1. 如果方程x2a2+y2a+6=1表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.?∞,?2B.?∞,?6∪3,+∞
C.?6,?2∪3,+∞D(zhuǎn).3,+∞

2. 過橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于點P，F(xiàn)2為右焦點，若∠F1F2P=30°，則橢圓C的離心率為( )
A.13B.12C.33D.22

3. 若拋物線y2=4x上一點M到該拋物線的焦點F的距離|MF|=5，則點M到x軸的距離為( )
A.4B.26C.46D.56

4. 若直線3x?y?2=0截焦點是0,±52的橢圓所得弦的中點橫坐標(biāo)是12，則該橢圓的方程是( )
A.2x225+2y275=1B.x225+y275=1
C.2x275+2y225=1D.x275+y225=1

5. 已知拋物線方程為y2=4x，直線l的方程為x?y+4=0，在拋物線上有一動點P到y(tǒng)軸的距離為d1，P到直線l的距離為d2，則d1+d2的最小值為( )
A.522?2B.522?1C.522+1D.522+2

6. 直線y=2b與雙曲線x2a2?y2b2=1a>0,b>0的左支、右支分別交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，且△AOB為等腰直角三角形，則該雙曲線的離心率為( )
A.52B.32C.302D.352

7. 如圖，直線y=m與拋物線y2=4x交于點A，與圓(x?1)2+y2=4的實線部分交于點B，F(xiàn)為拋物線的焦點，則△ABF的周長的取值范圍是( )

A.[2, 4]B.(2, 4)C.[4, 6]D.(4, 6)

8. 已知拋物線y2=4x的焦點為F，A，B為拋物線上兩點，若AF→=3FB→，O為坐標(biāo)原點，則△AOB的面積為( )
A.33B.233C.433D.833

9. 過雙曲線x29?y216=1的右支上的一點P分別向圓C1:x+52+y2=4和圓C2：x?52+y2=r2r>0作切線，切點分別為M，N，若|PM|2?|PN|2的最小值為58，則r=( )
A.2B.3C.2D.3

10. 已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點，A是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，O為坐標(biāo)原點，OA→?OF2→=|OF2→|2，若橢圓C的離心率e=22，則直線OA的方程是( )
A.y=12xB.y=22xC.y=32xD.y=x

11. 定長為3的線段AB的兩端點在拋物線C: x2=y上移動．設(shè)M為線段AB的中點，則M到x軸的最短距離為( )
A.34B.45C.54D.32

12. 過橢圓x24+y2=1的左焦點作相互垂直的兩條直線，分別交橢圓于A，B，C，D四點，則四邊形ABCD面積的最大值與最小值之差為（ ）
A.1825B.1925C.45D.2125
二、填空題

橢圓x2+my2=1的長軸長是短軸長的兩倍，則m的值為________．

已知橢圓C的焦點在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A?3,?2和B?23,1兩點，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________.

雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(?c, 0)，F(xiàn)2(c, 0)，A，B是圓(x+c)2+y2=4c2與C位于x軸上方的兩個交點，且F1A // F2B，則雙曲線C的離心率為________.


過雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)的左焦點F(?c, 0)(c>0)作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，O為坐標(biāo)原點，若OE→=12(OF→+OP→)，則雙曲線C的離心率e=________.
三、解答題

已知雙曲線中心在原點，焦點F1，F(xiàn)2在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且過點(4, ?10)．點M(3, m)在雙曲線上．
(1)求雙曲線方程；

(2)求證：MF1→?MF2→=0；

(3)求△F1MF2面積．

過橢圓x22+y2=1的一個焦點F作直線l交橢圓于A，B兩點，橢圓中心為O，當(dāng)△AOB的面積最大時，求直線l的方程．

如圖，已知點F為拋物線E:y2=2pxp>0的焦點，點A2,m在拋物線E上，且|AF|=3．

(1)求拋物線E的方程；

(2)已知點G?1,0，延長AF交拋物線E于點B，證明：以點F為圓心且與直線GA相切的圓，必與直線GB相切．

已知點A，B分別是橢圓x236+y220=1的左、右頂點，點F是橢圓的右焦點．點P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF．
(1)求點P的坐標(biāo)；

