?第十節(jié) 變化率與導(dǎo)數(shù)、定積分與微積分基本定理

[A組　基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練]
1．已知曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(5，f(5))處的切線(xiàn)方程是y＝－x＋5，則f(5)與f′(5)的值分別為(　　)
A．5，－1 B．－1，5
C．－1，0 D．0，－1
解析：由題意得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1.
答案：D
2．(2021·廣東珠海摸底)若函數(shù)f(x)＝x4＋(2a－3)x2，則其圖象在點(diǎn)(1，－2)處的切線(xiàn)的斜率為(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：將點(diǎn)(1，－2)代入函數(shù)的解析式得－2＝1＋2a－3，解得a＝0，所以f(x)＝x4－3x2，所以f′(x)＝4x3－6x，所以所求切線(xiàn)的斜率k＝f′(1)＝4－6＝－2.
答案：D
3．(2021·四川內(nèi)江模擬)若函數(shù)f(x)＝x3＋ln x－x，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)的傾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：設(shè)切線(xiàn)的斜率為k，其傾斜角為θ.由題可得f′(x)＝x2＋－1，因此k＝f′(1)＝，則tan θ＝.又0≤θ＜π，則θ＝.
答案：B
4．(2020·廣西桂林質(zhì)檢)定積分(3x＋ex)dx的值為(　　)
A．e＋1 B．e
C．e－ D．e＋
解析：(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝e＋.
答案：D
5．(2021·湖北十堰模擬)已知t是常數(shù)．若(2x－2)dx＝8，則t＝(　　)
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).
答案：D
6．(2020·吉林模擬)已知函數(shù)f(x)＝(x2＋x－1)ex，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)方程為(　　)
A．y＝3ex－2e B．y＝3ex－4e
C．y＝4ex－5e D．y＝4ex－3e
解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，因此f(1)＝e，f′(1)＝4e，
所以所求切線(xiàn)方程為y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
答案：D
7．若函數(shù)y＝f(x)上存在兩點(diǎn)，使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線(xiàn)互相垂直，稱(chēng)y＝f(x)具有T性質(zhì)．下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝sin x
C．y＝ex D．y＝x3
解析：由題意知，選項(xiàng)ACD中，函數(shù)均為定義域上的增函數(shù)，在任意點(diǎn)處切線(xiàn)斜率總為正數(shù)，不存在切線(xiàn)互相垂直，選項(xiàng)B中，y′＝cos x，x＝0與x＝π時(shí)，切線(xiàn)斜率分別為1，－1，切線(xiàn)垂直，具有T性質(zhì)．
答案：B
8．已知曲線(xiàn)f(x)＝ln x的切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則此切線(xiàn)的斜率為(　　)
A．e B．－e
C． D．－
解析：法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.設(shè)切點(diǎn)P(x0，ln x0)，則切線(xiàn)的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴l(xiāng)n x0＝1，x0＝e，∴k＝＝.

