1. 若A(?1, 0, 1)，B(1, 4, 7)在直線l上，則直線l的一個方向向量為（ ）
A.(1, 2, 3)B.(1, 3, 2)C.(2, 1, 3)D.(3, 2, 1)

2. 直線2ax+y?2＝0與直線x?(a+1)y+2＝0互相垂直，則這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ）
A.(?25,?65)B.(25,65)C.(25,?65)D.(?25,65)

3. 對于空間任意一點(diǎn)O和不共線得三點(diǎn)A、B、C，有如下關(guān)系：OP→=16OA→+13OB→+12OC→，則（ ）
A.四點(diǎn)O、A、B、C必共面B.四點(diǎn)P、A、B、C必共面
C.四點(diǎn)O、P、B、C必共面D.五點(diǎn)O、P、A、B，C必共面

4. 已知點(diǎn)A(2, ?3)，B(?3, ?2)，直線m過P(1, 1)，且與線段AB相交，求直線m的斜率k的取值范圍為（ ）
A.k≥34k≤?4B.k≥34k≤?14C.?4≤k≤34D.34≤k≤4

5. 若直線l1:x+ay+6=0與l2：(a?2)x+3y+2a=0平行，則l1與l2間的距離為（ ）
A.2B.823C.3D.833

6. 已知A(4, 1, 3)，B(2, ?5, 1)，C是線段AB上一點(diǎn)，且|AC→||AB→|=13，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A.(72, ?12, 52)B.(83, ?3, 2)C.(103, ?1, 73)D.(52, ?72, 32)

7. 若直線l1:y＝kx?k+1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(3, 3)對稱，則直線l2一定過定點(diǎn)（ ）
A.(3, 1)B.(2, 1)C.(5, 5)D.(0, 1)

8. 在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若PA→=a→，PB→=b→，PC→=c→，則BE→=( )

A.12a→?12b→+12c→；B.12a→?12b→?12c→
C.12a→?32b→+12c→D.12a→?12b→+32c→

9. 已知直線l:y＝x+m與曲線x=4?y2有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A.[?2, 22)B.(?22, ?2]C.[2, 22)D.(?22, 2]
二、填空題

已知a→=(2, 1, 3)，b→=(?4, 2, x)且a→⊥b→，則|a→?b→|=________．

直線l:x?y+1＝0與圓C:x2+y2+2ay+a2?2＝0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．

如圖所示，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，若E為D1C1的中點(diǎn)，則直線A1C1與DE所成角的余弦值為________．


圓(x?2)2+(y?1)2＝3關(guān)于直線3x+5y+6＝0對稱的圓的方程為________．

如圖，在長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1=2，E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，則點(diǎn)E到直線AF距離為________．


直線l與圓C：(x+1)2+(y?2)2＝2相切，且在x軸、y軸上的截距相等，則直線l的方程為________．
三、解答題

（文科生做）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C1：(x?4)2+(y?5)2=4和圓C2：(x+3)2+(y?1)2=4，
（1）若直線l1過點(diǎn)A(2, 0)，且與圓C1相切，求直線l1的方程；

（2）若直線l2過點(diǎn)B(4, 0)，且被圓C2截得的弦長為23，求直線l2的方程．

分別根據(jù)下列條件，求圓的方程：
（1）過點(diǎn)A(?4, 0)，B(0, 2)和原點(diǎn)；

（2）與兩坐標(biāo)軸均相切，且圓心在直線2x?3y+5＝0上．

已知三棱柱ABC?A1B1C1，AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝AA1，AB⊥AC，D為線段AC的中點(diǎn)．

（1）證明：B1C // 平面BA1D；

（2）求二面角B?A1D?C的余弦值．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB // CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的中點(diǎn)．二面角P?AC?E的余弦值為63．

（1）求直線PA與平面EAC所成角的正弦值；

（2）求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四邊形ABCD滿足AB⊥AD，BC // AD且BC=4，點(diǎn)M為PC中點(diǎn)，點(diǎn)E為BC邊上的動點(diǎn)，且BEEC=λ．

