1．若點P（3，﹣1）與點Q關于原點對稱，則點Q的坐標是 ．
2．在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，其中只有2個白球．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為 ．
3．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ACB的度數(shù)為 ．
4．如圖，△DEF是△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面積為5，則△DEF的面積為 ．
5．如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于點A，反比例函數(shù)的圖象與線段AB相交于點C，且C是線段AB的中點，若△OAB的面積為3，則k的值為 ．
6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0）其部分圖象如圖所示，下列結論：
①2a+b＝0；
②b2﹣4ac＜0；
③方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝2；
④將y＝ax2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位可得到y(tǒng)＝ax2+bx+c的圖象；
⑤當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．
其中正確的結論是 ．（填序號）
二、選擇題（本大題共8個小題，每小題只有一個正確選項，每小題4分，滿分32分）
7．（4分）我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“?！?、“祿”、“壽”、“喜”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上
B．通過拋擲一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是不公平的
C．“367 人中至少有2人生日相同”是必然事件
D．“垂直于弦的直徑平分這條弦”是不確定事件
9．（4分）當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的函數(shù)，下表記錄了一組實驗數(shù)據(jù)：P與V的函數(shù)關系式可能是（ ）
A．P＝96VB．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝
10．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿AC所在直線旋轉一周，則所得幾何體的側面積是（ ）
A．12πB．15πC．20πD．36π
11．（4分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設與墻垂直的一邊長為xm（已標注在圖中），則可以列出關于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
12．（4分）對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法錯誤的是（ ）
A．它的圖象在第二、四象限
B．在每個象限內y隨x的增大而增大
C．若x＞1，則﹣3＜y＜0
D．若點A （﹣1，y1）和點B （3，y2） 在這個函數(shù)圖象上，則y1＜y2
13．（4分）如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
14．（4分）如圖，某班數(shù)學興趣小組利用數(shù)學知識測量建筑物DEFC的高度．他們從點A出發(fā)沿著坡度為i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，此時測得建筑物頂端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD為水平的地面，則此建筑物的高度CD約為（ ）米．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，tan35°≈0.7）
A．23.1B．21.9C．27.5D．30
三、解答題（本大題共9個小題，滿分0分.解答時必須寫出必要的計算過程、推理步驟或文字說明.）
15．計算：2sin30°+cs45°﹣+（π﹣3.14）0．
16．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）當m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
（2）當m＝﹣12，求此一元二次方程的根．
17．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在圖中標出△ABC外心D的位置，并直接寫出它的坐標；
（2）將△ABC繞點C逆時針方向旋轉90°后，得到△A'B'C，畫出旋轉后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋轉過程中點A經(jīng)過的路徑長．
18．復工復學后，為防控冠狀病毒，學生進校園必須戴口罩，測體溫．某校開通了兩種不同類型的測溫通道共三條．分別為：紅外熱成像測溫（A通道）和人工測溫（B通道和C通道）．在三條通道中，每位同學都可隨機選擇其中的一條通過，周五有甲、乙兩位同學進校園．