法二：(數(shù)形結(jié)合法)在同一坐標(biāo)系中作出曲線(xiàn)f(x)＝ln x及曲線(xiàn)f(x)＝ln x經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)，如圖所示，數(shù)形結(jié)合可知，切線(xiàn)的斜率為正，且小于1.
答案：C
9．若曲線(xiàn)f(x)＝a cos x與曲線(xiàn)g(x)＝x2＋bx＋1在交點(diǎn)(0，m)處有公切線(xiàn)，則a＋b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：依題意得f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b，b＝0，m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
答案：C
10．(2021·山東濰坊期中)若曲線(xiàn)y＝mx＋ln x在點(diǎn)(1，m)處的切線(xiàn)垂直于y軸，則實(shí)數(shù)m＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由已知得y′＝m＋.由曲線(xiàn)y＝mx＋ln x在點(diǎn)(1，m)處的切線(xiàn)垂直于y軸可知曲線(xiàn)y＝mx＋ln x在點(diǎn)(1，m)處的切線(xiàn)斜率k＝m＋1＝0，可得m＝－1.
答案：A
11．(2021·四川綿陽(yáng)診斷)若函數(shù)f(x)＝ln x＋2x2－bx－1的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率均大于0，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．(0，4)
解析：由f(x)＝ln x＋2x2－bx－1及題意可知f′(x)＝＋4x－b＞0對(duì)x＞0恒成立，所以b＜.又＋4x≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝時(shí)，＋4x取得最小值4，所以b＜4.
答案：A
12．(2021·四川成都聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是(　　)
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
解析：由函數(shù)f(x)的圖象可得函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)在[0，＋∞)上是單調(diào)遞減的，f(x)在[2，3]上的平均變化率小于函數(shù)f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處的瞬時(shí)變化率，大于f(x)在點(diǎn)(3，f(3))處的瞬時(shí)變化率，所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).
答案：C
13．(2021·哈爾濱師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f(x)＝x ln x－x，則曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(－e，f(－e))處的切線(xiàn)方程為_(kāi)_______．
解析：由題設(shè)可得，當(dāng)x＞0時(shí)，f′(x)＝1＋ln x－1＝ln x，所以由偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知曲線(xiàn)在點(diǎn)(－e，f(－e))處的切線(xiàn)的斜率k＝－ln e＝－1，切線(xiàn)方程為y－0＝－(x＋e)，即y＝－x－e.
答案：y＝－x－e
14．(2020·廣東佛山模擬)如圖，由曲線(xiàn)y＝x2和直線(xiàn)y＝t2(0＜t＜1)，x＝1，x＝0所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值是________．

解析：設(shè)圖中陰影部分的面積為S(t)，則S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝＋＝t3－t2＋.由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝為S(t)在區(qū)間(0，1)上的最小值點(diǎn)，此時(shí)S(t)min＝S＝×－＋＝.
答案：
15．(2020·山東濰坊模擬)若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y軸的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x的定義域?yàn)?0，＋∞)，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y軸的切線(xiàn)，∴f′(x)存在零點(diǎn)，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)).
答案：[2，＋∞)
16．已知函數(shù)f(x)＝x－(a≠0)的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)l1與在點(diǎn)(e，f(e))處的切線(xiàn)l2互相垂直，則這兩條切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的四邊形的面積為_(kāi)_______．

解析：由題知f′(x)＝1－，則切線(xiàn)l1的斜率為f′(1)＝1－，f(1)＝1，切線(xiàn)l2的斜率為f′(e)＝1－＝1，f(e)＝e－.因?yàn)榍芯€(xiàn)l1與切線(xiàn)l2互相垂直，所以1－＝－1，解得a＝，所以f(e)＝e－，則切線(xiàn)l1的方程為y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，切線(xiàn)l2的方程為y－e＋＝x－e，即y＝x－.由得兩條切線(xiàn)的交點(diǎn)為B.可求得切線(xiàn)l1與y軸交于點(diǎn)C(0，2)，切線(xiàn)l2與x軸交于點(diǎn)A，如圖，過(guò)點(diǎn)B作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，則兩條切線(xiàn)與坐標(biāo)軸圍成的四邊形OABC的面積為S△BCD＋S梯形OABD＝××＋＝1＋－.
答案：1＋－
[B組　素養(yǎng)提升練]
1．(2021·江西新余質(zhì)檢)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直線(xiàn)l與函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都相切，且與f(x)圖象的切點(diǎn)為(1，f(1))，則m的值為(　　)
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：∵f′(x)＝，∴直線(xiàn)l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴直線(xiàn)l的方程為y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，設(shè)直線(xiàn)l與g(x)圖象的切點(diǎn)為(x0，y0)，則

