【知識重溫】
一、必記3個知識點
1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理
3.平行關(guān)系中的兩個重要結(jié)論
(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β.
(2)平行于同一平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
二、必明3個易誤點
1．直線與平面平行的判定中易忽視“線在面內(nèi)”這一關(guān)鍵條件．
2．面面平行的判定中易忽視“面內(nèi)兩條相交線”這一條件．
3．如果一個平面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個平面平行，易誤認為這兩個平面平行，實質(zhì)上也可以相交．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行．( )
(2)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面．( )
(3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.( )
(4)若直線a∥平面α，P∈α，則過點P且平行于直線a的直線有無數(shù)條．( )
(5)若平面α∥平面β，直線a∥平面α，則直線a∥平面β.( )
二、教材改編
2．如果直線a∥α，P∈α，那么過點P且平行于直線a的直線( )
A．只有一條，不在平面α內(nèi)
B．有無數(shù)條，不一定在平面α內(nèi)
C．只有一條，且在平面α內(nèi)
D．有無數(shù)條，一定在平面α內(nèi)
3．下列命題中正確的是( )
A．如果直線a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面
B．如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行
C．如果直線a，b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．如果直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，那么b∥α

三、易錯易混
4．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點B∈β，則在平面β內(nèi)且過B點的所有直線中( )
A．不一定存在與a平行的直線
B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數(shù)條與a平行的直線
D．存在唯一與a平行的直線
5．設(shè)α，β，γ為三個不同的平面，a，b為直線，給出下列條件：
①a?α，b?β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的條件是________．(填上所有正確的序號)

四、走進高考
6．[2019·全國卷Ⅱ]設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是( )
A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行
B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行
C．α、β平行于同一條直線
D．α、β垂直于同一平面