（1）求甲同學進校園時，從人工測溫通道通過的概率；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩位同學從不同類型測溫通道通過的概率．
19．如圖，一次函數(shù)y＝x+b和反比例函數(shù)y＝（k≠0）交于點A（4，1）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＞的解集．
20．如圖，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，延長BC到點F，使CF＝AE．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）在（1）的條件下，把△ADE繞點D逆時針旋轉 °后與△CDF重合；
（2）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點G．若AB＝4，求EG的長．
21．某商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．
（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天獲利最多，那么每千克應漲價多少元？
22．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD、DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）設△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2．若S2＝5S1，求tan∠BAC的值．
23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；
（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出E點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．
2020-2021學年云南省昆明市盤龍區(qū)九年級（上）期末數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）
1．若點P（3，﹣1）與點Q關于原點對稱，則點Q的坐標是 （﹣3，1） ．
【分析】直接利用關于原點對稱點的性質得出答案．
【解答】解：點P（3，﹣1）與點Q關于原點對稱，
則點Q的坐標是（﹣3，1）．
故答案為：（﹣3，1）．
2．在一個不透明的盒子中裝有a個除顏色外完全相同的球，其中只有2個白球．若每次將球充分攪勻后，任意摸出1個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復實驗后，發(fā)現(xiàn)摸到白球的頻率穩(wěn)定在20%左右，則a的值約為 10 ．
【分析】在同樣條件下，大量反復試驗時，隨機事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定在概率附近，可以從摸到白球的頻率穩(wěn)定在20%左右得到比例關系，列出方程求解即可．
【解答】解：由題意可得，，
解得，a＝10．
故答案為：10．
3．如圖，點A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，則∠ACB的度數(shù)為 70° ．
【分析】利用三角形內角和定理求出∠ADB即可．
【解答】解：∵＝，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∴∠DAB＝60°
∵∠ACD＝∠ABD＝50°，
∴∠ADB＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ACB＝∠ADB＝70°，
故答案為：70°．
4．如圖，△DEF是△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，已知OD：OA＝1：2，若△ABC的面積為5，則△DEF的面積為 ．
【分析】直接利用位似圖形的性質得出面積比，進而得出答案．
【解答】解：∵△DEF是△ABC經(jīng)過位似變換得到的，點O是位似中心，OD：OA＝1：2，
∴S△DEF：S△ABC＝1：4，
∵△ABC的面積為5，
∴△DEF的面積為：．
故答案為：．
5．如圖，在平面直角坐標系中，點B在第一象限，BA⊥x軸于點A，反比例函數(shù)的圖象與線段AB相交于點C，且C是線段AB的中點，若△OAB的面積為3，則k的值為 3 ．
【分析】連接OC，如圖，利用三角形面積公式得到∴S△AOC＝S△AOB＝，再根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義得到S△AOC＝|k|＝，然后利用反比例函數(shù)的性質確定k的值．
【解答】解：連接OC，如圖，
∵BA⊥x軸于點A，C是線段AB的中點，
∴S△AOC＝S△AOB＝，
而S△AOC＝|k|＝，
又∵k＞0，
∴k＝3．
故答案為：3．
6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0）其部分圖象如圖所示，下列結論：
①2a+b＝0；
②b2﹣4ac＜0；
③方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝2；