(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，且M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點Q到點M的距離d的最小值．

已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2, 0)，右頂點為(3, 0).
(1)求雙曲線C的方程；

(2)若直線l:y=kx+2與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且OA→?OB→>2，其中O為原點，求k的取值范圍．

己知圓O:x2+y2=6，P為圓O上動點，過P作PM⊥x軸于點M，點N為PM上一點，且滿足PM→=2NM→．
1求點N的軌跡C的方程；

2若A(2, 1)，B(3, 0)，過B的直線與曲線C相交于D，E兩點，則kAD+kAE是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年湖北省十堰市高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
C
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：∵ 方程x2a2+y2a+6=1表示焦點在x軸上的橢圓，
∴ a2>a+6>0，
∴ a>3或?60，把y=3x?2代入，
得： a2+9b2x2?12b2x+4b2?a2b2=0 ，x1+x2=12b2a2+9b2=1，
∴ a2=3b2.①
又由焦點為0,±52知， a2?b2=50，②
由①②得a2=75，b2=25，
故橢圓方程為y275+x225=1.
故選B．
5.
【答案】
B
【考點】
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
點到直線的距離公式
【解析】
如圖點P到y(tǒng)軸的距離等于點P到焦點F的距離減1，過焦點F作直線x?y+4=0的垂線，此時d1+d2最小，根據(jù)拋物線方程求得F，進(jìn)而利用點到直線的距離公式求得d1+d2的最小值．
【解答】
解：由拋物線方程為y2=4x可得其準(zhǔn)線方程為x=?1.
如圖，點P到準(zhǔn)線的距離等于點P到焦點F的距離，
從而P到y(tǒng)軸的距離等于點P到焦點F的距離減1．
過焦點F作直線x?y+4=0的垂線，
此時d1+d2=|PF|+d2?1最小，
因為F(1, 0)，則|PF|+d2=|1?0+4|12+12=522，
則d1+d2的最小值為522?1.
故選B.
6.
【答案】
B
【考點】
雙曲線的離心率
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：把y=2b代入雙曲線方程x2a2?y2b2=1，
得：x=±5a，則|AB|=25a，
由于△AOB為等腰直角三角形，所以直角三角形斜邊的中線長等于斜邊長的一半，
則2b=5a，4b2=5a2，4(c2?a2)=5a2，4c2=9a2，
所以e2=94，e=32.
故選B．
7.
【答案】
D
【考點】
拋物線的性質(zhì)
拋物線的定義
【解析】
由拋物線定義可得|AF|=xA+1，由已知條件推導(dǎo)出△FAB的周長=3+xB，由此能求出三角形ABF的周長的取值范圍．
【解答】
解：拋物線的準(zhǔn)線l:x=?1，焦點F(1, 0)，
由拋物線定義可得|AF|=xA+1，
∴ △ABF的周長=|AF|+|AB|+|BF|
=xA+1+(xB?xA)+2=3+xB，
由拋物線y2=4x及圓(x?1)2+y2=4，
得交點的橫坐標(biāo)為1，
∴ xB∈(1, 3)，
∴ 3+xB∈(4, 6)，
∴ △ABF的周長的取值范圍是(4, 6).
故選D.
8.
【答案】
C
【考點】
直線與拋物線結(jié)合的最值問題
【解析】
根據(jù)拋物線的定義，不難求出，|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，可得直線AB的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求出A，B的坐標(biāo)，即可求出△AOB的面積．
【解答】
解：如圖所示，
根據(jù)拋物線的定義，不難求出，
|AB|=2|AE|，由拋物線的對稱性，
不妨設(shè)直線的斜率為正，所以直線AB的傾斜角為60°，
直線AB的方程為y=3(x?1)，
聯(lián)立直線AB與拋物線的方程可得：y=3(x?1)，y2=4x，
解之得：A(3,23)，B(13,?233)，
所以|AB|=(3?13)2+(23+233)2=163.
而原點到直線AB的距離為d=|3|2，
所以S△AOB=12×|AB|×d=433；
當(dāng)直線AB的斜率為負(fù)時，同理可求面積為433．
故選C．
9.
【答案】
A
【考點】
直線與雙曲線結(jié)合的最值問題
雙曲線的定義
【解析】

