1.對一個未知總體，我們常用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布，其中表示樣本數(shù)據(jù)的頻率分布的基本方法有哪些？
2.美國NBA在2006——2007年度賽季中，甲、乙兩名籃球運(yùn)動員在隨機(jī)抽取的12場比賽中的得分情況如下：甲運(yùn)動員得分：12，15，20，25，31，31， 36，36，37，39，44，49.乙運(yùn)動員得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，29.
如果要求我們根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，估計(jì)、比較甲，乙兩名運(yùn)動員哪一位發(fā)揮得比較穩(wěn)定，就得有相應(yīng)的數(shù)據(jù)作為比較依據(jù)，即通過樣本數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究，用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征.
甲運(yùn)動員得分：12，15，20，25，31，31， 36，36，37，39，44，49.乙運(yùn)動員得分：8，13，14，16，23，26， 28，38，39，51，31，29.
知識探究（一）：眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)
思考1：在初中我們學(xué)過眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？
思考2：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)是什么？
思考3：在頻率分布直方圖中，每個小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？
思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計(jì)總體的中位數(shù)是什么？
0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.01÷0.5=0.02，中位數(shù)是2+0.02=2.02.
思考5：平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，各個小矩形的重心在哪里？從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？
0.25，0.75，1.25，1.75，2.25， 2.75，3.25，3.75，4.25.
思考6：根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)中數(shù)學(xué)期望原理，將頻率分布直方圖中每個小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù). 由此估計(jì)總體的平均數(shù)是什么？
0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25× 0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）. 平均數(shù)是2.02.
思考7：從居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？
頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).
注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計(jì)總體特征.
思考8：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個極端值的影響，這在某些情況下是一個優(yōu)點(diǎn)，但它對極端值的不敏感有時也會成為缺點(diǎn)，你能舉例說明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說明什么問題？你怎樣理解“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話的含義？
如：樣本數(shù)據(jù)收集有個別差錯不影響中位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低. 平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。┑臉O端值. 這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個中心點(diǎn)，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù).
知識探究（二）：標(biāo)準(zhǔn)差
樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計(jì)算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的少量信息. 平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當(dāng)樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實(shí)際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實(shí)際狀況，因此，我們需要一個統(tǒng)計(jì)數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.
思考1：在一次射擊選拔賽中，甲、乙兩名運(yùn)動員各射擊10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)？
思考2：甲、乙兩人射擊的平均成績相等，觀察兩人成績的頻率分布條形圖，你能說明其水平差異在那里嗎？
甲的成績比較分散，極差較大，乙的成績相對集中，比較穩(wěn)定.
思考3：對于樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，設(shè)想通過各數(shù)據(jù)到其平均數(shù)的平均距離來反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度，那么這個平均距離如何計(jì)算？
思考4：反映樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是標(biāo)準(zhǔn)差，一般用s表示.假設(shè)樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的平均數(shù)為 ，則標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式是：
那么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么？標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)有何特點(diǎn)？
s≥0，標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)都相等.
標(biāo)準(zhǔn)差越大離散程度越大，數(shù)據(jù)較分散；標(biāo)準(zhǔn)差越小離散程度越小，數(shù)據(jù)較集中在平均數(shù)周圍.

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高中數(shù)學(xué)人教版新課標(biāo)B必修3電子課本

2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體

版本： 人教版新課標(biāo)B

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