④將y＝ax2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位可得到y(tǒng)＝ax2+bx+c的圖象；
⑤當y＞0時，x的取值范圍是﹣1＜x＜3．
其中正確的結論是 ①⑤ ．（填序號）
【分析】由拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，得﹣＝1，即可判斷①正確；由拋物線與x軸有兩個交點，可判斷②不正確；根據(jù)拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），可得拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），可判斷③不正確；由拋物線y＝ax2頂點為（0，0），將y＝ax2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位得到的拋物線頂點為（1，4），可判斷④不正確；根據(jù)當﹣1＜x＜3時，拋物線在x軸上方，可判斷⑤正確．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，
∴﹣＝1，即2a+b＝0，故①正確；
∵拋物線與x軸有兩個交點，
∴Δ＞0，即b2﹣4ac＞0，故②不正確；
∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝1，與x軸的一個交點坐標為（﹣1，0），
∴拋物線與x軸的另一個交點為（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的兩個根是x1＝﹣1，x2＝3，故③不正確；
∵拋物線y＝ax2頂點為（0，0），將y＝ax2先向右平移1個單位，再向上平移4個單位得到的拋物線頂點為（1，4），
而由已知不能得出拋物線y＝ax2+bx+c頂點是（1，4），故④不正確；
∵當﹣1＜x＜3時，拋物線在x軸上方，
∴y＞0，故⑤正確，
故答案為：①⑤．
二、選擇題（本大題共8個小題，每小題只有一個正確選項，每小題4分，滿分32分）
7．（4分）我國民間，流傳著許多含有吉祥意義的文字圖案，表示對幸福生活的向往，良辰佳節(jié)的祝賀．比如下列圖案分別表示“福”、“祿”、“壽”、“喜”，其中是中心對稱圖形的是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義，結合選項所給圖形進行判斷即可．
【解答】解：①不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
②是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
③不是中心對稱圖形，故本選項不合題意；
④是中心對稱圖形，故本選項符合題意；
故選：D．
8．（4分）下列說法正確的是（ ）
A．任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上
B．通過拋擲一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是不公平的
C．“367 人中至少有2人生日相同”是必然事件
D．“垂直于弦的直徑平分這條弦”是不確定事件
【分析】利用隨機事件和必然事件的定義對A、C進行判斷；利用比較兩事件的概率的大小判斷游戲的公平性對B進行判斷；利用垂徑定理和概率公式對D進行判斷．
【解答】解：A、任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，不一定有5次正面向上，故此選項錯誤；
B、通過拋擲一枚均勻的硬幣確定誰先發(fā)球的比賽規(guī)則是公平的，故此選項錯誤；
C、“367人中至少有2人生日相同”是必然事件，故此選項正確；
D、垂直于弦的直徑平分這條弦”是確定事件，故此選項錯誤．
故選：C．
9．（4分）當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓P（單位：kPa）是氣體體積V（單位：m3）的函數(shù)，下表記錄了一組實驗數(shù)據(jù)：P與V的函數(shù)關系式可能是（ ）
A．P＝96VB．P＝﹣16V+112
C．P＝16V2﹣96V+176D．P＝
【分析】觀察表格發(fā)現(xiàn)VP＝96，從而確定兩個變量之間的關系即可．
【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)：VP＝1×96＝1.5×64＝2×48＝2.5×38.4＝3×32＝96，
故P與V的函數(shù)關系式為P＝，
故選：D．
10．（4分）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，把它沿AC所在直線旋轉一周，則所得幾何體的側面積是（ ）
A．12πB．15πC．20πD．36π
【分析】先利用勾股定理計算出AB＝5，然后根據(jù)圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和扇形的面積公式求解．
【解答】解：Rt△ABC沿AC所在直線旋轉一周，所得幾何體為圓錐，母線AB的長＝＝＝5，
所以圓錐的側面積＝?2π?4?5＝20π．
故選：C．
11．（4分）如圖，一農(nóng)戶要建一個矩形花圃，花圃的一邊利用長為12m的住房墻，另外三邊用25m長的籬笆圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個1m寬的門，花圃面積為80m2，設與墻垂直的一邊長為xm（已標注在圖中），則可以列出關于x的方程是（ ）
