【知識(shí)重溫】
一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)
1．歸納法
由一系列有限的特殊事例得出①________的推理方法叫歸納法．根據(jù)推理過(guò)程中考查的對(duì)象是涉及事物的全體或部分可分為②________歸納法和③________歸納法．
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法
數(shù)學(xué)歸納法：一個(gè)與自然數(shù)相關(guān)的命題，如果：(1)當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n＝k，(k∈N＋，且k≥n0)時(shí)，命題成立的前提下，推出當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題也成立，那么可以斷定這個(gè)命題對(duì)于n取第1個(gè)值后面的所有正整數(shù)成立．
3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題的步驟
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值④________時(shí)，命題成立．
(2)(歸納遞推)假設(shè)⑤________(k≥n0，k∈N*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)⑥________時(shí)命題也成立．
只要完成這兩個(gè)步驟就可以斷定命題對(duì)從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)
應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：
1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，誤把第一個(gè)值n0認(rèn)為是1，如證明多邊形內(nèi)角和定理(n－2)π時(shí)，初始值n0＝3.
2．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵是第二步，證題時(shí)應(yīng)注意：①必須利用歸納假設(shè)作基礎(chǔ)；②證明中可利用綜合法、分析法、反證法等方法；③解題時(shí)要搞清從n＝k到n＝k＋1增加了哪些項(xiàng)或減少了哪些項(xiàng)．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．
(1)與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明只能用數(shù)學(xué)歸納法．( )
(2)數(shù)學(xué)歸納法的第一步n0的初始值一定為1.( )
(3)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可．( )
二、教材改編
2．下列結(jié)論能用數(shù)學(xué)歸納法證明的是( )
A．x>sin x，x∈(0，π)
B．ex≥x＋1(x∈R)
C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,22)＋…＋eq \f(1,2n－1)＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1(n∈N*)
D．sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β(α，β∈R)
3．若f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,6n－1)(n∈N＋)，則f(1)為( )
C．1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,5) D．非以上答案
三、易錯(cuò)易混
4．已知f(n)＝eq \f(1,n)＋eq \f(1,n＋1)＋eq \f(1,n＋2)＋…＋eq \f(1,n2)，則( )
A．f(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
B．f(n)中共有n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
C．f(n)中共有n2－n項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)
D．f(n)中共有n2－n＋1項(xiàng)，當(dāng)n＝2時(shí)，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4)
5．用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2n－1)1)”，由n＝k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時(shí)，左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是________．
eq \x(考點(diǎn)一) 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式[自主練透型]
1．求證：12＋22＋…＋n2＝eq \f(n?n＋1??2n＋1?,6).
2．設(shè)f(n)＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)(n∈N*)．求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*)．
悟·技法
用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意
(1)明確初始值n0的取值并驗(yàn)證n＝n0時(shí)等式成立．
(2)由n＝k證明n＝k＋1時(shí)，弄清左邊增加的項(xiàng)，且必須用上假設(shè).
考點(diǎn)二 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
[互動(dòng)講練型]
[例1] 已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，aeq \\al(2,n＋1)＋an＋1－1＝aeq \\al(2,n).求證：當(dāng)n∈N*時(shí)，an－1且x≠0，整數(shù)p>1時(shí)，(1＋x)p>1＋px.
考點(diǎn)三 歸納、猜想、證明[互動(dòng)講練型]
[例2] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＝eq \f(an,2)＋eq \f(1,an)－1，且an>0，n∈N*.
(1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通項(xiàng)公式；
(2)證明通項(xiàng)公式的正確性．
悟·技法
“歸納—猜想—證明”的一般環(huán)節(jié)
[變式練]——(著眼于舉一反三)
2．已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1.
(1)寫出a1，a2，a3，推測(cè)an的表達(dá)式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得結(jié)論．
第七節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法
【知識(shí)重溫】
①一般結(jié)論 ②完全 ③不完全 ④n＝n0 ⑤n＝k ⑥n＝k＋1
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√
2．解析：數(shù)學(xué)歸納法是用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法，由此可知選項(xiàng)C符合題意．
答案：C
3．解析：等式右邊的分母是從1開始的連續(xù)的自然數(shù)，且最大分母為6n－1，則當(dāng)n＝1時(shí)，最大分母為5，故選C.
答案：C
4．解析：由f(n)可知，共有n2－n＋1項(xiàng)，且n＝2時(shí)，f(2)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,4).
答案：D
5．解析：當(dāng)n＝k時(shí)，
不等式為1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,2k－1)0，
所以ak＋1(1＋x)(1＋kx)＝1＋(k＋1)x＋kx2>1＋(k＋1)x.
所以當(dāng)p＝k＋1時(shí)，原不等式也成立．
綜合(1)(2)可得，當(dāng)x>－1且x≠0時(shí)，對(duì)一切整數(shù)p>1，不等式(1＋x)p>1＋px均成立．
考點(diǎn)三
例2 解析：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，由已知得a1＝eq \f(a1,2)＋eq \f(1,a1)－1，aeq \\al(2,1)＋2a1－2＝0.
∴a1＝eq \r(3)－1(a1>0)．
當(dāng)n＝2時(shí)，由已知得a1＋a2＝eq \f(a2,2)＋eq \f(1,a2)－1，
將a1＝eq \r(3)－1代入并整理得aeq \\al(2,2)＋2eq \r(3)a2－2＝0.
∴a2＝eq \r(5)－eq \r(3)(a2>0)．同理可得a3＝eq \r(7)－eq \r(5).
猜想an＝eq \r(2n＋1)－eq \r(2n－1)(n∈N*)．
(2)證明：①由(1)知，當(dāng)n＝1,2,3時(shí)，通項(xiàng)公式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥3，k∈N*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，
即ak＝eq \r(2k＋1)－eq \r(2k－1).
由于ak＋1＝Sk＋1－Sk＝eq \f(ak＋1,2)＋eq \f(1,ak＋1)－eq \f(ak,2)－eq \f(1,ak)，
將ak＝eq \r(2k＋1)－eq \r(2k－1)代入上式，整理得
aeq \\al(2,k＋1)＋2eq \r(2k＋1)ak＋1－2＝0，
∴ak＋1＝eq \r(2k＋3)－eq \r(2k＋1)，
即n＝k＋1時(shí)通項(xiàng)公式成立．
由①②可知對(duì)所有n∈N*，an＝eq \r(2n＋1)－eq \r(2n－1)都成立．
變式練
2．解析：(1)由Sn＋an＝2n＋1，得a1＝eq \f(3,2)，a2＝eq \f(7,4)，a3＝eq \f(15,8)，推測(cè)an＝eq \f(2n＋1－1,2n)＝2－eq \f(1,2n)(n∈N*)．
(2)證明：an＝2－eq \f(1,2n)(n∈N*)，
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝2－eq \f(1,21)＝eq \f(3,2)，結(jié)論成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N*)時(shí)結(jié)論成立，即ak＝2－eq \f(1,2k)，
那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，a1＋a2＋…＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1，
∵a1＋a2＋…＋ak＝2k＋1－ak，
∴2ak＋1＝ak＋2，∴2ak＋1＝4－eq \f(1,2k)，∴ak＋1＝2－eq \f(1,2k＋1)，
∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)結(jié)論成立．
由①②知對(duì)于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立．

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