類(lèi)型三 其他規(guī)律觀察、歸納猜想型問(wèn)題對(duì)考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時(shí)要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律.其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類(lèi)認(rèn)識(shí)新生事物的一般過(guò)程.相對(duì)而言，猜想結(jié)論型問(wèn)題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計(jì)算、驗(yàn)證、類(lèi)比、比較、測(cè)量、繪圖、移動(dòng)等等，都能用到.    考查知識(shí)分為兩類(lèi)：①是數(shù)字或字母規(guī)律探索型問(wèn)題；②是幾何圖形中規(guī)律探索型問(wèn)題．1．?dāng)?shù)式歸納題型特點(diǎn)：通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后觀察猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，歸納出用某一字母表示的能揭示其規(guī)律的代數(shù)式或按某些規(guī)律寫(xiě)出后面某一項(xiàng)的數(shù)或式子．解題策略：一般是先寫(xiě)出數(shù)或式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過(guò)橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征，改寫(xiě)成要求的格式．2．圖形變化歸納題型特點(diǎn)：觀察給定圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，歸納出下一個(gè)圖形的擺放特點(diǎn)或變化規(guī)律，或者能用某一字母的代數(shù)式揭示出圖形變化的個(gè)數(shù)、面積、周長(zhǎng)等規(guī)律特點(diǎn)．解題策略：多方面、多角度進(jìn)行觀察比較得出圖形個(gè)數(shù)、面積、周長(zhǎng)等的通項(xiàng)，再分別取n＝1，2，3…代入驗(yàn)證，都符合時(shí)即為正確結(jié)論．由于猜想歸納本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專(zhuān)家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點(diǎn).1．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn)．已知點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B是x軸正半軸上的整點(diǎn)，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)為m．當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是　    　；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m=　         　（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】3或4，6n-3【點(diǎn)撥】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系即可求出答案．【解析】解：如圖：當(dāng)點(diǎn)B在（3，0）點(diǎn)或（4，0）點(diǎn)時(shí)，△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)為（1，1）（1，2）（2，1），共三個(gè)點(diǎn)，所以當(dāng)m=3時(shí)，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的所有可能值是3或4；因?yàn)?/span>△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個(gè)數(shù)=[（點(diǎn)B的橫坐標(biāo)-1）×（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)-1）-3]÷2，所以當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時(shí)，m=[（4n-1）×（4-1）-3]÷2=6n-3；故答案為：3或4，6n-3．【總結(jié)】此題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫(huà)出圖形，找出點(diǎn)B的橫坐標(biāo)與△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)m之間的關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．2我們常常用火柴棒搭幾何圖形探究其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，如圖是用火柴棒搭幾何圖形的學(xué)習(xí)實(shí)踐活動(dòng)，請(qǐng)根據(jù)幾何圖形思考并完成下列問(wèn)題：（1）填表：圖形編號(hào)123…火柴棒根數(shù)   …（2）搭第n個(gè)這樣的圖形需要　      　根火柴棒；（3）如果小紅現(xiàn)有123根火柴棒，用它可搭出　    　個(gè)圖1大小的梯形．【答案】（1）圖1有5根火柴棒，圖2有9根火柴棒，圖3有13根火柴棒；（2）搭第n個(gè)這樣的圖形需要5n﹣（n﹣1）=1+4n根火柴棒，故答案為：1+4n；（3）設(shè)小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出n個(gè)圖1大小的梯形，則1+4n=123，解得：n=30，即小紅現(xiàn)有123根火柴棒可搭出30個(gè)圖1大小的梯形，故答案為：30．3．在一平直河岸同側(cè)有A，B兩個(gè)村莊，A，B到的距離分別是3 km和2 km，AB＝a km(a＞1)．現(xiàn)計(jì)劃在河岸上建一抽水站P，用輸水管向兩個(gè)村莊供水．    