第二章 第五節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第279頁[A組　基礎(chǔ)保分練]1.函數(shù)f（x）＝21－x的大致圖像為（　?。?/span>解析：函數(shù)f（x）＝21－x＝2×，單調(diào)遞減且過點(diǎn)（0，2），選項(xiàng)A中的圖像符合要求.答案：A2.（2021·安徽皖江名校模擬）若ea＋πb≥e－b＋π－a，則有（　?。?/span>A.a＋b≤0　　　　　　　 B.a－b≥0C.a－b≤0  D.a＋b≥0解析：令f（x）＝ex－π－x，則f（x）在R上是增加的，因?yàn)?/span>ea＋πb≥e－b＋π－a，所以ea－π－a≥e－b－πb，則f（a）≥f（－b），所以a≥－b，即a＋b≥0.答案：D3.（2021·衡陽模擬）當(dāng)x∈（－∞，－1]時(shí)，不等式（m2－m）·4x－2x＜0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　?。?/span>A.（－2，1）  B.（－4，3）C.（－3，4）  D.（－1，2）解析：∵（m2－m）·4x－2x＜0在x∈（－∞，－1]上恒成立，∴m2－m＜在x∈（－∞，－1]上恒成立.又f（x）＝在x∈（－∞，－1]上單調(diào)遞減，∴f（x）≥2，∴m2－m＜2，∴－1＜m＜2.答案：D4.已知函數(shù)f（x）＝則函數(shù)f（x）是（　?。?/span>A.偶函數(shù)，在[0，＋∞）上單調(diào)遞增B.偶函數(shù)，在[0，＋∞）上單調(diào)遞增C.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增D.奇函數(shù)，且單調(diào)遞增解析：易知f（0）＝0，當(dāng)x>0時(shí)，f（x）＝1－2－x，－f（x）＝2－x－1，此時(shí)－x<0，則f（－x）＝2－x－1＝－f（x）；當(dāng)x<0時(shí)，f（x）＝2x－1，－f（x）＝1－2x，此時(shí)－x>0，則f（－x）＝1－2－（－x）＝1－2x＝－f（x）.即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且單調(diào)遞增.答案：C5.設(shè)函數(shù)f（x）＝x2－a與g（x）＝ax在區(qū)間（0，＋∞）上具有不同的單調(diào)性，其中a＞1且a≠2，則M＝（a－1）0.2與N＝的大小關(guān)系是（　?。?/span>A.M＝N  B.M≤NC.M＜N  D.M ＞N解析：由題意，因?yàn)?/span>f（x）＝x2－a與g（x）＝ax在區(qū)間（0，＋∞）上具有不同的單調(diào)性，所以易知a＞2，所以M＝（a－1）0.2＞1，N＝＜1，所以M＞N.答案：D6.（2021·廣州模擬）若存在負(fù)實(shí)數(shù)使得方程2x－a＝成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）A.（2，＋∞）  B.（0，＋∞）C.（0，2）  D.（0，1）解析：在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)y＝和y＝2x－a的圖像，則由圖知，當(dāng)a∈（0，2）時(shí)符合要求.答案：C7.不等式＞的解集為__________.解析：＞2－x－4，∴－x2＋2x＞－x－4，即x2－3x－4＜0，∴－1＜x＜4.答案：{x|－1＜x＜4}8.若函數(shù)f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g（x）＝（1－4m）在[0，＋∞）上是增函數(shù)，則a＝__________.解析：若a＞1，有a2＝4，a－1＝m.此時(shí)a＝2，m＝，此時(shí)g（x）＝－為減函數(shù)，不合題意.若0＜a＜1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝，m＝，檢驗(yàn)知符合題意.答案：9.已知函數(shù)f（x）＝.（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）的最大值等于，求實(shí)數(shù)a的值.解析：（1）令t＝|x|－a，則f（t）＝，不論a取何值，t在（－∞，0]上單調(diào)遞減，在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，又f（t）＝是單調(diào)遞減的，因此f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（－∞，0]，單調(diào)遞減區(qū)間是[0，＋∞）.（2）由于f（x）的最大值是，且＝，所以g（x）＝|x|－a應(yīng)該有最小值－2，即g（0）＝－2，從而a＝2.10.已知函數(shù)f（x）＝2x＋k·2－x，k∈R.（1）若函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的值；（2）若對(duì)任意的x∈[0，＋∞）都有f（x）＞2－x成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解析：（1）因?yàn)?/span>f（x）＝2x＋k·2－x是奇函數(shù)，所以f（－x）＝－f（x），x∈R，即2－x＋k·2x＝－（2x＋k·2－x）.所以（1＋k）＋（k＋1）·22x＝0對(duì)一切x∈R恒成立，所以k＝－1.