【解答】
解：設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點，也是C1，C2的圓心，
∴ |PM|2?|PN|2=|PF1|2?4?|PF2|2?r2
=|PF1|?|PF2||PF1|+|PF2|+r2?4
=6|PF1|+|PF2|+r2?4
顯然其最小值為62×5+r2?4=58，
解得r=2.
故選A.
10.
【答案】
B
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
設(shè)F2(c, 0)，令x=c，代入橢圓方程求得y=±b2a，運用向量的數(shù)量積的定義可得AF2⊥F1F2，可得A(c, b2a)，運用離心率公式和直線的斜率公式，計算即可得到所求直線方程．
【解答】
解：設(shè)F2(c, 0)，
令x=c，代入橢圓方程可得y=±b1?c2a2=±b2a.
由OA→?OF2→=|OF2→|2，
得|OA→|?|OF2→|?cs∠AOF2=|OF2→|2，
則|OA→|?cs∠AOF2=|OF2→|，
即有AF2⊥F1F2，可得A(c, b2a).
又e=ca=22，
可得kOA=b2ac=a2?c2ac=1?e2e=1?1222=22，
則直線OA的方程為y=22x.
故選B．
11.
【答案】
C
【考點】
直線與拋物線結(jié)合的最值問題
基本不等式在最值問題中的應(yīng)用
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，Ax1,y1，Bx2,y2，
聯(lián)立y=kx+b，x2=y得： x2?kx?b=0，
則x1+x2=k，x1?x2=?b，
因為|AB|=1+k2?x1+x22?4x1?x2
=1+k2?k2+4b=3，
可得b=941+k2?k24，
則y1+y22=x12+x222=x1+x222?x1?x2
=k22+b=k22+941+k2?k24
=941+k2+k24=941+k2+k2+14?14
≥2941+k2?k2+14?14
=32?14=54，當(dāng)且僅當(dāng)94(1+k2)=k2+14即k=±2時取等號，
故M到x軸的最短距離為54.
故選C.
12.
【答案】
A
【考點】
直線與橢圓結(jié)合的最值問題
【解析】
此題暫無解析
【解答】
解：由橢圓x24+y2=1的可得，
a2=4，b2=1，c=a2?b2=3．
①當(dāng)AC或BD中的一條與x軸垂直而另一條與x軸重合時，
此時四邊形ABCD面積S=12×2a×2b2a=2b2=2．
②當(dāng)直線AC和BD的斜率都存在時，
不妨設(shè)直線AC的方程為y=k(x+3)，
則直線BD的方程為y=?1k(x+3)．
聯(lián)立y=k(x+3),x2+4y2=4,
化為(1+4k2)x2+83k2x+12k2?4=0，
∴ x1+x2=?83k21+4k2，x1x2=12k2?41+4k2．
∴ |AC|=(1+k2)[(x1+x2)2?4x1x2]
=(1+k2)[(83k21+4k2)2?4(12k2?4)1+4k2]=4(1+k2)1+4k2．
把k換成?1k可得|BD|=4(1+k2)4+k2．
∴ 四邊形ABCD面積S=12|AC||BD|
=12×4(1+k2)1+4k2×4(1+k2)4+k2
=8(1+k2)2(1+4k2)(4+k2)=8?9(1k2+1?12)2+254．
當(dāng)且僅當(dāng)1k2+1=12，即k2=1時，S取得最小值8254=3225．
綜上可知：四邊形ABCD面積S的最小值是3225，最大值是2．
∴ 四邊形ABCD面積的最大值與最小值之差=2?3225=1825．
故選A．
二、填空題
【答案】
14或4
【考點】
橢圓的定義
【解析】
將橢圓的方程變形為標(biāo)準(zhǔn)形式，利用長軸長是短軸長的兩倍建立關(guān)于m的方程即可求出m的值．
【解答】
解：當(dāng)橢圓的焦點在y軸上時，
方程x2+my2=1變?yōu)閤2+y21m=1，
∵ 焦點在y軸上，長軸長是短軸長的兩倍，
∴ 1m=2，解得m=14；
當(dāng)橢圓的焦點在x軸上時，
由題意得：1=2mm，
解得m=4.
故答案為：14或4.
【答案】
x215+y25=1
【考點】
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
橢圓的定義
【解析】

