【知識重溫】
一、必記4個知識點
1．柱、錐、臺和球的側(cè)面積和體積
2.長方體的外接球
(1)球心：體對角線的交點．
(2)半徑：r＝eq \f(\r(a2＋b2＋c2),2)(a，b，c為長方體的長、寬、高)．
3．正方體的外接球、內(nèi)切球及與各條棱相切的球
(1)外接球：球心是正方體中心；半徑r＝eq \f(\r(3),2)a(a為正方體的棱長)．
(2)內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r＝eq \f(a,2)(a為正方體的棱長)．
(3)與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；半徑r＝eq \f(\r(2),2)a(a為正方體的棱長)．
4．正四面體的外接球與內(nèi)切球(正四面體可以看作是正方體的一部分)
(1)外接球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq \f(\r(6),4)a(a為正四面體的棱長)．
(2)內(nèi)切球：球心是正四面體的中心；半徑r＝eq \f(\r(6),12)a(a為正四面體的棱長)．
二、必明3個易誤點
1．求組合體的表面積時：組合體的銜接部分的面積問題易出錯．
2．由三視圖計算幾何體的表面積與體積時，由于幾何體的還原不準確及幾何體的結(jié)構(gòu)特征認識不準易導致失誤．
3．易混側(cè)面積與表面積的概念．
【小題熱身】
一、判斷正誤
1．判斷下列說法是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．
(1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.( )
(2)錐體的體積等于底面面積與高之積．( )
(3)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．( )
(4)球的體積之比等于半徑之比的平方．( )
二、教材改編
2．如圖，八面體的每一個面都是正三角形，并且4個頂點A，B，C，D在同一個平面內(nèi)．如果四邊形ABCD是邊長為30 cm的正方形，那么這個八面體的表面積為( )
A．225eq \r(3) cm2 B．1 000eq \r(3) cm2
C．1 800eq \r(3) cm2 D．900＋2 000eq \r(3) cm2
3．如圖，圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球與圓柱的體積之比為________．
三、易錯易混
4．圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為( )
A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1)
C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2)
5．《九章算術(shù)》商功章有題：一圓柱形谷倉，高1丈3尺3eq \f(1,3)寸，容納米2 000斛(1丈＝10尺，1尺＝10寸，斛為容積單位，1斛≈1.62立方尺，π≈3)，則圓柱底面圓周長約為( )
A．1丈3尺 B．5丈4尺
C．9丈2尺 D．48丈6尺

四、走進高考
6．[2020·全國卷Ⅰ]埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為( )
A.eq \f(\r(5)－1,4) B.eq \f(\r(5)－1,2) C.eq \f(\r(5)＋1,4) D.eq \f(\r(5)＋1,2)

eq \x(考點一) 空間幾何體的側(cè)面積和表面積
[自主練透型]
1．[2020·全國卷Ⅲ]如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是( )
A．6＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(2)
C．6＋2eq \r(3) D．4＋2eq \r(3)
2．某三棱柱的底面為正三角形，其三視圖如圖所示，該三棱柱的表面積為( )
A．6＋eq \r(3) B．6＋2eq \r(3)
C．12＋eq \r(3) D．12＋2eq \r(3)
3．[2021·南昌市NCS模擬考試]一個正三棱柱的正(主)視圖如圖，則該正三棱柱的側(cè)面積是( )
A．16 B．12
C．8 D．6

悟·技法
幾何體表面積的求法
(1)多面體：其表面積是各個面的面積之和．
(2)旋轉(zhuǎn)體：其表面積等于側(cè)面面積與底面面積的和．
計算旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積時，一般采用轉(zhuǎn)化的方法來進行，即將側(cè)面展開化為平面圖形來解決．
(3)簡單組合體：應搞清各構(gòu)成部分，并注意重合部分的處理．
(4)若以三視圖的形式給出，解題的關(guān)鍵是對給出的三視圖進行分析，從中發(fā)現(xiàn)幾何體中各元素間的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系，得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.
考點二 空間幾何體的體積[自主練透型]
4．[2020·浙江卷]某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則該幾何體的體積(單位：cm3)是( )
A.eq \f(7,3) B. eq \f(14,3)
C．3 D．6
5．[2020·江蘇卷]如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2 cm，高為2 cm，內(nèi)孔半徑為0.5 cm，則此六角螺帽毛坯的體積是________ cm3.
6．[2021·惠州市高三調(diào)研考試試題]某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖均是由三角形與半圓構(gòu)成的，俯視圖由圓與內(nèi)接三角形構(gòu)成，則該幾何體的體積為( )
A.eq \f(\r(2)π,3)＋eq \f(1,6) B.eq \f(\r(2)π,6)＋eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2)π,6)＋eq \f(1,6) D.eq \f(\r(2)π,3)＋eq \f(1,2)