1求證：平面ADM⊥平面PBC；

2是否存在實(shí)數(shù)λ，使得二面角P?DE?B的余弦值為23，若存在，試求實(shí)數(shù)λ的值；若不存在，說明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年天津某校高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題
1.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
直線的方向向量
【解析】
由題意可得首先求出直線上的一個向量AB→，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示即可得出答案．
【解答】
解：由題意可得：直線l的一個方向向量 AB→=(2, 4, 6)，
又∵ (1, 2, 3)=12(2, 4, 6)，
∴ (1, 2, 3)是直線l的一個方向向量．
故選A．
2.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系
【解析】
a＝?1時，直線分別化為：2x?y+2＝0，x+2＝0，此時兩條直線不垂直．a(chǎn)≠?1時，利用兩條直線垂直可得：?2a×1a+1=?1，解得a．聯(lián)立方程解出即可得出．
【解答】
a＝?1時，直線分別化為：2x?y+2＝0，x+2＝0，此時兩條直線不垂直．
a≠?1時，由兩條直線垂直可得：?2a×1a+1=?1，解得a＝1．
綜上可得：a＝1．
聯(lián)立2x+y?2=0x?2y+2=0 ，解得x=25，y=65．
∴ 這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(25,65)．
3.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
空間向量的基本定理及其意義
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
【解析】
由共面向量基本定理、空間向量基本定理即可得出．
【解答】
由OP→=16OA→+13OB→+12OC→，16+13+12=1，可得四點(diǎn)P、A、B、C必共面．
4.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
二元一次不等式（組）與平面區(qū)域
【解析】
根據(jù)題意，設(shè)直線m的方程為y?1＝k(x?1)，分析可得若直線m與線段AB相交，即A、B在直線的兩側(cè)或直線上，則有[(?3)?2k+k?1][(?2)?(?3)k+k?1]≤0，解可得k的范圍，即可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，直線m過P(1, 1)，設(shè)直線m的方程為y?1＝k(x?1)，
即y?kx+k?1＝0，
若直線m與線段AB相交，即A、B在直線的兩側(cè)或直線上，
則有[(?3)?2k+k?1][(?2)?(?3)k+k?1]≤0，
解可得：k≥34或k≤?4；
5.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
兩條平行直線間的距離
直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系
【解析】
此題暫無解析
【解答】
由l1//l2，知3=aa?2且a3≠62a，求得a=?1，所以l1:x?y+6=0,l2:x?y+23=0，兩條平行直線l1與l2間的距離為
d=6?2312+?12=823．
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
【解析】
利用向量的線性運(yùn)算即可得出．
【解答】
解：∵ ACAB=13，∴ AC→=13AB→，
∴ OC→=OA→+13(OB→?OA→)=23OA→+13OB→=23(4,1,3)+13(2,?5,1)=(103，?1，73)．
故選C．
7.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程
直線系方程
【解析】
先找出直線l1恒過定點(diǎn)(1, 1)，其關(guān)于點(diǎn)(3, 3)對稱點(diǎn)(5, 5)在直線l2上，可得直線l2恒過定點(diǎn)．
【解答】
由于直線l1:y＝k(x?1)+1恒過定點(diǎn)(1, 1)，其關(guān)于點(diǎn)(3, 3)對稱的點(diǎn)為(5, 5)，
又由于直線l1:y＝k(x?1)+1與直線l2關(guān)于點(diǎn)(3, 3)對稱，
∴ 直線l2恒過定點(diǎn)(5, 5)．
8.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
數(shù)量積表示兩個向量的夾角