（2）因?yàn)?/span>x∈[0，＋∞）時(shí)，均有f（x）＞2－x，即2x＋k·2－x＞2－x成立，所以1－k＜22x對(duì)x≥0恒成立，所以1－k＜（22x）min.因?yàn)?/span>y＝22x在[0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以（22x）min＝1，所以k＞0.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是（0，＋∞）.[B組　能力提升練]1.已知函數(shù)f（x）＝2x－2，則函數(shù)y＝|f（x）|的圖像可能是（　?。?/span>解析：|f（x）|＝|2x－2|＝易知函數(shù)y＝|f（x）|的圖像的分段點(diǎn)是x＝1，且過點(diǎn)（1，0），（0，1），.又|f（x）|≥0.答案：B2.（2021·青島模擬）函數(shù)y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的圖像恒過的點(diǎn)是（　?。?/span>A.（0，0）  B.（0，－1）C.（－2，0）  D.（－2，－1）解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝ax（a＞0且a≠1）的圖像恒過點(diǎn)（0，1），將該圖像向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的圖像，所以y＝ax＋2－1（a＞0且a≠1）的圖像恒過點(diǎn)（－2，0）.答案：C3.（2021·濰坊模擬）已知a＝，b＝，c＝，則（　?。?/span>A.a＜b＜c  B.b＜c＜aC.c＜b＜a  D.b＜a＜c解析：因?yàn)?/span>a＝＝2，b＝＝2，c＝＝5，顯然有b＜a，又a＝4＜5＝c，故b＜a＜c.答案：D4.設(shè)x＞0，且1＜bx＜ax，則（　?。?/span>A.0＜b＜a＜1  B.0＜a＜b＜1C.1＜b＜a  D.1＜a＜b解析：因?yàn)?/span>1＜bx，所以b0＜bx，因?yàn)?/span>x＞0，所以b＞1，因?yàn)?/span>bx＜ax，所以＞1，因?yàn)?/span>x＞0，所以＞1，所以a＞b，所以1＜b＜a.答案：C5.已知0＜b＜a＜1，則在ab，ba，aa，bb中最大的是（　?。?/span>A.ba  B.aaC.ab  D.bb解析：因?yàn)?/span>0＜b＜a＜1，所以y＝ax和y＝bx均為減函數(shù)，所以ab＞aa，ba＜bb，又因?yàn)?/span>y＝xb在（0，＋∞）上為增函數(shù)，所以ab＞bb，所以在ab，ba，aa，bb中最大的是ab.答案：C6.不等式<恒成立，則a的取值范圍是__________.解析：由題意，y＝是減函數(shù)，因?yàn)?/span><恒成立，所以x2＋ax>2x＋a－2恒成立，所以x2＋（a－2）x－a＋2>0恒成立，所以Δ＝（a－2）2－4（－a＋2）<0，即（a－2）（a－2＋4）<0，即（a－2）（a＋2）<0，故有－2<a<2，即a的取值范圍是（－2，2）.答案：（－2，2）7.已知實(shí)數(shù)a，b滿足等式＝，下列五個(gè)關(guān)系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中可能成立的關(guān)系式有__________.（填序號(hào)）解析：函數(shù)y1＝與y2＝的圖像如圖所示.由＝得，a＜b＜0或0＜b＜a或a＝b＝0.故①②⑤可能成立，③④不可能成立.答案：①②⑤[C組　創(chuàng)新應(yīng)用練]1.（2021·杭州模擬）設(shè)y＝f（x）在（－∞，1]上有定義，對(duì)于給定的實(shí)數(shù)K，定義fK（x）＝給出函數(shù)f（x）＝2x＋1－4x，若對(duì)于任意x∈（－∞，1]，恒有fK（x）＝f（x），則（　　）A.K的最大值為0  B.K的最小值為0C.K的最大值為1  D.K的最小值為1解析：根據(jù)題意可知，對(duì)于任意x∈（－∞，1]，若恒有fK（x）＝f（x），則f（x）≤K在x≤1上恒成立，即f（x）的最大值小于或等于K即可.令2x＝t，則t∈（0，2]，f（t）＝－t2＋2t＝－（t－1）2＋1，可得f（t）的最大值為1，所以K≥1.答案：D2.（2021·北京模擬）已知14C的半衰期為5 730年（是指經(jīng)過5 730年后，14C的殘余量占原始量的一半）.設(shè)14C的原始量為a，經(jīng)過x年后的殘余量為b，殘余量b與原始量a的關(guān)系為b＝ae－kx，其中x表示經(jīng)過的時(shí)間，k為一個(gè)常數(shù).現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14C的殘余量約占原始量的76.7%.請(qǐng)你推斷一下馬王堆漢墓修建距今約　　　　年.（參考數(shù)據(jù)：log20.767≈－0.4）解析：由題意可知，當(dāng)x＝5 730時(shí)，ae－5 730k＝a，解得k＝.現(xiàn)測(cè)得湖南長(zhǎng)沙馬王堆漢墓女尸出土?xí)r14C的殘余量約占原始量的76.7%.所以76.7%＝e－x，得ln 0.767＝－x，x＝－5 730×＝－5 730×log2 0.767≈2 292.答案：2 292

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