＝1時，f(x)取得極小值，即f(x)極小值＝f(1)＝－1.
答案：－1?。?
6．若函數(shù)f(x)＝2x2－ln x在其定義域的一個子區(qū)間(k－1，k＋1)內(nèi)存在最小值，則實數(shù)k的取值范圍是________．
解析：因為f(x)的定義域為(0，＋∞)，
又f′(x)＝4x－，
由f′(x)＝0，得x＝.
據(jù)題意有
解得1≤k＜.
答案：
7．設(shè)函數(shù)f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex.
(1)若曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線與x軸平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2處取得極小值，求a的取值范圍．
解析：(1)因為f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]ex，
所以f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex.
f′(1)＝(1－a)e.
由題設(shè)知f′(1)＝0，即(1－a)e＝0，
解得a＝1.
此時f(1)＝3e≠0.
所以a的值為1.
(2)由(1)得f′(x)＝[ax2－(2a＋1)x＋2]ex＝(ax－1)(x－2)ex.
若a＞，則當x∈時，f′(x)＜0；
當x∈(2，＋∞)時，f′(x)＞0.
所以f(x)在x＝2處取得極小值．
若a≤，則當x∈(0，2)時，f′(x)＞0.
所以2不是f(x)的極小值點．
綜上可知，a的取值范圍是.
8．(2021·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a.
(1)若a＝，求函數(shù)f(x)的所有零點；
(2)若a≥，證明函數(shù)f(x)不存在極值．
解析：(1)當a＝時，f(x)＝(x＋2)ln x＋x2－4x＋，
函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
則f′(x)＝ln x＋＋x－3.
設(shè)g(x)＝ln x＋＋x－3，
則g′(x)＝－＋1＝＝.
當0＜x＜1時，g′(x)＜0，當x＞1時，g′(x)＞0，
所以函數(shù)g(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以當x＞0時，g(x)≥g(1)＝0(當且僅當x＝1時取等號)，
即當x＞0時，f′(x)≥0(當且僅當x＝1時取等號)．
所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，至多有一個零點．
因為f(1)＝0，所以x＝1是函數(shù)f(x)唯一的零點．
所以函數(shù)f(x)的零點只有x＝1.
(2)證明：法一：f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a，
函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝ln x＋＋2ax－4.
當a≥時，f′(x)≥ln x＋＋x－3，
由(1)知ln x＋＋x－3≥0.
即當x＞0時，f′(x)≥0，
所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以f(x)不存在極值．
法二：f(x)＝(x＋2)ln x＋ax2－4x＋7a，
函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，
且f′(x)＝ln x＋＋2ax－4，
設(shè)m(x)＝ln x＋＋2ax－4，
則m′(x)＝－＋2a＝(x＞0)．
設(shè)h(x)＝2ax2＋x－2(x＞0)，
當a≥時，令h(x)＝2ax2＋x－2＝0，
解得x1＝＜0，x2＝＞0.
可知當0＜x＜x2時，h(x)＜0，即m′(x)＜0，
當x＞x2時，h(x)＞0，即m′(x)＞0，
所以f′(x)在(0，x2)上單調(diào)遞減，在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增．
由(1)知ln x＋＋x－3≥0，
則f′(x2)＝ln x2＋＋x2－3＋(2a－1)x2≥(2a－1)x2≥0.
所以f′(x)≥f′(x2)≥0，即f(x)在定義域上單調(diào)遞增．
所以f(x)不存在極值．
[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]
某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池(不計厚度)．設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米，高為h米，體積為V立方米．假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率)．
(1)將V表示成r的函數(shù)V(r)，并求該函數(shù)的定義域；
(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時該蓄水池的體積最大．
解析：(1)因為蓄水池側(cè)面的總成本為100×2πrh＝200πrh元，底面的總成本為160πr2元，
所以蓄水池的總成本為(200πrh＋160πr2)元．
又根據(jù)題意知200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝(300－4r2)，
從而V(r)＝πr2h＝(300r－4r3)．
因為r＞0，h＞0，所以r＜5，
故函數(shù)V(r)的定義域為(0，5)．
(2)因為V(r)＝(300r－4r3)，
所以V′(r)＝(300－12r2)．
令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．
當r∈(0，5)時，V′(r)＞0，故V(r)在(0，5)上為增函數(shù)；
當r∈(5，5)時，V′(r)＜0，故V(r)在(5，5)上為減函數(shù)．
由此可知，V(r)在r＝5處取得最大值，此時h＝8.即當r＝5，h＝8時，該蓄水池的體積最大．

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