2022年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)類型一圓的基本性質(zhì)證明與計(jì)算（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．45°B．60°C．75°D．90°
【答案】D
【解析】
【分析】
首先連接BE,由圓周角定理即可得∠BEC的度數(shù)，繼而求得∠BED的度數(shù),然后由圓周角定理,求得∠BOD的度數(shù).
【詳解】
解：連接BE,
∵∠BEC＝∠BAC＝15°,∠CED＝30°,
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°,
∴∠BOD＝2∠BED＝90°.
故選:D.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓周角定理的應(yīng)用,做題的時(shí)候分清楚每一個(gè)角是解此類題的關(guān)鍵.
【典例2】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，則∠ADC的度數(shù)是（）
A．70°B．110°C．130°D．140°
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)計(jì)算即可．
【詳解】
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故選：B．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．
【典例3】如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）
A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°
【答案】D
【解析】
【分析】
根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用α表示∠COD，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．
【詳解】
解：∵OA⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠DBC＝90°﹣∠BEO
＝90°﹣∠AED
＝90°﹣α，
∴∠COD＝2∠DBC
＝180°﹣2α，
∵∠AOD+∠COD＝90°，
∴β+180°﹣2α＝90°，
∴2α﹣β＝90°，
故選：D．
【點(diǎn)睛】
本題考查了圓周角定理以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決本題的關(guān)鍵．
【典例4】如圖，在中，，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓與交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是邊上的動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)最小時(shí)，的長(zhǎng)為（）
A．B．C．1D．
【答案】B
【解析】
【分析】
延長(zhǎng)CO交于點(diǎn)E，連接EP，交AO于點(diǎn)P，則PC+PD的值最小，利用平行線份線段成比例分別求出CD，PO的長(zhǎng)即可．
【詳解】
延長(zhǎng)CO交于點(diǎn)E，連接ED，交AO于點(diǎn)P，如圖，
∵CD⊥OB，
∴∠DCB=90°,
又，
∴∠DCB=∠AOB，
∴CD//AO
∴
∵OC=2，OB=4，
∴BC=2,
∴，解得，CD=；
∵CD//AO，
∴，即，解得，PO=
故選：B．
【點(diǎn)睛】
此題主要考查了軸對(duì)稱---最短距離問(wèn)題，同時(shí)考查了平行線分線段成比例，掌握軸對(duì)稱性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．
【典例5】如圖，是的內(nèi)接三角形，，是直徑，，則的長(zhǎng)為（）
A．4B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
連接BO，根據(jù)圓周角定理可得，再由圓內(nèi)接三角形的性質(zhì)可得OB垂直平分AC，再根據(jù)正弦的定義求解即可．
【詳解】
如圖，連接OB，
∵是的內(nèi)接三角形，
∴OB垂直平分AC，
∴，，
又∵，
∴，
∴,
又∵AD=8，
∴AO=4，
∴，
解得：，
∴．
故答案選B．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了圓的垂徑定理的應(yīng)用，根據(jù)圓周角定理求角度是解題的關(guān)鍵．
【典例6】如圖，是的直徑，弦，垂足為點(diǎn)．連接，．如果，，那么圖中陰影部分的面積是（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)是的直徑，弦，由垂徑定理得，再根據(jù)證得，即可證明，即可得出．
【詳解】
解：是的直徑，弦，
，．
又
在和中，
，
故選：B
【點(diǎn)睛】
本題考查了垂徑定理，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定，扇形的面積，等積變換，解此題的關(guān)鍵是證出，從而將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形OBC的面積，題目比較典型，難度適中．
【典例7】如圖,在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,D．AC與BD相交于點(diǎn)E，CD2=CE·CA,分別延長(zhǎng)AB,DC相交于點(diǎn)P，PB=BO，CD=2．則BO的長(zhǎng)是_________．
【答案】4
【解析】
【分析】
連結(jié)OC，設(shè)⊙O的半徑為r，由DC2=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判斷△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根據(jù)圓周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，證明OC∥AD，利用平行線分線段成比例定理得到，則，然后證明，利用相似比得到，再利用比例的性質(zhì)可計(jì)算出r的值即可．
【詳解】
解：連結(jié)，如圖，設(shè)的半徑為，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，即，
，
即OB=4.