【解析】
根據(jù)底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，向量加法的平行四邊形法則得到BE→=12(BP→+BD→)，而BD→=BA→+BC→=(PA→?PB→)+(PC→?PB→)，即可求得BE→的結(jié)果．
【解答】
BE→=12(BP→+BD→)=?12PB→+12(BA→+BC→)
=?12PB→+12BA→+12BC→=?12PB→+12(PA→?PB→)+12(PC→?PB→)
=?32PB→+12PA→+12PC→=12a→?32b→+12c→．
9.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
把已知曲線方程變形，畫出圖形，數(shù)形結(jié)合得答案．
【解答】
由x=4?y2，得x2+y2＝4(x≥0)，
如圖，
當(dāng)直線l:y＝x+m與x2+y2＝4(x≥0)相切時，m=?22．
∴ 若直線l:y＝x+m與曲線x=4?y2有兩個公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(?22, ?2]．
二、填空題
【答案】
38
【考點(diǎn)】
平面向量數(shù)量積的運(yùn)算
向量的模
【解析】
由垂直可得數(shù)量積為0，進(jìn)而可得x值，可得向量a→?b→的坐標(biāo)，由模長公式可得．
【解答】
解：∵ a→=(2,1,3)，b→=(?4,2,x)，且a→⊥b→，
∴ a→?b→=2×(?4)+1×2+3x=0，解得x=2，
故a→?b→=(2, 1, 3)?(?4, 2, 2)=(6, ?1, 1)，
∴ |a→?b→|=62+(?1)2+12=38，
【答案】
[?3, 1]
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
利用圓心到直線的距離小于等于半徑，求出a的取值范圍．
【解答】
圓C:x2+y2+2ay+a2?2＝0，即圓C:x2+(y+a)2＝2，
根據(jù)題意，圓心(0, ?a)到直線x?y+1＝0的距離d=|0+a+1|2≤2，
故|a+1|≤2，
所以a∈[?3, 1]，
【答案】
1010
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
取A1D1的中點(diǎn)F，連接EF，DF，則EF // A1C1，則∠DEF為直線A1C1與DE所成角，設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2a，求解三角形得答案．
【解答】
如圖，
取A1D1的中點(diǎn)F，連接EF，DF，
則EF // A1C1，則∠DEF為直線A1C1與DE所成角，
設(shè)正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為2a，
則EF=12A1C1=2a，DE＝DF=(2a)2+a2=5a，
∴ cs∠DEF=5a2+2a2?5a22×2a×5a=1010．
∴ 直線A1C1與DE所成角的余弦值為1010．
【答案】
(x+1)2+(y+4)2＝3
【考點(diǎn)】
關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的圓的方程
【解析】
根據(jù)兩圓關(guān)于直線對稱，得兩圓圓心關(guān)于直線對稱，由此求出對稱圓圓心，然后求解圓的方程．
【解答】
設(shè)對稱圓的圓心為(a, b)，
則依題意，得b?1a?2=533×a+22+5×b+12+6=0 ，
解得a＝?1，b＝?4，
對稱圓的圓心(?1, ?4)，半徑為3，
對稱圓的方程為(x+1)2+(y+4)2＝3．
【答案】
23311
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計算
【解析】
計算△AEF的邊長和面積，利用面積公式求出E到AF的距離．
【解答】
連接CD1，AE，AF，
∵ E，F(xiàn)分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心，
∴ EF是△B1CD1的中位線，∴ EF=12CD1=62，
∵ AA1⊥平面A1B1C1D1，∴ AA1⊥A1E，
∴ AE=AA12+A1E2=2，同理可得AF=222，
∴ EF2+AE2＝AF2，∴ AE⊥EF，
∴ S△AEF=12×2×62=62，
設(shè)點(diǎn)E到直線AF距離為d，則S△AEF=12×AF×d=22d4，
∴ d=23311．
【答案】
(?2?6)x+y＝0或(?2+6)x+y＝0或x+y+1＝0，或x+y?3＝0
【考點(diǎn)】
圓的切線方程
【解析】
由圓的方程求出圓心坐標(biāo)和半徑，分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離等于圓的半徑求得相應(yīng)系數(shù)，即可求得直線方程．