∴－m＝(1－m)2＋m(1－m)＋，得m＝－2.
答案：D
2．已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y＝上，α為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則α的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
解析：∵y＝，
∴y′＝＝＝.
∵ex＞0，∴ex＋≥2，
∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0).
又α∈[0，π)，∴α∈.
答案：A
3．(2020·湖南衡陽(yáng)聯(lián)考)已知a－ln b＝0，c－d＝1，則(a－c)2＋(b－d)2的最小值是________．
解析：設(shè)(b，a)是曲線(xiàn)C：y＝ln x上的點(diǎn)，(d，c)是直線(xiàn)l：y＝x＋1上的點(diǎn)，則(a－c)2＋(b－d)2可看成曲線(xiàn)C上的點(diǎn)到直線(xiàn)l上的點(diǎn)的距離的平方．對(duì)函數(shù)y＝ln x求導(dǎo)得y′＝，令y′＝1，得x＝1，則y＝0，所以曲線(xiàn)C上到直線(xiàn)y＝x＋1的距離最小的點(diǎn)為(1，0)，該點(diǎn)到直線(xiàn)y＝x＋1的距離為＝，因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值為()2＝2.
答案：2
4．(2021·廣東惠州期末改編)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax.若曲線(xiàn)y＝f(x)存在與直線(xiàn)2x－y＝0平行的切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意可得函數(shù)f(x)＝ln x＋ax的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝＋a.∵曲線(xiàn)y＝f(x)存在與直線(xiàn)2x－y＝0平行的切線(xiàn)，∴方程＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即＝2－a在(0，＋∞)上有解，即函數(shù)y＝(x＞0)與函數(shù)y＝2－a的圖象有公共點(diǎn)．又∵y＝＞0，∴2－a＞0，解得a＜2.當(dāng)直線(xiàn)2x－y＝0與曲線(xiàn)y＝f(x)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為(x0，2x0)，則有解得x0＝e，此時(shí)a＝2－，不符合題意，故a＜2且a≠2－，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪.
答案：∪
5．已知函數(shù)f(x)＝x－1＋(a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)若曲線(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，若直線(xiàn)l：y＝kx－1與曲線(xiàn)y＝f(x)相切，求直線(xiàn)l的方程．
解析：(1)f′(x)＝1－，因?yàn)榍€(xiàn)y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線(xiàn)平行于x軸，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，則②式無(wú)解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴直線(xiàn)l的方程為y＝(1－e)x－1.
6．已知函數(shù)f(x)＝ex(x2－2x＋a)(其中a∈R，a為常數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)曲線(xiàn)y＝f(x)在(a，f(a))處的切線(xiàn)為l，當(dāng)a∈[1，3]時(shí)，求直線(xiàn)l在y軸上截距的取值范圍．
解析：(1)f′(x)＝ex(x2－2x＋a)＋ex(2x－2)＝ex(x2＋a－2)，
當(dāng)a≥2時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＜2時(shí)，f′(x)≥0?x2≥2－a?x≤－或x≥，
函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，－]，[，＋∞)上單調(diào)遞增，
在區(qū)間(－，)上單調(diào)遞減．
(2)f(a)＝ea(a2－a)，f′(a)＝ea(a2＋a－2)，
所以直線(xiàn)l的方程為y－ea(a2－a)＝ea(a2＋a－2)(x－a).
令x＝0，得直線(xiàn)l在y軸上的截距為ea(－a3＋a)，記g(a)＝ea(－a3＋a)(1≤a≤3)，
則g′(a)＝ea(－a3－3a2＋a＋1)，記h(a)＝－a3－3a2＋a＋1(1≤a≤3)，
則h′(a)＝－3a2－6a＋1＜0(1≤a≤3)，所以h(a)在[1，3]上單調(diào)遞減，
所以h(a)≤h(1)＝－2＜0，所以g′(a)＜0，即g(a)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞減，
所以g(3)≤g(a)≤g(1)，即直線(xiàn)l在y軸上截距的取值范圍是[－24e3，0].

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