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】
本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有時(shí)可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．也考查了圓周角定理．
【典例8】如圖，⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為E、F、G、H，ED與⊙O相交于點(diǎn)M，則sin∠MFG的值為．
【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角相等，可以把求三角函數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為直角三角形的邊的比的問(wèn)題．
【解答】解：∵⊙O是正方形ABCD的內(nèi)切圓，
∴AE＝AB，EG＝BC；
根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得：∠MFG＝∠MEG．
∵sin∠MFG＝sin∠MEG＝＝，
∴sin∠MFG＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓周角的性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的概念：在直角三角形中，正弦等于對(duì)邊比斜邊；余弦等于鄰邊比斜邊；正切等于對(duì)邊比鄰邊．
【典例9】如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根據(jù)圓周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出∠ABC的正弦值．
【詳解】
∵和∠ABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是，
∴根據(jù)圓周角定理知，∠ABC＝，
∴在Rt△ACB中，AB=
根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin∠ABC＝，
∴=，
故選A．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求的正弦值轉(zhuǎn)化成求∠ABC的正弦值，本題是一道比較不錯(cuò)的習(xí)題．
【典例10】如圖，CD是⊙O的直徑，AB是弦(不是直徑)，AB⊥CD于點(diǎn)E，則下列結(jié)論正確的是( )
A．AE>BE
B.eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))
C．∠D＝eq \f(1,2)∠AEC
D．△ADE∽△CBE
【答案】：D
命題點(diǎn)2 圓周角定理
【典例11】如圖，點(diǎn)O為優(yōu)弧eq \(AB,\s\up8(︵))所在圓的圓心，∠AOC＝108°，點(diǎn)D在AB的延長(zhǎng)線上，BD＝BC，則∠D______．
【答案】：27°
重難點(diǎn)1 垂徑定理及其應(yīng)用
【典例12】已知AB是半徑為5的⊙O的直徑，E是AB上一點(diǎn)，且BE＝2.
(1)如圖1，過(guò)點(diǎn)E作直線CD⊥AB，交⊙O于C，D兩點(diǎn)，則CD＝_______；

圖1 圖2 圖3 圖4
探究：如圖2，連接AD，過(guò)點(diǎn)O作OF⊥AD于點(diǎn)F，則OF＝_____；
(2)過(guò)點(diǎn)E作直線CD交⊙O于C，D兩點(diǎn)．
①若∠AED＝30°，如圖3，則CD＝__________；
②若∠AED＝45°，如圖4，則CD＝___________．
【答案】：（1）8 , （2）
【思路點(diǎn)撥】由于CD是⊙O的弦，因此利用圓心到弦的距離(有時(shí)需先作弦心距)，再利用垂徑定理，結(jié)合勾股定理，求出弦的一半，再求弦．
【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)A，B，C，D都在半徑為2的⊙O上．若OA⊥BC，∠CDA＝30°，則弦BC的長(zhǎng)為( )
A．4 B．2eq \r(2) C.eq \r(3) D．2eq \r(3)
【答案】：D
【變式訓(xùn)練2】【分類討論思想】已知⊙O的半徑為10 cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，則弦AB和CD之間的距離是__________________
【答案】：2cm或14cm
eq \x(方法指導(dǎo))
1．垂徑定理兩個(gè)條件是過(guò)圓心、垂直于弦的直線，三個(gè)結(jié)論是平分弦，平分弦所對(duì)的優(yōu)弧與劣?。?br>2．圓中有關(guān)弦的證明與計(jì)算，通過(guò)作弦心距，利用垂徑定理，可把與圓相關(guān)的三個(gè)量，即圓的半徑，圓中一條弦的一半，弦心距構(gòu)成一個(gè)直角三角形，從而利用勾股定理，實(shí)現(xiàn)求解．
3．事實(shí)上，過(guò)點(diǎn)E任作一條弦，只要確定弦與AB的交角，就可以利用垂徑定理和解直角三角形求得這條弦長(zhǎng)．
重難點(diǎn)2 圓周角定理及其推論
【典例14】已知⊙O是△ABC的外接圓，且半徑為4.