【解答】
圓C：(x+1)2+(y?2)2＝2的圓心坐標(biāo)為(?1, 2)，半徑為2，
若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零，設(shè)直線方程為x+y?a＝0，
由|?1+2?a|2=2，得|a?1|＝2，即a＝?1，或a＝3．
∴ 直線方程為x+y+1＝0，或x+y?3＝0；
若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零，設(shè)直線方程為kx+y＝0，
由|?k+2|k2+1=2，得k＝?2±6，
∴ 直線方程為(?2±6)x+y＝0．
綜上所述，直線方程為(?2?6)x+y＝0或(?2+6)x+y＝0或x+y+1＝0，或x+y?3＝0．
三、解答題
【答案】
解：（1）直線x=2滿足題意，
直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x?2)，即kx?y?2k=0，
∴ 圓心到直線的距離|2k?5|k2+1=2，
∴ k=2120，
∴ 直線方程為y=2120(x?2)，
綜上所述，直線方程為y=2120(x?2)或x=2；
（2）由題意直線l2的斜率存在，設(shè)l2方程為：y=k(x?4)，即kx?y?4k=0，
圓C2：(x+3)2+(y?1)2=4的半徑r=2，
設(shè)圓C2的圓心到直線l2的距離為d，
∵ l被⊙C1截得的弦長為23，
∴ 圓心(?3, 1)到直線的距離d=1，
即|?3k?1?4k|1+k2=1，
即k(24k+7)=0即k=0或k=?724，
∴ 直線l2的方程為：y=0或7x+24y?28=0，
【考點(diǎn)】
直線與圓的位置關(guān)系
【解析】
（1）分類討論，利用點(diǎn)到直線的距離等于半徑，求出k，即可求直線l1的方程；
（2）根據(jù)直線和圓相交的弦長公式設(shè)出直線斜率，根據(jù)半弦長、半徑、弦心距滿足勾股定理，解方程求出k值，代入即得直線l的方程．
【解答】
解：（1）直線x=2滿足題意，
直線斜率存在時，設(shè)直線方程為y=k(x?2)，即kx?y?2k=0，
∴ 圓心到直線的距離|2k?5|k2+1=2，
∴ k=2120，
∴ 直線方程為y=2120(x?2)，
綜上所述，直線方程為y=2120(x?2)或x=2；
（2）由題意直線l2的斜率存在，設(shè)l2方程為：y=k(x?4)，即kx?y?4k=0，
圓C2：(x+3)2+(y?1)2=4的半徑r=2，
設(shè)圓C2的圓心到直線l2的距離為d，
∵ l被⊙C1截得的弦長為23，
∴ 圓心(?3, 1)到直線的距離d=1，
即|?3k?1?4k|1+k2=1，
即k(24k+7)=0即k=0或k=?724，
∴ 直線l2的方程為：y=0或7x+24y?28=0，
【答案】
根據(jù)題意，要求圓經(jīng)過點(diǎn)A(?4, 0)，B(0, 2)和原點(diǎn)，
而△OAB為直角三角形，其AB為斜邊，
則要求圓是直角△OAB的外接圓，其圓心為AB的中點(diǎn)，半徑為12|AB|，
則要求圓的圓心為(?2, 1)，半徑r=12|AB|=12×16+4=5，
則要求圓的方程為(x+2)2+(y?1)2＝5；
根據(jù)題意，要求圓的圓心在直線2x?3y+5＝0上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a, 2a+53)，
又由要求圓與兩坐標(biāo)軸均相切，則有|a|＝|2a+53|，
解可得：a＝5，或a＝?1．
若a＝5，則圓心為(5, 5)，半徑為5，圓的方程為 (x?5)2+(y?5)2＝25，
若a＝?1，則圓心為(?1, 1)，半徑為1，圓的方程為 (x+1)2+(y?1)2＝1，
故要求圓的方程為(x?5)2+(y?5)2＝25或 (x+1)2+(y?1)2＝1．
【考點(diǎn)】
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
【解析】
（1）根據(jù)題意，分析可得要求圓是直角△OAB的外接圓，可得外接圓的圓心與半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得答案，
（2）根據(jù)題意，設(shè)要求圓的圓心的坐標(biāo)為(a, 2a+53)，則有|a|＝|2a+53|，解可得a的值，即可得圓心的坐標(biāo)，分析圓的半徑，由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析可得答案．
【解答】
根據(jù)題意，要求圓經(jīng)過點(diǎn)A(?4, 0)，B(0, 2)和原點(diǎn)，
而△OAB為直角三角形，其AB為斜邊，