【解答】
解：設(shè)所求橢圓方程為：
mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，
將A和B的坐標(biāo)代入方程得：3m+4n=1，12m+n=1，
解得m=115，n=15，
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為： x215+y25=1.
故答案為：x215+y25=1.
【答案】
3+174
【考點】
雙曲線的離心率
雙曲線的定義
余弦定理
【解析】
連接BF1，AF2，由雙曲線的定義，可得|AF2|＝2a+2c，|BF2|＝2c?2a，在△AF1F2中，和△BF1F2中，運用余弦定理求得cs∠AF1F2，s∠BF2F1，由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2＝π，即有cs∠BF2F1+cs∠AF1F2＝0，化簡整理，由離心率公式計算即可得到所求值．
【解答】
解：連接BF1，AF2，
由雙曲線的定義，可得|AF2|?|AF1|=2a，|BF1|?|BF2|=2a，
由|BF1|=|AF1|=2c，
可得|AF2|=2a+2c，|BF2|=2c?2a，
在△AF1F2中，
可得cs∠AF1F2=4c2+4c2?(2a+2c)22?2c?2c=c2?2ac?a22c2，
在△BF1F2中，
可得cs∠BF2F1=4c2+(2c?2a)2?4c22?2c?(2c?2a)=c?a2c，
由F1A // F2B，可得∠BF2F1+∠AF1F2=π，
即有cs∠BF2F1+cs∠AF1F2=0，
可得c2?2ac?a22c2+c?a2c=0，
化為2c2?3ac?a2=0，
得2e2?3e?1=0，解得e=3+174（負(fù)的舍去）.
故答案為：3+174.
【答案】
5+12
【考點】
圓與圓錐曲線的綜合問題
圓錐曲線的綜合問題
雙曲線的離心率
【解析】
由題設(shè)知|EF|=b，|PF|=2b，|PF′|=2a，再由拋物線的定義和方程，解得P的坐標(biāo)，進(jìn)而得到c2?ac?a2=0，再由離心率公式，計算即可得到．
【解答】
解：∵ |OF|=c，|OE|=a，OE⊥EF，
∴ |EF|=c2?a2=b.
∵ OE→=12(OF→+OP→)，
∴ E為PF的中點，|OP|=|OF|=c，|PF|=2b.
設(shè)F′(c, 0)為雙曲線的右焦點，也為拋物線的焦點，
則EO為三角形PFF′的中位線，
則|PF′|=2|OE|=2a，可令P的坐標(biāo)為(m, n)，
則有n2=4cm.
由拋物線的定義可得|PF′|=m+c=2a.
∵ m=2a?c，
∴ n2=4c(2a?c).
又|OP|=c，即有c2=(2a?c)2+4c(2a?c)，
化簡可得，c2?ac?a2=0.
由于e=ca，則有e2?e?1=0，
由于e>1，
解得：e=5+12．
故答案為：5+12.
三、解答題
【答案】
(1)解：∵ e=2，
∴ 可設(shè)雙曲線方程為x2?y2=λ．
∵ 過點(4, ?10)，
∴ 16?10=λ，即λ=6，
∴ 雙曲線方程為x2?y2=6．
(2)證明：∵ MF1→=(?3?23, ?m)，MF2→=(23?3, ?m)，
∴ MF1→?MF2→=(3+23)×(3?23)+m2=?3+m2，
∵ M點在雙曲線上，
∴ 9?m2=6，即m2?3=0，
∴ MF1→?MF2→=0．
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|=43，由(2)知m=±3，
∴ △F1MF2的高?=|m|=3，
∴ S△F1MF2=6.
【考點】
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系
【解析】
（1）雙曲線方程為x2?y2=λ，點代入求出參數(shù)λ的值，從而求出雙曲線方程，
（2）先求出MF1→?MF2→的解析式，把點M(3, m)代入雙曲線，可得出MF1→?MF2→=0，