悟·技法
空間幾何體體積的求法
(1)求簡單幾何體的體積．若所給的幾何體為柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式求解．
(2)求組合體的體積．若所給定的幾何體是組合體，不能直接利用公式求解，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補形法等進行求解．
(3)求以三視圖為背景的幾何體的體積．應先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖，然后根據(jù)條件求解.
考點三 空間幾何體的外接球與內(nèi)切球
[互動講練型]
[例] (1)[2020·全國卷Ⅰ]已知A，B，C為球O的球面上的三個點，⊙O1為△ABC的外接圓．若⊙O1的面積為4π，AB＝BC＝AC＝OO1，則球O的表面積為( )
A．64π B．48π
C．36π D．32π
(2)[2020·全國卷Ⅲ]已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．
悟·技法
空間幾何體與球接、切問題的求解方法
(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截圖，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解．
(2)若球面上四點P，A，B，C構(gòu)成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
[變式練]——(著眼于舉一反三)
1．[2021·深圳市普通高中高三年級統(tǒng)一考試]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某四面體的三視圖，則該四面體的外接球的表面積為( )

A.eq \f(32\r(3)π,3) B．32π
C．36π D．48π
2．[2021·唐山市高三年級摸底考試]在三棱錐P－ABC中，∠BAC＝∠PBA＝∠PCA＝90°，PB＝PC＝eq \r(2)，點P到底面ABC的距離為1，則三棱錐P－ABC的外接球的表面積為( )
A．3π B.eq \f(\r(3)π,2)
C．4π D.eq \f(3π,4)