(1)如圖1，若∠A＝30°，求BC的長(zhǎng)；
(2)如圖2，若∠A＝45°：
①求BC的長(zhǎng)；
②若點(diǎn)C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)；
(3)如圖3，若∠A＝135°，求BC的長(zhǎng)．

圖1 圖2 圖3
【答案】（1）4（2）4eq \r(2).,8（3）4eq \r(2).
【點(diǎn)撥】連接OB，OC，利用同弧所對(duì)的圓心角等于圓周角的2倍，構(gòu)建可解的等腰三角形求解．
【解析】解：(1)連接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形．
∴BC＝OB＝4.
(2)①連接OB，OC.
∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC是等腰直角三角形．
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq \r(2).
②∵點(diǎn)C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠ABC＝∠A＝45°.
∴∠ACB＝90°.∴AB是⊙O的直徑．∴AB＝8.
(3)在優(yōu)弧eq \(BC,\s\up8(︵))上任取一點(diǎn)D，連接BD，CD，連接BO，CO.
∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°.
∵OB＝OC＝4，∴BC＝4eq \r(2).
【變式訓(xùn)練3】如圖，BC是⊙O的直徑，A是⊙O上的一點(diǎn)，∠OAC＝32°，則∠B的度數(shù)是( )
A．58° B．60° C．64° D．68°
【答案】：A
【變式訓(xùn)練4】將量角器按如圖所示的方式放置在三角形紙板上，使點(diǎn)C在半圓上．點(diǎn)A，B的讀數(shù)分別為88°，30°，則∠ACB的大小為( )
A．15° B．28° C．29° D．34°

【答案】C
eq \x(方法指導(dǎo))
1．在圓中由已知角求未知角，同(等)弧所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系是一個(gè)重要途徑，其關(guān)鍵是找到同一條?。?br>2．弦的求解可以通過(guò)連接圓心與弦的兩個(gè)端點(diǎn)，構(gòu)建等腰三角形來(lái)解決．
3．一條弦所對(duì)的兩種圓周角互補(bǔ)，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．
eq \x(模型建立)在半徑已知的圓內(nèi)接三角形中，若已知三角形一內(nèi)角，可以求得此角所對(duì)的邊．
eq \x(易錯(cuò)提示)注意同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍，避免把數(shù)量關(guān)系弄顛倒．
重難點(diǎn)3 圓內(nèi)接四邊形
【典例14】如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形．延長(zhǎng)AB與DC相交于點(diǎn)G，AO⊥CD，垂足為E，連接BD，∠GBC＝50°，則∠DBC的度數(shù)為( )
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【思路點(diǎn)撥】延長(zhǎng)AE交⊙O于點(diǎn)M，由垂徑定理可得eq \(CD,\s\up8(︵))＝2eq \(DM,\s\up8(︵))，所以∠CBD＝2∠EAD.由圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE與∠EAD互余，由此得解．
【變式訓(xùn)練5】如圖所示，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∠BCD＝120°，則∠BOD的大小是( )
A．80° B．120° C．100° D．90°
【答案】B
【變式訓(xùn)練6】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)．若∠A＝n°，則∠DCE＝____________
【答案】n°
eq \x(方法指導(dǎo))
1．找圓內(nèi)角(圓周角，圓心角)和圓外角(頂角在圓外，兩邊也在圓外或頂點(diǎn)在圓上，一邊在圓內(nèi)，另一邊在圓外)的數(shù)量關(guān)系時(shí)，常常會(huì)用到圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)和三角形外角的性質(zhì)．
2．在同圓或等圓中，如果一條弧等于另一條弧的兩倍，則較大弧所對(duì)的圓周角是較小弧所對(duì)圓周角的兩倍．Ｋ
能力提升
1．如圖，在⊙O中，如果eq \(AB,\s\up8(︵))＝2eq \(AC,\s\up8(︵))，那么( )
A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC
【答案】C
2．如圖，在半徑為4的⊙O中，弦AB∥OC，∠BOC＝30°，則AB的長(zhǎng)為( )
A．2 B．2eq \r(3) C．4 D．4eq \r(3)
【答案】D

3．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O′經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且分別與x軸、y軸交于點(diǎn)B，C，分別作O′E⊥OC于點(diǎn)E，O′D⊥OB于點(diǎn)D.若OB＝8，OC＝6，則⊙O′的半徑為( )
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】C
4．如圖，在⊙O中，弦BC與半徑OA相交于點(diǎn)D，連接AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，則∠C的度數(shù)是( )
A．25° B．27.5° C．30° D．35°
【答案】D
5．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并與⊙O相交于點(diǎn)D，連接BD，則∠DBC的大小為( )
A．15° B．35° C．25° D．45°
【答案】A
6．如圖，分別延長(zhǎng)圓內(nèi)接四邊形ABDE的兩組對(duì)邊，延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，則∠C的度數(shù)為( )
A．30° B．43° C．47° D．53°
【答案】C
如圖，小華為了求出一個(gè)圓盤的半徑，他用所學(xué)的知識(shí)，將一寬度為2 cm的刻度尺的一邊與圓盤相切，另一邊與圓盤邊緣兩個(gè)交點(diǎn)處的讀數(shù)分別是“4”和“16”(單位：cm)，請(qǐng)你幫小華算出圓盤的半徑是________cm.