（3）求出三角形的高，即m的值，可得其面積．
【解答】
(1)解：∵ e=2，
∴ 可設(shè)雙曲線方程為x2?y2=λ．
∵ 過點(4, ?10)，
∴ 16?10=λ，即λ=6，
∴ 雙曲線方程為x2?y2=6．
(2)證明：∵ MF1→=(?3?23, ?m)，MF2→=(23?3, ?m)，
∴ MF1→?MF2→=(3+23)×(3?23)+m2=?3+m2，
∵ M點在雙曲線上，
∴ 9?m2=6，即m2?3=0，
∴ MF1→?MF2→=0．
(3)解：△F1MF2的底|F1F2|=43，由(2)知m=±3，
∴ △F1MF2的高?=|m|=3，
∴ S△F1MF2=6.
【答案】
解：∵ 橢圓x22+y2=1，
∴ 橢圓的一個焦點為F(1, 0)，
(1)設(shè)直線l的斜率為k，A(x1, y1)，B(x2, y2)，y=k(x?1)，
將y=k(x?1)代入橢圓方程得，
(1+2k2)x2?4k2x+2k2?2=0，
x1+x2=4k21+2k2，x1?x2=2k2?22k2+1
∴ |AB|=22(k2+1)1+2k2，
O到直線l的距離為?=|k|1+k2，
△AOB面積為：12×22(k2+1)1+2k2×|k|1+k2
=24+1k4+k20，
解方程組求得點P的坐標(biāo)．
（2）求出直線AP的方程，設(shè)點M的坐標(biāo)，由M到直線AP的距離等于|MB|，求出點M的坐標(biāo)，再求出橢圓上的點到點M的距離d的平方得解析式，配方求得最小值．
【解答】
解：(1)由已知可得點A(?6, 0)，F(xiàn)(4, 0).
設(shè)點P(x, y)，則AP→=(x+6, y)，F(xiàn)P→=(x?4, y)．
由已知可得x236+y220=1,(x+6)(x?4)+y2=0,
即2x2+9x?18=0，
解得x=32或x=?6．
由于y>0，只能x=32，于是y=532．
∴ 點P的坐標(biāo)是(32, 532)．
(2)直線AP的方程是 y?0532?0=x+632+6，
即x?3y+6=0．
設(shè)點M(m, 0)，則M到直線AP的距離是|m+6|2，
于是|m+6|2=|6?m|.
又?6≤m≤6，解得m=2，故點M(2, 0)．
設(shè)橢圓上的點Q(x1, y1)到點M的距離為d，
有d2=(x1?2)2+y12=x12?4x1+4+20?59x12
=49(x1?92)2+15.
∵ ?6≤x1≤6，
∴ 當(dāng)x=92時，d取得最小值為15．
【答案】
解：(1)設(shè)雙曲線方程為x2a2?y2b2=1(a>0, b>0)，
由已知得a=3，c=2，
再由a2+b2=22，得b2=1.
故雙曲線C的方程為x23?y2=1.
(2)將y=kx+2代入x23?y2=1，得(1?3k2)x2?62kx?9=0.
由直線l與雙曲線交于不同的兩點，
得1?3k2≠0，Δ=(62k)2+36(1?3k2)=36(1?k2)>0，
即k2≠13且k22得xAxB+yAyB>2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+2)(kxB+2)
=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2
=(k2+1)??91?3k2+2k?62k1?3k2+2=3k2+73k2?1，
于是3k2+73k2?1>2，即?3k2+93k2?1>0，
解此不等式得130，
即k2≠13且k22得xAxB+yAyB>2，
而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+2)(kxB+2)
=(k2+1)xAxB+2k(xA+xB)+2
=(k2+1)??91?3k2+2k?62k1?3k2+2=3k2+73k2?1，
于是3k2+73k2?1>2，即?3k2+93k2?1>0，
解此不等式得13

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