A．x（26﹣2x）＝80B．x（24﹣2x）＝80
C．（x﹣1）（26﹣2x）＝80D．x（25﹣2x）＝80
【分析】設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26﹣2x）m，根據(jù)花圃面積為80m2即可列出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：設與墻垂直的一邊長為xm，則與墻平行的一邊長為（26﹣2x）m，
根據(jù)題意得：x（26﹣2x）＝80．
故選：A．
12．（4分）對于反比例函數(shù)y＝﹣，下列說法錯誤的是（ ）
A．它的圖象在第二、四象限
B．在每個象限內y隨x的增大而增大
C．若x＞1，則﹣3＜y＜0
D．若點A （﹣1，y1）和點B （3，y2） 在這個函數(shù)圖象上，則y1＜y2
【分析】直接利用反比例函數(shù)的性質結合圖象上點的坐標特點分析得出答案．
【解答】解：A．y＝﹣，由﹣3＜0，則雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，故此選項不合題意；
B．y＝﹣，由﹣3＜0，則在每一象限內y隨x的增大而增大，故此選項不合題意；
C．y＝﹣，若x＞1，則﹣3＜y＜0，故此選項不合題意；
D．y＝﹣，若點A （﹣1，y1）和點B （3，y2） 在這個函數(shù)圖象上，則y1＞y2，故此選項符合題意；
故選：D．
13．（4分）如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是（ ）
A．4B．6.25C．7.5D．9
【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC為直角三角形，∠A＝90°，再利用切線的性質得到OF⊥AB，OE⊥AC，所以四邊形OFAE為正方形，設OE＝AE＝AF＝r，利用切線長定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可計算出陰影部分（即四邊形AEOF）的面積．
【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，
∴AB2+CA2＝BC2，
∴△ABC為直角三角形，∠A＝90°，
∵AB、AC與⊙O分別相切于點E、F
∴OF⊥AB，OE⊥AC，
∴四邊形OFAE為正方形，
設OE＝r，
則AE＝AF＝r，
∵△ABC的內切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點D、E、F，
∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，
∴5﹣r+12﹣r＝13，
∴r＝＝2，
∴陰影部分（即四邊形AEOF）的面積是2×2＝4．
故選：A．
14．（4分）如圖，某班數(shù)學興趣小組利用數(shù)學知識測量建筑物DEFC的高度．他們從點A出發(fā)沿著坡度為i＝1：2.4的斜坡AB步行26米到達點B處，此時測得建筑物頂端C的仰角α＝35°，建筑物底端D的俯角β＝30°．若AD為水平的地面，則此建筑物的高度CD約為（ ）米．（參考數(shù)據(jù)：≈1.7，tan35°≈0.7）
A．23.1B．21.9C．27.5D．30
【分析】直接利用坡度的定義得出BN的長，進而利用銳角三角函數(shù)關系得出BM的長，進而得出CM的長即可得出答案．
【解答】解：如圖所示：過點B作BN⊥AD，BM⊥DC垂足分別為：N，M，
∵i＝1：2.4，AB＝26m，
∴設BN＝x，則AN＝2.4x，
∴AB＝2.6x，
則2.6x＝26，
解得：x＝10，
故BN＝DM＝10m，
則tan30°＝＝＝，
解得：BM＝10，
則tan35°＝＝＝0.7，
解得：CM≈11.9（m），
故DC＝MC+DM＝11.9+10＝21.9（m）．
故選：B．
三、解答題（本大題共9個小題，滿分0分.解答時必須寫出必要的計算過程、推理步驟或文字說明.）
15．計算：2sin30°+cs45°﹣+（π﹣3.14）0．
【分析】直接利用負整數(shù)指數(shù)冪的性質以及零指數(shù)冪的性質、特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝2×+﹣4+1
＝1+﹣4+1
＝﹣2．
16．已知關于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0．
（1）當m為何值時，方程有兩個相等的實數(shù)根；
（2）當m＝﹣12，求此一元二次方程的根．
【分析】（1）若一元二次方程有兩等根，則根的判別式Δ＝b2﹣4ac＝0，建立關于m的方程，求出m的取值．
（2）把m的值代入方程，利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝16﹣4m，
∴16﹣4m＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，
解得：m＝4，
即m＝4時，方程有兩個相等的實數(shù)根．
（2）當m＝﹣12時，方程為x2﹣4x﹣12＝0，
（x﹣6）（x+2）＝0，
解得，x1＝6，x2＝﹣2．
17．如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點均在格點上，點A、B的坐標分別是A（5，3）、B（5，1）．
（1）在圖中標出△ABC外心D的位置，并直接寫出它的坐標；