【答案】10cm
8．如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E.
(1)求證：DE＝DB；
(2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC外接圓的半徑．
【答案】：(1)證明：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE.
∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵)).
∴∠DBC＝∠BAE.
∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE,
∴∠DBE＝∠DEB.
∴DE＝DB.
(2)連接CD.
∵eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，∴CD＝BD＝4.
∵∠BAC＝90°，∴BC是直徑．
∴∠BDC＝90°.
∴BC＝eq \r(BD2＋CD2)＝4eq \r(2).
∴△ABC外接圓的半徑為2eq \r(2).
9．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，連接AC，BD，以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE＝3，則AD的長(zhǎng)為( )
A．5 B．4 C．3eq \r(5) D．2eq \r(5)
提示：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA可求解．
【答案】D
10．如圖，AB是半圓的直徑，AC是一條弦，D是eq \(AC,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E，且DE交AC于點(diǎn)F，DB交AC于點(diǎn)G.若eq \f(EF,AE)＝eq \f(3,4)，則eq \f(CG,GB)＝_____________．
【答案】eq \f(\r(5),5)
11．如圖1是小明制作的一副弓箭，點(diǎn)A，D分別是弓臂BAC與弓弦BC的中點(diǎn)，弓弦BC＝60 cm.沿AD方向拉動(dòng)弓弦的過(guò)程中，假設(shè)弓臂BAC始終保持圓弧形，弓弦不伸長(zhǎng)．如圖2，當(dāng)弓箭從自然狀態(tài)的點(diǎn)D拉到點(diǎn)D1時(shí)，有AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°.
(1)圖2中，弓臂兩端B1，C1的距離為30eq \r(3)cm；
(2)如圖3，將弓箭繼續(xù)拉到點(diǎn)D2，使弓臂B2AC2為半圓，則D1D2的長(zhǎng)為(10eq \r(5)－10)cm.
【答案】,
12．如圖所示，AB為⊙O的直徑，CD為弦，且CD⊥AB，垂足為H.
(1)如果⊙O的半徑為4，CD＝4eq \r(3)，求∠BAC的度數(shù)；
(2)若點(diǎn)E為eq \(ADB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接OE，CE.求證：CE平分∠OCD；
(3)在(1)的條件下，圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有多少個(gè)？并說(shuō)明理由．
【答案】：(1)∵AB為⊙O的直徑，CD⊥AB，∴CH＝eq \f(1,2)CD＝2eq \r(3).
在Rt△COH中，sin∠COH＝eq \f(CH,OC)＝eq \f(\r(3),2)，∴∠COH＝60°.
∴∠BAC＝eq \f(1,2)∠COH＝30°.
(2)證明：∵點(diǎn)E是eq \(ADB,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴OE⊥AB.
又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC.
又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE.
∴∠OCE＝∠DCE，即CE平分∠OCD.
(3)圓周上到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)．
因?yàn)閑q \(AC,\s\up8(︵))上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為2，eq \(ADC,\s\up8(︵))上的點(diǎn)到直線AC的最大距離為6，2＜3＜6，根據(jù)圓的軸對(duì)稱性，eq \(ADC,\s\up8(︵))到直線AC的距離為3的點(diǎn)有2個(gè)．

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