方案設(shè)計(jì)某班數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了兩種鋪設(shè)管道方案：如圖①所示是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d1 (km)，且(km)(其中BP⊥l于點(diǎn)P)；如圖②所示是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長(zhǎng)度為d2，且(km)(其中點(diǎn)A′與點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)，A′B與交于點(diǎn)P)．    觀察計(jì)算    (1)在方案一中，d1＝________km(用含a的式子表示)；    (2)在方案二中，組長(zhǎng)小宇為了計(jì)算d2的長(zhǎng)，作了如圖③所示的輔助線，請(qǐng)你按小宇同學(xué)的思路計(jì)算，d2＝________km(用含a的式子表示)．    探索歸納(1)①當(dāng)a＝4時(shí)，比較大?。篸1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；②當(dāng)a＝6時(shí)，比較大?。篸1________d2(填“＞”、“＝”或“＜”)；(2)請(qǐng)你參考方框中的方法指導(dǎo)，就a(當(dāng)a＞1時(shí))的所有取值情況進(jìn)行分析，要使鋪設(shè)的管道長(zhǎng)度較短，應(yīng)選擇方案一還是方案二?  【點(diǎn)撥】觀察計(jì)算：（1）由題意可以得知管道長(zhǎng)度為d1=PB+BA（km），根據(jù)BP⊥于點(diǎn)P得出PB=2，故可以得出d1的值為a+2．
（2）由條件根據(jù)勾股定理可以求出KB的值，由軸對(duì)稱(chēng)可以求出′K的值，在Rt△KBA′由勾股定理可以求出A′B的值就是管道長(zhǎng)度．
探索歸納：（1）①把a(bǔ)=4代入d1=a+2和d2=就可以比較其大??；
②把a(bǔ)=6代入d1=a+2和d2=就可以比較其大小；（2）分類(lèi)進(jìn)行討論當(dāng)d1＞d2，d1=d2，d1＜d2時(shí)就可以分別求出a的范圍，從而確定選擇方案．【解析】解：觀察計(jì)算    (1)a+2；(2)．探索歸納(1)①＜；②＞．(2)．①當(dāng)4a-20＞0，即a＞5時(shí)，，∴．∴；②當(dāng)4a-20＝0，即a＝5時(shí)，，∴．∴d1＝d2；③當(dāng)，即a＜5時(shí)，，∴．∴．綜上可知：當(dāng)a＞5時(shí)，選方案二；當(dāng)a＝5時(shí)，選方案一或方案二；當(dāng)l＜a＜5時(shí)，選方案一．【總結(jié)】本題根據(jù)課本中所熟知的背景，打破原有的條條框框，開(kāi)展探究性學(xué)習(xí)，最后通過(guò)科學(xué)的計(jì)算，推導(dǎo)出新的結(jié)論，即當(dāng)1＜a＜5時(shí)選方案一，體現(xiàn)了平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生開(kāi)展課題學(xué)習(xí)，培養(yǎng)質(zhì)疑精神的可貴．4．已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)B1在y軸上且坐標(biāo)是（0，2），點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，C1的坐標(biāo)是（1，0），B1C1∥B2C2∥B3C3，以此繼續(xù)下去，則點(diǎn)A2015到x軸的距離是　      　．【點(diǎn)撥】根據(jù)勾股定理可得正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得后面正方形的邊長(zhǎng)依次是前面正方形邊長(zhǎng)的，依次得到第2015個(gè)正方形和第2015個(gè)正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)一步得到點(diǎn)A2015到x軸的距離．【解析】如圖，∵點(diǎn)C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上，B1C1∥B2C2∥B3C3，∴△B1OC1∽△B2E2C2∽B3E4C3…，△B1OC1≌△C1E1D1，…，∴B2E2=1，B3E4=，B4E6=，B5E8=…，∴B2015E4017=，作A1E⊥x軸，延長(zhǎng)A1D1交x軸于F，則△C1D1F∽△C1D1E1，∴，在Rt△OB1C1中，OB1=2，OC1=1，正方形A1B1C1D1的邊長(zhǎng)為，∴D1F=，∴A1F=，∵A1E∥D1E1，∴，∴A1E=3，∴，∴點(diǎn)A2015到x軸的距離是，故答案為【總結(jié)】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及解直角三角形的知識(shí)，得出正方形各邊長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．如圖，從原點(diǎn)A開(kāi)始，以AB=1為直徑畫(huà)半圓，記為第1個(gè)半圓；以BC=2為直徑畫(huà)半圓，記為第2個(gè)半圓；以CD=4為直徑畫(huà)半圓，記為第3個(gè)半圓；以DE=8為直徑畫(huà)半圓，記為第4個(gè)半圓；…，按此規(guī)律，繼續(xù)畫(huà)半圓，則第6個(gè)半圓的面積為　   　（結(jié)果保留π）．【點(diǎn)撥】根據(jù)已知圖形得出第5個(gè)半圓的半徑，進(jìn)而得出第5個(gè)半圓的面積，得出第n個(gè)半圓的半徑，進(jìn)而得出答案．【解析】∵以AB=1為直徑畫(huà)半圓，記為第1個(gè)半圓；以BC=2為直徑畫(huà)半圓，記為第2個(gè)半圓；以CD=4為直徑畫(huà)半圓，記為第3個(gè)半圓；以DE=8為直徑畫(huà)半圓，記為第4個(gè)半圓，∴第5個(gè)半圓的直徑為16，根據(jù)已知可得出第n個(gè)半圓的直徑為：2n﹣1，則第n個(gè)半圓的半徑為：=2n﹣2，第n個(gè)半圓的面積為：=22n﹣5π．所以第6個(gè)半圓的面積為：128π．故答案為：128π．【總結(jié)升華】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，注意數(shù)字之間變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個(gè)半圓的直徑為：2n﹣1是解題關(guān)鍵．   

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