（2）將△ABC繞點C逆時針方向旋轉90°后，得到△A'B'C，畫出旋轉后的△A'B'C；
（3）求△ABC旋轉過程中點A經(jīng)過的路徑長．
【分析】（1）先利用點A、B的坐標建立直角坐標系，根據(jù)三角形外心的性質得到AC的中點為D；
（2）利用網(wǎng)格特點和旋轉的性質畫出A、B的對應點A′、B′即可；
（3）先計算出CA的長，然后根據(jù)弧長公式計算．
【解答】解：（1）如圖，點D為所作，D點坐標為（3，2）；
（2）如圖，△A'B'C為所作；
（3）CA＝＝2，
所以△ABC旋轉過程中點A經(jīng)過的路徑長＝＝π．
18．復工復學后，為防控冠狀病毒，學生進校園必須戴口罩，測體溫．某校開通了兩種不同類型的測溫通道共三條．分別為：紅外熱成像測溫（A通道）和人工測溫（B通道和C通道）．在三條通道中，每位同學都可隨機選擇其中的一條通過，周五有甲、乙兩位同學進校園．
（1）求甲同學進校園時，從人工測溫通道通過的概率；
（2）請用列表或畫樹狀圖的方法求甲、乙兩位同學從不同類型測溫通道通過的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)概率公式求解即可；
（2）根據(jù)題意畫出樹狀圖得出所有等情況數(shù)，找出符合條件的情況數(shù)，然后根據(jù)概率公式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵共有三個通道，分別是紅外熱成像測溫（A通道）和人工測溫（B通道和C通道），
∴從人工測溫通道通過的概率是；
（2）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
共有9種等可能的情況數(shù)，其中甲、乙兩位同學從不同類型測溫通道通過的有4種情況，
則甲、乙兩位同學從不同類型測溫通道通過的概率是．
19．如圖，一次函數(shù)y＝x+b和反比例函數(shù)y＝（k≠0）交于點A（4，1）．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）求△AOB的面積；
（3）根據(jù)圖象直接寫出不等式x+b＞的解集．
【分析】（1）把A的坐標代入y＝，求出反比例函數(shù)的解析式，把A的坐標代入y＝x+b求出一次函數(shù)的解析式；
（2）求出D、B的坐標，利用S△AOB＝S△AOD+S△BOD計算，即可求出答案；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和A、B的坐標即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（k≠0）的圖象過點A（4，1），
∴1＝，即k＝4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y＝．
∵一次函數(shù)y＝x+b（k≠0）的圖象過點A（4，1），
∴1＝4+b，解得b＝﹣3，
∴一次函數(shù)的解析式為：y＝x﹣3；
（2）∵令x＝0，則y＝﹣3，
∴D（0，﹣3），即DO＝3．
解得或，
∴B（﹣1，﹣4），
∴S△AOB＝S△AOD+S△BOD＝×3×4+×3×1＝；
（3）∵A（4，1），B（﹣1，﹣4），
∴不等式x+b＞的解集為：﹣1＜x＜0或x＞4．
20．如圖，在正方形ABCD中，點E是AB的中點，延長BC到點F，使CF＝AE．
（1）求證：△ADE≌△CDF；
（2）在（1）的條件下，把△ADE繞點D逆時針旋轉 90 °后與△CDF重合；
（2）現(xiàn)把△DCF向左平移，使DC與AB重合，得△ABH，AH交ED于點G．若AB＝4，求EG的長．
【分析】（1）由已知條件可用SAS直接證明；
（2）由（1）結論證明∠EDF＝90°即可；
（3）由中點性質及平移性質可得BH＝CF＝AE＝2，由勾股定理可得AH＝，再證明△AEG∽△AHB，推出＝，即可得到答案．
【解答】（1）證明：在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（SAS）．
（2）由（1）可△ADE≌△CDF，
∴∠ADE＝∠CDF，
∴∠ADE+∠EDC＝∠CDF+∠EDC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
即△ADE繞點D逆時針旋轉 90°后與△CDF重合，
故答案為：90．
（3）∵點E是AB的中點，
∴AE＝BE＝CF＝＝2．
又由平移性質可得CF＝BH，
∴AE＝BE＝CF＝BH＝2，
由平移可得DF∥AH，
由勾股定理得AH＝＝，
∴∠AGE＝∠EDF＝90°，
∴∠AGE＝∠B＝90°，
又∠EAG＝∠HAB，
∴△AEG∽△AHB，
∴＝＝，
∴EG＝．
21．某商場經(jīng)銷一種高檔水果，原價每千克50元．
（1）連續(xù)兩次降價后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率；
（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場調查發(fā)現(xiàn)，在進貨價不變的情況下，商場決定采取適當?shù)臐q價措施，但商場規(guī)定每千克漲價不能超過8元，若每千克漲價1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該商場要保證每天獲利最多，那么每千克應漲價多少元？
【分析】（1）設每次降價的百分率為m，（1﹣m）2為兩次降價的百分率，50降至32就是方程的平衡條件，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質求函數(shù)最值．
