【知識重溫】
一、必記4個(gè)知識點(diǎn)
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：
2.空間幾何體的三視圖
(1)三視圖的形成與名稱：
(ⅰ)形成：空間幾何體的三視圖是用平行投影得到的，在這種投影之下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與平面圖形的?________和?________是完全相同的．
(ⅱ)名稱：三視圖包括?______、?______、?________.
(2)三視圖的畫法：
(ⅰ)在畫三視圖時(shí)，重疊的線只畫一條，擋住的線要畫成?______.
(ⅱ)三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的?______方、?______方、?______方觀察幾何體畫出的輪廓線．
3．空間幾何體的直觀圖
空間幾何體的直觀圖常用斜二測畫法來畫，基本步驟是：
(1)畫幾何體的底面：
在已知圖形中取互相垂直的x軸，y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝?________，已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中長度eq \(○,\s\up1(21))______，平行于y軸的線段，長度eq \(○,\s\up1(22))______.
(2)畫幾何體的高：
在已知圖形中過O點(diǎn)作z軸垂直于xOy平面，在直觀圖中對應(yīng)的z′軸，也垂直于x′O′y′平面，已知圖形中平行于z軸的線段，在直觀圖中仍平行于z′軸且長度不變．
4．正棱柱、正棱錐的結(jié)構(gòu)特征
(1)正棱柱：側(cè)棱eq \(○,\s\up1(23))________于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是eq \(○,\s\up1(24))________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是eq \(○,\s\up1(25))________，側(cè)棱eq \(○,\s\up1(26))________于底面，側(cè)面是矩形．
(2)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．
二、必明3個(gè)易誤點(diǎn)
1．臺體可以看成是由錐體截得的，易忽視截面與底面平行且側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)．
2．空間幾何體不同放置時(shí)其三視圖不一定相同．
3．對于簡單組合體，若相鄰兩物體的表面相交，表面的交線是它們的分界線，在三視圖中，易忽視實(shí)虛線的畫法．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．
(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．( )
(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．( )
(3)棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分．( )
(4)夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是圓柱．( )
(5)上下底面是兩個(gè)平行的圓面的旋轉(zhuǎn)體是圓臺．( )
二、教材改編
2．如圖，右邊長方體中由左邊的平面圖形圍成的是( )
3．下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A．三角形的直觀圖是三角形
B．平行四邊形的直觀圖是平行四邊形
C．正方形的直觀圖是正方形
D．菱形的直觀圖是平行四邊形
三、易錯(cuò)易混
4．如圖，長方體ABCD－A′B′C′D′中被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的幾何體是( )
A．棱臺 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
5．在直觀圖(如圖所示)中，四邊形O′A′B′C′為菱形且邊長為2 cm，則在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO為______，面積為______cm2.

四、走進(jìn)高考
6．[2020·全國卷Ⅱ]如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為( )
A．E B．F C．G D．H

eq \x(考點(diǎn)一) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征[自主練透型]
1．下列結(jié)論正確的是( )
A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐
B．六條棱長均相等的四面體是正四面體
C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱
D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺
2．給出下列幾個(gè)命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3．[2021·青島模擬]以下三個(gè)命題：
①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；
②圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面；
③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1 C．2 D．3

悟·技法
空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的解題策略
(1)緊扣結(jié)構(gòu)特征是判斷的關(guān)鍵，熟悉空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本元素，然后再依據(jù)題意判定．
(2)通過舉反例對結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，即要說明一個(gè)命題是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可.
考點(diǎn)二 空間幾何體的直觀圖[互動(dòng)講練型]
[例1] 有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________．
悟·技法
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．已知正三角形ABC的邊長為2，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為________．




考點(diǎn)三 空間幾何體的三視圖[分層深化型]
考向1：已知幾何體識別三視圖
[例2]
[2018·全國卷Ⅲ]中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是( )
考向2：已知三視圖還原幾何體
[例3] [2018·全國卷Ⅰ]某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．
圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為( )

A．2eq \r(17) B．2eq \r(5) C．3 D．2
考向3：已知三視圖中的部分視圖，判斷其他視圖
[例4] 把邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折起，使得平面ABD⊥平面CBD，形成的三棱錐C－ABD的正視圖與俯視圖如圖所示，則側(cè)視圖的面積為( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \f(\r(2),4) D.eq \f(1,4)
悟·技法
1.根據(jù)幾何體確認(rèn)三視圖的技巧
由實(shí)物圖畫三視圖或判斷選擇三視圖，按照“正側(cè)一樣高，正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬”的特點(diǎn)確認(rèn)．
2．根據(jù)三視圖還原幾何體的技巧策略
(1)對柱、錐、臺、球的三視圖要熟悉．
(2)明確三視圖的形成原理，并能結(jié)合空間想象將三視圖還原為直觀圖．
(3)遵循“長對正、高平齊、寬相等”的原則．
[提醒] 對于簡單組合體的三視圖，首先要確定正視、側(cè)視、俯視的方向，其次要注意組合體由哪些幾何體組成，弄清它們的組成方式，特別應(yīng)注意它們的交線的位置，區(qū)分好實(shí)線和虛線的不同.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
2．[2021·貴州七校聯(lián)考]如圖，四面體ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)是長方體的四個(gè)頂點(diǎn)(長方體是虛擬圖形，起輔助作用)，則四面體ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是(用①②③④⑤⑥代表圖形)( )

