類型六 與圓有關(guān)的探究題【典例1】定義：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線和與另一個(gè)內(nèi)角相鄰的外角平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個(gè)內(nèi)角的遙望角．（1）如圖1，∠E是△ABC中∠A的遙望角，若∠A＝α，請用含α的代數(shù)式表示∠E．（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，＝，四邊形ABCD的外角平分線DF交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)BF并延長交CD的延長線于點(diǎn)E．求證：∠BEC是△ABC中∠BAC的遙望角．（3）如圖3，在（2）的條件下，連結(jié)AE，AF，若AC是⊙O的直徑．①求∠AED的度數(shù)；②若AB＝8，CD＝5，求△DEF的面積．             【典例2】在平面直角坐標(biāo)系中，⊙O的半徑為1，A，B為⊙O外兩點(diǎn)，AB=1．給出如下定義：平移線段AB，得到⊙O的弦（分別為點(diǎn)A，B的對應(yīng)點(diǎn)），線段長度的最小值稱為線段AB到⊙O的“平移距離”．（1）如圖，平移線段AB到⊙O的長度為1的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是           ；在點(diǎn)中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)        的線段的長度等于線段AB到⊙O的“平移距離”；（2）若點(diǎn)A，B都在直線上，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，求的最小值；（3）若點(diǎn)A的坐標(biāo)為，記線段AB到⊙O的“平移距離”為，直接寫出的取值范圍．         【典例3】.如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半徑為的⊙M與射線BA相切,切點(diǎn)為N,且AN=3.將Rt△ABC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后得到Rt△ADE,點(diǎn)B,C的對應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)D,E．(1)畫出旋轉(zhuǎn)后的Rt△ADE； (2)求出Rt△ADE 的直角邊DE被⊙M截得的弦PQ的長度；(3)判斷Rt△ADE的斜邊AD所在的直線與⊙M的位置關(guān)系,并說明理由.                       【典例4】（1）已知：如圖1，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，點(diǎn)P為弧BC上一動點(diǎn)，求證：PA=PB+PC；（2）如圖2，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為弧BC上一動點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，六邊形ABCDEF是⊙O的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)P為弧BC上一動點(diǎn)，請?zhí)骄縋A、PB、PC三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．                    【典例5】（1）如圖①，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正△ABC的邊AB、BC上的點(diǎn)且BM=CN，連接OM、ON，求∠MON的度數(shù)；（2）圖②、③、…④中，M、N分別是⊙O的內(nèi)接正方形ABCD、正五邊ABCDE、…正n邊形ABCDEFG…的邊AB、BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連接OM、ON，則圖②中∠MON的度數(shù)是       ，圖③中∠MON的度數(shù)是       ；…由此可猜測在n邊形圖中∠MON的度數(shù)是           ；（3）若3≤n≤8，各自有一個(gè)正多邊形，則從中任取2個(gè)圖形，恰好都是中心對稱圖形的概率是             .                   【典例6】如圖，已知⊙O的直徑AB＝2，直線m與⊙ O相切于點(diǎn)A，P為⊙ O上一動點(diǎn)（與點(diǎn)A、點(diǎn)B不重合），PO的延長線與⊙ O相交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C的切線與直線m相交于點(diǎn)D．（1）求證：△APC∽△COD．（2）設(shè)AP＝x，OD＝y，試用含x的代數(shù)式表示y．（3）試探索x為何值時(shí)， △ACD是一個(gè)等邊三角形．                   【典例7】 如圖①，半圓O的直徑AB=6，AM和BN是它的兩條切線，CP與半圓O相切于點(diǎn)P，并于AM，BN分別相交于C，D兩點(diǎn)．（1）請直接寫出∠COD的度數(shù)；（2）求AC?BD的值；（3）如圖②，連接OP并延長交AM于點(diǎn)Q，連接DQ，試判斷△PQD能否與△ACO相似？若能相似，請求AC：BD的值；若不能相似，請說明理由． 

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