則要求圓是直角△OAB的外接圓，其圓心為AB的中點(diǎn)，半徑為12|AB|，
則要求圓的圓心為(?2, 1)，半徑r=12|AB|=12×16+4=5，
則要求圓的方程為(x+2)2+(y?1)2＝5；
根據(jù)題意，要求圓的圓心在直線2x?3y+5＝0上，設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a, 2a+53)，
又由要求圓與兩坐標(biāo)軸均相切，則有|a|＝|2a+53|，
解可得：a＝5，或a＝?1．
若a＝5，則圓心為(5, 5)，半徑為5，圓的方程為 (x?5)2+(y?5)2＝25，
若a＝?1，則圓心為(?1, 1)，半徑為1，圓的方程為 (x+1)2+(y?1)2＝1，
故要求圓的方程為(x?5)2+(y?5)2＝25或 (x+1)2+(y?1)2＝1．
【答案】
證明：連接AB1交A1B于E，
則AE＝EB1，又D為AC中點(diǎn)，
∴ 在△AB1C中，B1C // DE，DE?平面BA1D，
B1C?平面BA1D，∴ B1C // 平面BA1D．
以AC，AB，AA1分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，
則A1(0, 0, 2)，B(0, 2, 0)，D(1, 0, 0)，C(2, 0, 0)，
設(shè)平面BA1D法向量n→=(x, y, z)，
BA1→=(0, ?2, 2)，BD→=(1, ?2, 0)，
則n→?BA1→=?2y+2z=0n→?BD→=x?2y=0 ，則n→=(2, 1, 1)，
同理平面CA1D的法向量m→=(0, 1, 0)，
則|csθ|=16×1=66，
∵ 二面角B?A1D?C為鈍角，
∴ 二面角B?A1D?C的余弦值為?66．
【考點(diǎn)】
直線與平面平行
二面角的平面角及求法
【解析】
（1）連接AB1交A1B于E，則AE＝EB1，由D為AC中點(diǎn)，得到B1C // DE，由此能證明B1C // 平面BA1D．
（2）以AC，AB，AA1分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B?A1D?C的余弦值．
【解答】
證明：連接AB1交A1B于E，
則AE＝EB1，又D為AC中點(diǎn)，
∴ 在△AB1C中，B1C // DE，DE?平面BA1D，
B1C?平面BA1D，∴ B1C // 平面BA1D．
以AC，AB，AA1分別x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB＝2，
則A1(0, 0, 2)，B(0, 2, 0)，D(1, 0, 0)，C(2, 0, 0)，
設(shè)平面BA1D法向量n→=(x, y, z)，
BA1→=(0, ?2, 2)，BD→=(1, ?2, 0)，
則n→?BA1→=?2y+2z=0n→?BD→=x?2y=0 ，則n→=(2, 1, 1)，
同理平面CA1D的法向量m→=(0, 1, 0)，
則|csθ|=16×1=66，
∵ 二面角B?A1D?C為鈍角，
∴ 二面角B?A1D?C的余弦值為?66．
【答案】
取AB的中點(diǎn)F，連接CF，
∵ CD // AB，CD=12AB＝AF，AB⊥AD，AD＝CD，
∴ 四邊形ADCF是正方形，
∴ CF⊥AB，∴ CF⊥CD，
以C為原點(diǎn)，以CD，CF，CP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，
設(shè)PC＝h，則C(0, 0, 0)，A(1, 1, 0)，E(?12, 12, h2)，P(0, 0, h)，
∴ CA→=(1, 1, 0)，CE→=(?12, 12, h2)，AP→=(?1, ?1, h)，
設(shè)平面ACE的法向量為m→=(x, y, z)，則m→?CA→=0m→?CE→=0 ，即x+y=0?12x+12y+h2z=0 ，
令x＝1可得m→=(1, ?1, 2h)，
同理可得平面PAC的一個法向量為n→=(1, ?1, 0)，
∴ cs=m→?n→|m→||n→|=22×2+4h2，
∵ 二面角P?AC?E的余弦值為63，∴ 22×2+4h2=63，解得h＝2，
∴ AP→=(?1, ?1, 2)，m→=(1, ?1, 1)，
∴ cs=AP→?m→|AP→||m→|=26×3=23，
∴ 直線PA與平面EAC所成角的正弦值為|cs|=23．
CD→=(1, 0, 0)，cs=CD→?m→|CD→||m→|=11×3=33，
設(shè)直線CD與平面EAC所成角為α，則sinα=33，
∴ D到平面EAC的距離為|CD→|?sinα=33．
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計算
二面角的平面角及求法
直線與平面所成的角
【解析】
（1）建立空間坐標(biāo)系，根據(jù)二面角大小計算PC，得出平面EAC的法向量n→，計算PA→與n→的夾角得出線面角的正弦值；