A．①②⑥ B．①②③ C．④⑤⑥ D．③④⑤
3．[2021·山西省八校高三聯(lián)考]已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖是一個(gè)邊長為2的正三角形，則該幾何體中最長棱的長度為( )
A．2 B．3eq \r(2) C．3 D．2eq \r(2)
第八章 立體幾何
第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖
【知識重溫】
①平行且相等 ②全等 ③多邊形 ④公共點(diǎn) ⑤平行于底面 ⑥相似 ⑦任一邊 ⑧任一直角邊 ⑨垂直于底邊的腰 ⑩直徑 ?形狀 ?大小 ?正視圖 ?側(cè)視圖 ?俯視圖 ?虛線 ?正前 ?正左 ?正上 ?45°(或135°) eq \(○,\s\up1(21))不變 eq \(○,\s\up1(22))減半 eq \(○,\s\up1(23))垂直 eq \(○,\s\up1(24))正多邊形 eq \(○,\s\up1(25))正多邊形 eq \(○,\s\up1(26))垂直
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
2．解析：折成的長方體有兩組對面是黑色的，一組對面是白色的．
答案：D
3．解析：由斜二測直觀圖的畫法法則可知，A、B、D正確，C不正確，因?yàn)檎叫蔚闹庇^圖是平行四邊形．
答案：C
4．解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征，剩下的幾何體為五棱柱，故選C.
答案：C
5．解析：由斜二測畫法的特點(diǎn)，知該平面圖形的直觀圖的原圖，即在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCO是一個(gè)長為4 cm，寬為2 cm的矩形，所以四邊形ABCO的面積為8 cm2.
答案：矩形 8
6．解析：根據(jù)三視圖可得直觀圖如圖所示，圖中的點(diǎn)U在正視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為N，所以該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對應(yīng)的點(diǎn)為E.故選A.
答案：A
課堂考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一
1．解析：底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)；斜四棱柱也有可能兩個(gè)側(cè)面是矩形，所以C錯(cuò)；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺，D錯(cuò)．故選B.
答案：B
2．解析：①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤：棱臺的上、下底面是相似且對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長不一定相等．故選B.
答案：B
3．解析：由圓臺的定義可知①錯(cuò)誤，②正確．對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺，③錯(cuò)誤．故選B.
答案：B
考點(diǎn)二
例1
解析：如圖，在直觀圖中，過點(diǎn)A作AE⊥BC，垂足為E.
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝eq \f(\r(2),2).
而四邊形AECD為矩形，AD＝1，
∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝eq \f(\r(2),2)＋1.
由此可還原原圖形如圖．
在原圖形中，A′D′＝1，A′B′＝2，
B′C′＝eq \f(\r(2),2)＋1，
且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，
∴這塊菜地的面積S＝eq \f(1,2)(A′D′＋B′C′)·A′B′＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋1＋\f(\r(2),2)))×2＝2＋eq \f(\r(2),2).
答案：2＋eq \f(\r(2),2)
變式練
1．解析：如圖，圖①，圖②所示的分別是實(shí)際圖形和直觀圖．
從圖②可知，A′B′＝AB＝2，
O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),2)，
C′D′＝O′C′sin 45°＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(6),4).
所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×2×eq \f(\r(6),4)＝eq \f(\r(6),4).
答案：eq \f(\r(6),4)
考點(diǎn)三
例2 解析：由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應(yīng)選A.
答案：A
例3 解析：先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點(diǎn)M，N的位置如圖①所示．
①
②
圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點(diǎn))如圖②所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑．
ON＝eq \f(1,4)×16＝4，OM＝2，
∴ |MN|＝eq \r(OM2＋ON2)＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5).
故選B.
答案：B
例4 解析：由三棱錐C－ABD的正視圖、俯視圖得三棱錐C－ABD的側(cè)視圖為直角邊長是eq \f(\r(2),2)的等腰直角三角形，其形狀如圖所示，所以三棱錐C－ABD的側(cè)視圖的面積為eq \f(1,4).故選D.
答案：D
變式練
2．解析：正視圖是邊長為3和4的矩形，其對角線左下到右上是實(shí)線，左上到右下是虛線，因此正視圖是①；側(cè)視圖是邊長為5和4的矩形，其對角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此側(cè)視圖是②；俯視圖是邊長為3和5的矩形，其對角線左上到右下是實(shí)線，左下到右上是虛線，因此俯視圖是③.故選B.
答案：B
3．解析：由三視圖還原該幾何體的直觀圖，為如圖所示的四棱錐P－ABCD，其中該四棱錐的底面是一個(gè)上底為1、下底為2、高為2的直角梯形，平面PBC⊥底面ABCD，△PBC是邊長為2的正三角形，易知AB＝BC＝PB＝PC＝2，CD＝1，AD＝PD＝eq \r(5)，PA＝2eq \r(2)，所以最長棱的長度為2eq \r(2).故選D.
答案：D
幾何體
旋轉(zhuǎn)圖形
旋轉(zhuǎn)軸
圓柱
矩形
⑦_(dá)_________所在的直線
圓錐
直角三角形
⑧__________所在的直線
圓臺
直角梯形
⑨__________所在的直線
球
半圓
⑩__________所在的直線

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