類型八 其他探究題【典例1】小明將兩個(gè)直角三角形紙片如圖（1）那樣拼放在同一平面上，抽象出如圖（2）的平面圖形，與恰好為對(duì)頂角，，連接，，點(diǎn)F是線段上一點(diǎn)．探究發(fā)現(xiàn)：（1）當(dāng)點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)時(shí)，連接（如圖（2），小明經(jīng)過探究，得到結(jié)論：．你認(rèn)為此結(jié)論是否成立？_________．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）將（1）中的條件與結(jié)論互換，即：若，則點(diǎn)F為線段的中點(diǎn)．請(qǐng)判斷此結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)寫出證明過程；若不成立，請(qǐng)說明理由．問題解決：（3）若，求的長．          【典例2】如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC，點(diǎn)E，F，G分別在邊BC，CD上，BE＝CG，AF平分∠EAG，點(diǎn)H是線段AF上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合）．（1）求證：△AEH≌△AGH；（2）當(dāng)AB＝12，BE＝4時(shí)．①求△DGH周長的最小值；②若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1：3．若存在，請(qǐng)求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．               【典例3】綜合與探究在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣4，0），點(diǎn)M為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸上，且OA＝OB，直線AB與拋物線在第一象限交于點(diǎn)C（2，6），如圖①．（1）求拋物線的解析式；（2）直線AB的函數(shù)解析式為　　，點(diǎn)M的坐標(biāo)為　　，cos∠ABO＝　　；連接OC，若過點(diǎn)O的直線交線段AC于點(diǎn)P，將△AOC的面積分成1：2的兩部分，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　；（3）在y軸上找一點(diǎn)Q，使得△AMQ的周長最?。唧w作法如圖②，作點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接MA'交y軸于點(diǎn)Q，連接AM、AQ，此時(shí)△AMQ的周長最?。?qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；（4）在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使以點(diǎn)A、O、C、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．         【典例4】已知正方形ABCD，點(diǎn)E在直線AD上(不與點(diǎn)A、D重合)，連接BE，作EF⊥BE，且EF＝BE，過點(diǎn)F作FG⊥BC，交直線BC于點(diǎn)G.(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)G在邊BC的延長線上時(shí)，求證：AB＋AE＝BG；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在邊DA的延長線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，FG交AD于點(diǎn)H，試猜想AB、AE與BG的關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在邊AD的延長線上，點(diǎn)G在邊BC上時(shí)，FG交AD于點(diǎn)N，請(qǐng)直接寫出線段AB、AE、BG之間的數(shù)量關(guān)系，不需要證明．　　　　圖①          圖②        圖③第4題圖               【典例5】如圖①，在等腰Rt△ABC和等腰Rt△EDB中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P為AE的中點(diǎn)．(1)觀察猜想連接PC、PD，則線段PC與PD的位置關(guān)系是________，數(shù)量關(guān)系是________；(2)探究證明如圖②，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，其他條件不變，作EF⊥BC于F，連接PF，試判斷△PCF的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)△PCF是等邊三角形時(shí)，直接寫出△ACB與△EDB的兩直角邊之比．              【典例6】問題背景：如圖（1），已知，求證：；嘗試應(yīng)用：如圖（2），在和中，，，與相交于點(diǎn)．點(diǎn)在邊上，，求的值；拓展創(chuàng)新：如圖（3），是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，直接寫出的長．                        【典例7】以下虛線框中為一個(gè)合作學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中的過程記錄，請(qǐng)閱讀后完成虛線框下方的問題．（1）在中，，在探究三邊關(guān)系時(shí)，通過畫圖，度量和計(jì)算，收集到，組數(shù)據(jù)如下表：（單位：厘米）（2）根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，選取上表中和的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；設(shè)，以為坐標(biāo)，在圖所示的坐標(biāo)系中描出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)；連線；觀察思考（3）結(jié)合表中的數(shù)據(jù)以及所面的圖像，猜想．當(dāng)            時(shí)，最大；（4）進(jìn)一步C猜想：若中，，斜邊為常數(shù)，），則            時(shí)，最大．推理證明（5）對(duì)（4）中的猜想進(jìn)行證明．問題1．在圖中完善的描點(diǎn)過程，并依次連線；問題2．補(bǔ)全觀察思考中的兩個(gè)猜想： _______ _______問題3．證明上述中的猜想：問題4．圖中折線是一個(gè)感光元件的截面設(shè)計(jì)草圖，其中點(diǎn)間的距離是厘米，厘米，平行光線從區(qū)域射入，線段為感光區(qū)城，當(dāng)的長度為多少時(shí)，感光區(qū)域長度之和最大，并求出最大值．               【典例8】如圖①，直線l經(jīng)過點(diǎn)（4，0）且平行于y軸，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常數(shù)，a＜0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)M(﹣1，1)，交直線l于點(diǎn)N，圖象的頂點(diǎn)為D，它的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C，直線DM、DN分別與x軸相交于A、B兩點(diǎn)．（1）當(dāng)a＝﹣1時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)及的值；（2）隨著a的變化，的值是否發(fā)生變化？請(qǐng)說明理由；（3）如圖②，E是x軸上位于點(diǎn)B右側(cè)的點(diǎn)，BC＝2BE，DE交拋物線于點(diǎn)F．若FB＝FE，求此時(shí)的二次函數(shù)表達(dá)式． 

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