【知識重溫】
一、必記3個(gè)知識點(diǎn)
1．綜合法
一般地，利用①______________________，經(jīng)過一系列的②________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法．
用P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為：
eq \x(P?Q1)―→eq \x(Q1?Q2)―→eq \x(Q2?Q3)―→…―→eq \x(Qn?Q)
2．分析法
一般地，從要③________出發(fā)，逐步尋求使它成立的④________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止．這種證明的方法叫做分析法．
用Q表示要證明的結(jié)論，則分析法可用框圖表示為：
eq \x(Q?P1)―→eq \x(P1?P2)―→eq \x(P2?P3)―→…―→eq \x(得到一個(gè)明顯成立的條件)
3．反證法
一般地，假設(shè)⑤____________，經(jīng)過正確的推理，最后得出⑥________，因此說明⑦_(dá)_______，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法．
二、必明2個(gè)易誤點(diǎn)
1．用分析法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，要注意書寫格式的規(guī)范性，常常用“要證(欲證)……”“即要證……”“就要證……”等分析到一個(gè)明顯成立的結(jié)論P(yáng)，再說明所要證明的數(shù)學(xué)問題成立．
2．利用反證法證明數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果，其推理過程是錯(cuò)誤的．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?．
(1)分析法必須是從結(jié)論推向已知．( )
(2)分析法的推理過程要比綜合法優(yōu)越．( )
(3)綜合法的過程是演繹推理．( )
(4)反證法的證明過程既可以是合情推理也可以是演繹推理．( )
(5)反證法的實(shí)質(zhì)是否定結(jié)論導(dǎo)出矛盾．( )
二、教材改編
2．應(yīng)用反證法推出矛盾的推導(dǎo)過程中可以把下列哪些作為條件使用( )
①結(jié)論的否定；②已知條件；③公理、定理、定義等；④原結(jié)論．
A．①② B．②③ C．①②③ D．①②④
3.eq \r(6)－2eq \r(2)與eq \r(5)－eq \r(7)的大小關(guān)系是________．
三、易錯(cuò)易混
4．以下命題中正確的是( )
A．綜合法是執(zhí)果索因的逆推法
B．綜合法是由因?qū)Ч捻樛品?br>C．綜合法是因果互推的兩頭湊法
D．綜合法就是舉反例
5．用分析法證明：欲使①A>B，只需②C0，b>0，a＋b＝1，求證：eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.
悟·技法
考點(diǎn)二 分析法[自主練透型]
3．已知a≥b>0，求證：2a3－b3≥2ab2－a2b.
4．[易錯(cuò)題]已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，c.
求證：eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c).
悟·技法
1.利用分析法證明問題的思路
分析法的證明思路：先從結(jié)論入手，由此逐步推出保證此結(jié)論成立的充分條件，而當(dāng)這些判斷恰恰都是已證的命題(定義、公理、定理、法則、公式等)或要證命題的已知條件時(shí)命題得證．
2．分析法證明問題的適用范圍
當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時(shí)，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，?？紤]用分析法.
考點(diǎn)三 反證法[互動講練型]
[例] 已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求證：a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．
悟·技法
反證法證明問題的一般步驟
(1)反設(shè)：假定所要證的結(jié)論不成立，而設(shè)結(jié)論的反面(否定命題)成立．(否定結(jié)論)
(2)歸謬：將“反設(shè)”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)出矛盾——與已知條件、已知的定義、公理、定理及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾．(推導(dǎo)矛盾)
(3)立論：因?yàn)橥评碚_，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤．既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立．(命題成立)
[變式練]——(著眼于舉一反三)
若x>0，y>0，且x＋y>2，求證：eq \f(1＋y,x)與eq \f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.
第六節(jié) 直接證明與間接證明
【知識重溫】
①已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等 ②推理論證 ③證明的結(jié)論 ④充分條件 ⑤原命題不成立 ⑥矛盾 ⑦假設(shè)錯(cuò)誤
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√
2．解析：根據(jù)反證法的定義，推導(dǎo)過程中，不能把原結(jié)論作為條件使用，其他都可以．
答案：C
3．解析：假設(shè)eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)，由分析法可得，要證eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)，只需證eq \r(6)＋eq \r(7)>eq \r(5)＋2eq \r(2)，即證13＋2eq \r(42)>13＋4eq \r(10)，即eq \r(42)>2eq \r(10).因?yàn)?2>40，所以eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)成立．
答案：eq \r(6)－2eq \r(2)>eq \r(5)－eq \r(7)
4．解析：綜合法就是從已知條件(因)出發(fā)，利用已有知識進(jìn)行證明結(jié)論(果)的方法．
答案：B
5．解析：∵②?①，∴②是①的充分條件．
答案：A
6．解析：只要取一組滿足條件的整數(shù)即可．如－1，－2，－3；－3，－4，－6；－4，－7，－10等．
答案：－1，－2，－3(答案不唯一)
課堂考點(diǎn)突破
考點(diǎn)一
1．證明：由題知c＝eq \f(b2,a)，x＝eq \f(a＋b,2)，y＝eq \f(b＋c,2)，
則eq \f(a,x)＋eq \f(c,y)＝eq \f(a,\f(a＋b,2))＋eq \f(c,\f(b＋c,2))＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2c,b＋c)
＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2×\f(b2,a),b＋\f(b2,a))
＝eq \f(2a,a＋b)＋eq \f(2b,a＋b)＝2，
即eq \f(a,x)＋eq \f(c,y)＝2.
2．證明：因?yàn)閍>0，b>0，a＋b＝1，
所以1＝a＋b≥2eq \r(ab).
所以eq \r(ab)≤eq \f(1,2)，所以eq \f(1,ab)≥4.
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＋eq \f(1,ab)≥2 eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2＋4＝8.所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＋eq \f(1,ab)≥8.
考點(diǎn)二
3．證明：要證明2a3－b3≥2ab2－a2b成立，
只需證2a3－b3－2ab2＋a2b≥0，
即2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0，
即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0.
∵a≥b>0，
∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0，
從而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0成立，
∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
4．證明：要證eq \f(1,a＋b)＋eq \f(1,b＋c)＝eq \f(3,a＋b＋c)，
即證eq \f(a＋b＋c,a＋b)＋eq \f(a＋b＋c,b＋c)＝3，也就是eq \f(c,a＋b)＋eq \f(a,b＋c)＝1，
只需證c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，
需證c2＋a2＝ac＋b2，
又△ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B＝60°，
由余弦定理，得
b2＝c2＋a2－2accs 60°，
即b2＝c2＋a2－ac，故c2＋a2＝ac＋b2成立．
于是原等式成立．
考點(diǎn)三
例 證明：假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，
因?yàn)閍＋b＝c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1.
又因?yàn)?a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，
所以ac＋bd≤1.
這與已知ac＋bd>1矛盾，
所以a、b、c、d中至少有一個(gè)是負(fù)數(shù)．
變式練
證明：假設(shè)eq \f(1＋y,x)與eq \f(1＋x,y)都大于等于2，
即eq \f(1＋y,x)≥2，eq \f(1＋x,y)≥2.
因?yàn)閤>0，y>0，
所以1＋y≥2x ①，1＋x≥2y ②.
①＋②得2＋x＋y≥2x＋2y，所以x＋y≤2，這與已知條件x＋y>2矛盾，所以假設(shè)不成立，所以eq \f(1＋y,x)與eq \f(1＋x,y)中至少有一個(gè)小于2.

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