（2）計算CD與平面ACE的夾角正弦值，再計算D到平面ACE的距離．
【解答】
取AB的中點(diǎn)F，連接CF，
∵ CD // AB，CD=12AB＝AF，AB⊥AD，AD＝CD，
∴ 四邊形ADCF是正方形，
∴ CF⊥AB，∴ CF⊥CD，
以C為原點(diǎn)，以CD，CF，CP所在直線為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系C?xyz，
設(shè)PC＝h，則C(0, 0, 0)，A(1, 1, 0)，E(?12, 12, h2)，P(0, 0, h)，
∴ CA→=(1, 1, 0)，CE→=(?12, 12, h2)，AP→=(?1, ?1, h)，
設(shè)平面ACE的法向量為m→=(x, y, z)，則m→?CA→=0m→?CE→=0 ，即x+y=0?12x+12y+h2z=0 ，
令x＝1可得m→=(1, ?1, 2h)，
同理可得平面PAC的一個法向量為n→=(1, ?1, 0)，
∴ cs=m→?n→|m→||n→|=22×2+4h2，
∵ 二面角P?AC?E的余弦值為63，∴ 22×2+4h2=63，解得h＝2，
∴ AP→=(?1, ?1, 2)，m→=(1, ?1, 1)，
∴ cs=AP→?m→|AP→||m→|=26×3=23，
∴ 直線PA與平面EAC所成角的正弦值為|cs|=23．
CD→=(1, 0, 0)，cs=CD→?m→|CD→||m→|=11×3=33，
設(shè)直線CD與平面EAC所成角為α，則sinα=33，
∴ D到平面EAC的距離為|CD→|?sinα=33．
【答案】
1證明：取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN，AN，如圖所示，
∵ M是PC中點(diǎn)，
∴ MN // BC,MN=12BC=2，
又∵ BC // AD，
∴ MN // AD，MN=AD，
∴ 四邊形ADMN為平行四邊形，
∵ AP⊥AD，AB⊥AD，
∴ AD⊥平面PAB，
∴ AD⊥AN，∴ AN⊥MN，
∵ AP=AB，∴ AN⊥PB，
∴ AN⊥平面PBC，
∵ AN?平面ADM，
∴ 平面ADM⊥平面PBC．
2解：存在符合條件的λ．
以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，
設(shè)E(2, t, 0)，P(0, 0, 2)，D(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)
從而PD→=(0,2,?2)，DE→=(2,t?2,0)，
則平面PDE的法向量為n1→=(2?t,2,2)，
又平面DEB即為xAy平面，其法向量n2→=(0,0,1)，
則cs=n→1?n→2|n1→|?|n2→|
=2(2?t)2+4+4=23，
解得t=3或t=1，所以
λ=3或λ=13．
【考點(diǎn)】
用空間向量求平面間的夾角
平面與平面垂直的判定
【解析】
（1）取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，由已知得四邊形ADMN為平行四邊形，由AP⊥AD，AB⊥AD，得AD⊥平面PAB，從而AN⊥MN，由AP=AB，得AN⊥PB，由此能證明平面ADM⊥平面PBC．
（2）以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，求出平面PDE的法向量和平面DEB的法向量，利用向量法能求出λ=3或λ=13．
【解答】
1證明：取PB中點(diǎn)N，連結(jié)MN、AN，如圖所示，
∵ M是PC中點(diǎn)，
∴ MN // BC,MN=12BC=2，
又∵ BC // AD，
∴ MN // AD，MN=AD，
∴ 四邊形ADMN為平行四邊形，
∵ AP⊥AD，AB⊥AD，
∴ AD⊥平面PAB，
∴ AD⊥AN，∴ AN⊥MN，
∵ AP=AB，∴ AN⊥PB，
∴ AN⊥平面PBC，
∵ AN?平面ADM，
∴ 平面ADM⊥平面PBC．
2解：存在符合條件的λ．
以A為原點(diǎn)，AB方向?yàn)閤軸，AD方向?yàn)閥軸，AP方向?yàn)閦軸，
建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?xyz，
設(shè)E(2, t, 0)，P(0, 0, 2)，D(0, 2, 0)，B(2, 0, 0)
從而PD→=(0,2,?2)，DE→=(2,t?2,0)，
則平面PDE的法向量為n1→=(2?t,2,2)，
又平面DEB即為xAy平面，其法向量n2→=(0,0,1)，
則cs=n→1?n→2|n1→|?|n2→|
=2(2?t)2+4+4=23，
解得t=3或t=1，
所以λ=3或λ=13．

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