eq \x(考點一) 直線與平面平行的判定和性質(zhì)
[互動講練型]
[例1] [2019·全國卷Ⅰ]
如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分別是BC，BB1，A1D的中點．
(1)證明：MN∥平面C1DE；
(2)求點C到平面C1DE的距離．
悟·技法
1.判定線面平行的4種方法
(1)利用線面平行的定義(無公共點)．
(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)．
(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．
2．解決直線與平面平行的3個思維趨向
(1)利用線面平行的判定定理證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線．
(2)構(gòu)造平行的常見形式：三角形的中位線、平行四邊形、利用比例關(guān)系證明兩直線平行等．
(3)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化，即從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”，而在應(yīng)用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．[2021·廣東省七校聯(lián)合體高三聯(lián)考]如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝eq \r(3)，BC＝1，AD＝2eq \r(3)，CD＝4，E為CD的中點．
(1)求證：AE∥平面PBC；
(2)求三棱錐C－PBE的體積．
考點二 平面與平面平行的判定和性質(zhì)
[互動講練型]
[例2] [2021·廣東肇慶實驗中學(xué)月考]如圖，已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為2的正方體．
(1)求B1C1D1－ABCD的體積；
(2)求證：平面AB1D1∥平面C1BD.
悟·技法
判定平面與平面平行的5種方法
(1)面面平行的定義，即證兩個平面沒有公共點(不常用)．
(2)面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行(客觀題可用)．
(4)利用平面平行的傳遞性，兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行(客觀題可用)．
(5)利用向量法，通過證明兩個平面的法向量平行證得兩平面平行.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
2．[2021·四川成都五校聯(lián)考]如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M、N分別為AD、PA的中點．
(1)證明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱錐P－BMN的體積．
考點三 立體幾何中的探索性問題
[互動講練型]
[例3] [2021·江西南昌重點中學(xué)段考]如圖，四邊形ABCD是梯形，四邊形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE＝eq \f(1,2)CD＝2，M是線段AE上的動點．
(1)試確定點M的位置，使AC∥平面MDF，并說明理由；
(2)在(1)的條件下，求平面MDF將幾何體ADE－BCF分成上、下兩部分的體積之比．
悟·技法
1.平行關(guān)系中的探索性問題，主要是對點的存在性問題的探索，一般用轉(zhuǎn)化方法求解，即先確定點的位置，把問題轉(zhuǎn)化為證明問題，而證明線面平行時又有兩種轉(zhuǎn)化方法，一是轉(zhuǎn)化為線線平行，二是轉(zhuǎn)化為面面平行．
2．這類問題也可以按類似于分析法的格式書寫步驟：從結(jié)論出發(fā)“要使……成立”，“只需使……成立”.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
3．如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由．
第四節(jié) 直線、平面平行的判定和性質(zhì)
【知識重溫】
①l∥a a?α l?α ②l∥α l?β α∩β＝b ③a∥β b∥β a∩b＝P a?α b?α ④α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)√ (3)× (4)×
(5)×
2．解析：過a與P作一平面β，平面α與平面β的交線為b，因為a∥α，所以a∥b，在同一個平面內(nèi)，過點作已知直線的平行線有且只有一條，故選C.
答案：C
3．解析：A中，a可能在經(jīng)過b的平面內(nèi)，故A錯誤；B中，a還可以與平面α內(nèi)的直線異面，故B錯誤；C中，a可以與直線b平行、異面、相交，故C錯誤；D中，過直線a作平面β，設(shè)α∩β＝c，∵a∥α，∴a∥c，又∵a∥b，∴b∥c，又b?α，且c?α，∴b∥α，故D正確．故選D.
答案：D
4．解析：當直線a在平面β內(nèi)且過B點時，不存在與a平行的直線，故選A.
答案：A
5．解析：在條件①或條件③中，α∥β或α與β相交；由α∥γ，β∥γ?α∥β，條件②滿足；在④中，a⊥α，a∥b?b⊥α，又b⊥β，從而α∥β，④滿足．
答案：②④
6．解析：A、C、D選項中α與β可能相交．故選B.
答案：B
課堂考點突破
考點一
例1 解析：(1)證明：連接B1C，ME.
因為M，E分別為BB1，BC的中點，
所以ME∥B1C，且ME＝eq \f(1,2)B1C.
又因為N為A1D的中點，所以ND＝eq \f(1,2)A1D.
由題設(shè)知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，
因此四邊形MNDE為平行四邊形，MN∥ED.
又MN?平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.
(2)過C作C1E的垂線，垂足為H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.
從而CH⊥平面C1DE，
故CH的長即為C到平面C1DE的距離．
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝eq \r(17)，
故CH＝eq \f(4\r(17),17).
從而點C到平面C1DE的距離為eq \f(4\r(17),17).
變式練
1．解析：(1)∵AB＝eq \r(3)，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，AD＝2eq \r(3)，AC＝2，CD＝4，
∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，△ACD是直角三角形．
又E為CD的中點，∴AE＝eq \f(1,2)CD＝CE＝2，
∴△ACE是等邊三角形，∴∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE.
又AE?平面PBC，BC?平面PBC，∴AE∥平面PBC.
(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥底面BCE，
∴PA為三棱錐P－BCE的高．
∵∠BCA＝60°，∠ACD＝60°，∴∠BCE＝120°.
又BC＝1，CE＝2，
∴S△BCE＝eq \f(1,2)×BC×CE×sin∠BCE＝eq \f(1,2)×1×2×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),2)，
∴V三棱錐C－PBE＝V三棱錐P－BCE＝eq \f(1,3)×S△BCE×PA＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),2)×2＝eq \f(\r(3),3).
考點二
例2 解析：(1)設(shè)正方體的體積為V1，
則由題圖可知B1C1D1－ABCD的體積V＝V1－VA－A1B1D1＝2×2×2－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2＝8－eq \f(4,3)＝eq \f(20,3).
(2)證明：∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1，
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴四邊形D1C1BA為平行四邊形，
∴D1A∥C1B，又D1A?平面C1BD，C1B?平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.同理，D1B1∥平面C1BD，
又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD.
變式練
2．解析：(1)證明：連接BD.
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD為正三角形．
∵M為AD的中點，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD，BM?平面ABCD，∴BM∥CD.
又BM?平面PCD，CD?平面PCD，∴BM∥平面PCD.
∵M，N分別為AD，PA的中點，∴MN∥PD.
又MN?平面PCD，PD?平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN?平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)在(1)中已證BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BM?平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3eq \r(3).
∵M，N分別為AD，PA的中點，PA＝PD＝eq \f(\r(2),2)AD＝3eq \r(2)，
∴S△PMN＝eq \f(1,4)S△PAD＝eq \f(1,4)×eq \f(1,2)×(3eq \r(2))2＝eq \f(9,4).
∴三棱錐P－BMN的體積V＝VB－PMN＝eq \f(1,3)S△PMN·BM＝eq \f(1,3)×eq \f(9,4)×3eq \r(3)＝eq \f(9\r(3),4).
考點三
例3 解析：
(1)當M為線段AE的中點時，AC∥平面MDF.
證明如下：
如圖，連接CE，交DF于N，連接MN，
因為M，N分別是AE，CE的中點，
所以MN∥AC.
因為MN?平面MDF，AC?平面MDF，
所以AC∥平面MDF.
(2)將幾何體ADE－BCF補成三棱柱ADE－B1CF，
則三棱柱ADE－B1CF的體積V＝S△ADE·CD＝eq \f(1,2)×2×2×4＝8，
VADE－BCF＝VADE－B1CF－VF－BB1C＝8－eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×2×2))×2＝eq \f(20,3).
三棱錐F－DEM的體積VF－DEM＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))×4＝eq \f(4,3)，
故上、下兩部分的體積之比為eq \f(4,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(20,3)－\f(4,3)))＝14.
變式練
3．解析：解法一 假設(shè)在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，
如圖，取BB1的中點F，
連接DF，EF，ED，
則DF∥B1C1，
又DF?平面AB1C1，
B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵點F是BB1的中點，
∴點E是AB的中點．
即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
解法二 存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.
證明如下：
如圖，取BB1的中點F，連接DF，
則DF∥B1C1.
∵DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵AB的中點為E，連接EF，ED，
則EF∥AB1.
∵EF?平面AB1C1，AB1?平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵DF∩EF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)
因為①______，
______，
______，
所以l∥α
性質(zhì)定理
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡記為“線面平行?線線平行”)
因為②______，
______，
______，
所以l∥b
文字語言
圖形語言
符號語言
判定定理
一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)
因為③______，
______，
______，
______，
______，
所以α∥β
性質(zhì)定理
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
因為④______，
______，
______，
所以a∥b

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