第二節(jié) 空間幾何體的表面積和體積
【知識重溫】
①2πrh ②Sh ③πr2h ④πrl ⑤eq \f(1,3)Sh ⑥eq \f(1,3)πr2h ⑦π(r1＋r2)l ⑧Ch ⑨Sh ⑩eq \f(1,2)Ch′ ?eq \f(1,3)Sh ?eq \f(1,2)(C＋C′)h′ ?4πR2 ?eq \x(\f(4,3)πR3)
【小題熱身】
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：每個三角形面積為S＝eq \f(1,2)×30×15eq \r(3)＝225eq \r(3)，則表面積為S＝8×225eq \r(3)＝1 800eq \r(3)(cm2)，故選C.
答案：C
3．解析：設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面半徑為R，高為2R，
∵V球＝eq \f(4,3)πR3，V圓柱＝πR2·2R＝2πR3，
∴V球V圓柱＝eq \f(4πR3,3)2πR3＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
4．解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，
分兩種情況．①若6π＝2πr，r＝3，
∴圓柱的表面積為：4π×6π＋2πr2＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)．
②若4π＝2πr，r＝2，∴圓柱的表面積為：4π×6π＋2×πr2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)，故選C.
答案：C
5．解析：設(shè)圓柱底面半徑為r尺，高為h尺，依題意，圓柱體積為V＝πr2h＝2 000×1.62≈3×r2×13.33，所以r2≈81，即r≈9，所以圓柱底面圓周長為2πr≈54,54尺＝5丈4尺，即圓柱底面圓周長約為5丈4尺，故選B.
答案：B
6．解析：如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長BC＝a，側(cè)面等腰三角形底邊上的高PM＝h，則正四棱錐的高PO＝eq \r(h2－\f(a2,4))，
∴以|PO|為邊長的正方形面積為h2－eq \f(a2,4)，
一個側(cè)面三角形面積為eq \f(1,2)ah，
∴h2－eq \f(a2,4)＝eq \f(1,2)ah，
∴4h2－2ah－a2＝0，
兩邊同除以a2可得4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,a)))2－2·eq \f(h,a)－1＝0，
解得eq \f(h,a)＝eq \f(1±\r(5),4)，
又∵eq \f(h,a)>0，∴eq \f(h,a)＝eq \f(\r(5)＋1,4).故選C.
答案：C
課堂考點突破
考點一
1．解析：在正方體中還原幾何體如圖．
幾何體為正方體的一部分：三棱錐P－ABC，
S表面積＝S△PAC＋S△PAB＋S△PBC＋S△BAC
＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(2)×eq \f(\r(3),2)＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×2＋eq \f(1,2)×2×2＝2eq \r(3)＋6.故選C.
答案：C
2．解析：由題圖知，該三棱柱為正三棱柱，且底面是邊長為2的正三角形，高為2，其表面積為2×eq \f(\r(3),4)×22＋3×2×2＝12＋2eq \r(3).故選D.
答案：D
3．解析：由正(主)視圖可知，該正三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，且該正三棱柱的高為2，所以該正三棱柱的側(cè)面積為3×2×2＝12.故選B.
答案：B
考點二
4．解析：由三視圖可知，該幾何體是三棱柱和三棱錐的組合體，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可得該幾何體的體積V＝eq \f(1,2)×2×1×2＋eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×1×1＝eq \f(7,3)(cm3)，故選A.
答案：A
5．解析：正六棱柱的體積為6×eq \f(\r(3),4)×22×2＝12eq \r(3)(cm3)，圓柱的體積為π×0.52×2＝eq \f(π,2)(cm3)，則該六角螺帽毛坯的體積為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2))) cm3.
答案：12eq \r(3)－eq \f(π,2)
6．解析：由三視圖可知該幾何體是一個半球上面有一個三棱錐，其體積V＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＋eq \f(1,2)×eq \f(4π,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2)π,6)＋eq \f(1,6)，故選C.
答案：C
考點三
例 解析：(1)如圖，由題意知△ABC為等邊三角形，圓O1的半徑r＝2，即O1B＝2，∴BC＝2eq \r(3)＝OO1，
在Rt△OO1B中，OB2＝OOeq \\al(2,1)＋O1B2＝16，∴球O的半徑R＝OB＝4，則S球O＝4πR2＝64π.故選A.
(2)如圖為圓錐內(nèi)球半徑最大時的軸截面圖．
其中球心為O，設(shè)其半徑為r，AC＝3，O1C＝1，
∴AO1＝eq \r(AC2－O1C2)＝2eq \r(2).
∵OO1＝OM＝r，∴AO＝AO1－OO1＝2eq \r(2)－r，
又∵△AMO∽△AO1C，∴eq \f(OM,O1C)＝eq \f(AO,AC)，即eq \f(r,1)＝eq \f(2\r(2)－r,3)，故3r＝2eq \r(2)－r，∴r＝eq \f(\r(2),2).∴該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積V＝eq \f(4,3)π·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)))3＝eq \f(\r(2)π,3).
答案：(1)A (2)eq \f(\r(2),3)π
變式練
1．解析：由三視圖可知該四面體為PBCD，如圖，將它補形成棱長為4的正方體，則正方體的體對角線PC就是該四面體的外接球的直徑，所以外接球的直徑2R＝eq \r(3×42)，所以R＝2eq \r(3)，則該四面體的外接球的表面積為4πR2＝4×π×(2eq \r(3))2＝48π，故選D.
答案：D
2．解析：通解 如圖，令O為PA的中點，連接OB，OC，因為∠PBA＝∠PCA＝90°，所以O(shè)A＝OB＝OP＝OC，即O為三棱錐P－ABC的外接球的球心，又∠BAC＝90°，所以點O在底面ABC上的射影為BC的中點D，連接AD，OD，因為點P到平面ABC的距離為1，所以O(shè)D＝eq \f(1,2).因為PB＝PC＝eq \r(2)，∠PBA＝∠PCA＝90°，PA＝PA，所以△PAB≌△PAC，所以AB＝AC.令AB＝AC＝a，則PA＝eq \r(2＋a2)，BC＝eq \r(2)a，所以O(shè)A＝eq \f(\r(2＋a2),2)，AD＝eq \f(\r(2),2)a，又OD2＋AD2＝OA2，所以eq \f(1,4)＋eq \f(1,2)a2＝eq \f(2＋a2,4)，所以a＝1，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝OA＝eq \f(\r(3),2)，所以三棱錐P－ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝3π.故選A.
優(yōu)解 把三棱錐P－ABC放在正方體中，如圖所示，因為點P到平面ABC的距離為1，所以正方體的棱長為1.三棱錐P－ABC的外接球即此正方體的外接球，所以三棱錐P－ABC的外接球的半徑R＝eq \f(1,2)AP＝eq \f(\r(3),2)，所以三棱錐P－ABC的外接球的表面積S＝4πR2＝3π.故選A.
答案：A
面積
體積
圓柱
S側(cè)＝①________
V＝②________＝③________
圓錐
S側(cè)＝④________
V＝⑤________＝⑥________
＝eq \f(1,3)πr2eq \r(l2－r2)
圓臺
S側(cè)＝⑦________
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
＝eq \f(1,3)π(req \\al(2,1)＋req \\al(2,2)＋r1r2)h
直棱柱
S側(cè)＝⑧________
V＝⑨________
正棱錐
S側(cè)＝⑩________
V＝?________
正棱臺
S側(cè)＝?________
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S球面＝?________
V＝?________

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