【解答】解：（1）設每次下降百分率為m，
根據(jù)題意，得50（1﹣m）2＝32，
解得m1＝0.2，m2＝1.8（不合題意，舍去）．
答：每次下降的百分率為20%；
（2）設每千克漲價x元，利潤為w，
由題意得：w＝（10+x）（500﹣20x）
＝﹣20x2+300x+5000
＝﹣20（x﹣7.5）2+6125，
∵a＝﹣20＜0，開口向下，w有最大值，
∵x≤8，
∴當x＝7.5（元）時，w最大值＝6125（元）．
答：每千克水果應漲價7.5元時，商場獲得的利潤w最大，最大利潤是6125元．
22．如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O與邊AC相交于點D，BC是⊙O的切線，E為BC的中點，連接BD、DE．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）設△CDE的面積為S1，四邊形ABED的面積為S2．若S2＝5S1，求tan∠BAC的值．
【分析】（1）連接DO，由圓周角定理就可以得出∠ADB＝90°，可以得出∠CDB＝90°，根據(jù)E為BC的中點可以得出DE＝BE，就有∠EDB＝∠EBD，OD＝OB可以得出∠ODB＝∠OBD，由等式的性質就可以得出∠ODE＝90°就可以得出結論．
（2）由S2＝5S1可得△ADB的面積是△CDE面積的4倍，可求得AD：CD＝2：1，可得AD：BD＝2：．則tan∠BAC的值可求出．
【解答】（1）證明：連接OD，
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵AB是直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝90°．
∵E為BC的中點，
∴DE＝BE，
∴∠EDB＝∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB＝∠OBD+∠EBD，
即∠EDO＝∠EBO．
∵BC是以AB為直徑的⊙O的切線，
∴AB⊥BC，
∴∠EBO＝90°，
∴∠ODE＝90°，
∴DE是⊙O的切線；
（2）解：連接AE，
∵S2＝5S1，E為BC的中點，
∴S△ACE＝3S1，
∴S△ADE＝2S1，
∴，
∵△BDC∽△ADB，
∴，
∴DB2＝AD?DC，
∴，
∴tan∠BAC＝．
23．如圖，二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．若點P，Q同時從A點出發(fā)，都以每秒1個單位長度的速度分別沿AB，AC邊運動，其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．
（1）求該二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；
（2）當點P運動到B點時，點Q停止運動，這時，在x軸上是否存在點E，使得以A，E，Q為頂點的三角形為等腰三角形？若存在，請直接寫出E點坐標；若不存在，請說明理由．
（3）當P，Q運動到t秒時，△APQ沿PQ翻折，點A恰好落在拋物線上D點處，請判定此時四邊形APDQ的形狀，并求出D點坐標．
【分析】（1）根據(jù)韋達定理即可求得a、b的值，即可解題；
（2）存在滿足條件的點E，存在2種情況：①∠AEQ'＝90°；②∠AQ'E'＝90°；分類討論即可求得點E坐標，即可解題；
（3）想辦法求出直線AD的解析式，構建方程組即可解決問題；
【解答】解：（1）∵二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A（3，0），B（﹣1，0），
∴x1?x2＝＝c＝﹣3，x1+x2＝﹣＝﹣b＝2，
∴b＝﹣2，
∴該二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
當x＝0時，y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
（2）存在滿足條件的點E，存在3種情況：
①∠AEQ'＝90°，
∵AQ'＝AB＝4，
∴AE＝2，
∴OE＝3﹣2，
∴點E坐標（3﹣2，0）；
②∠AQ'E'＝90°，
此時AE'＝AQ，
∴AE'＝4，
∴OE＝AE'﹣OA＝4﹣3，
∴點E'坐標（3﹣4，0）；
③當AE＝AQ時
E（﹣1，0）或E（7，0）
綜上所述：點E坐標為（3﹣2，0）、（3﹣4，0）或（﹣1，0）或（7，0）；
（3）四邊形APDQ為菱形；
理由：如圖，D點關于PQ與A點對稱，過點Q作，F(xiàn)Q⊥AP于F，
∵AQ＝PD，AP＝DQ，
∴四邊形APDQ為平行四邊形，
∵AP＝AQ，
∴平行四邊形APDQ為菱形，
∴AD平分∠BAC，設AD交OC于點M，作MN⊥AC于N．
∵MO⊥AB，
∴OM＝MN，設OM＝MN＝m，
∵AM＝AM，MO＝MN，
∴Rt△AMO≌Rt△AMN（HL），
∴OA＝AN＝3，
∵AC＝3，
∴m+3＝3，
∴m＝3﹣3，
∴M（0，3﹣3），
∴直線AD的解析式為y＝（﹣1）x﹣3+3，
由，
解得或，
∴D（﹣2，﹣6+7）．
V（單位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（單位：kPa）
96
64
48
38.4
32
V（單位：m3）
1
1.5
2
2.5
3
P（單位：kPa）
96
64
48
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