1. 下列說法錯誤的是（ ）
A.設(shè)a→，b→是兩個空間向量，則a→，b→一定共面
B.設(shè)a→，b→是兩個空間向量，則a→?b→=b→?a→
C.設(shè)a→，b→，c→是三個空間向量，則a→，b→，c→一定不共面
D.設(shè)a→，b→，c→是三個空間向量，則a→?(b→+c→)=a→?b→+a→?c→

2. 在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(4, ?3, 5)，B(?2, 1, ?7)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（ ）
A.(2, ?2, ?2)B.(1, ?1, ?1)C.(1, 1, 1)D.(2, 2, 2)

3. 如圖，在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，若BD1→=xAB→+yAD→+zAA1→，則(x, y, z)=( )

A.(?1, 1, 1)B.(1, ?1, 1)C.(1, 1, ?1)D.(?1, ?1, ?1)

4. 如圖，在單位正方體ABCD?A1B1C1D1中，以D為原點(diǎn)，DA→，DC→，DD1→為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面A1BC1的法向量是（ ）

A.(1, 1, 1)B.(?1, 1, 1)C.(1, ?1, 1)D.(1, 1, ?1)

5. 已知空間向量a→=(3, 0, 4)，b→=(?3, 2, 5)，則向量b→在向量a→上的投影向量是（ ）
A.1125(?3, 2, 5)B.1138(?3, 2, 5)C.1125(3, 0, 4)D.1138(3, 0, 4)

6. 已知兩條異面直線的方向向量分別是u→=(3, 1, ?2)，v→=(3, 2, 1)，則這兩條異面直線所成的角θ滿足（ ）
A.sinθ=914B.sinθ=14C.csθ=914D.csθ=14

7. 已知平面α={P|n→?P0P→=0}，其中點(diǎn)P0(1, 2, 3)，法向量n→=(1, 1, 1)，則下列各點(diǎn)中不在平面α內(nèi)的是（ ）
A.(3, 2, 1)B.(?2, 5, 4)C.(?3, 4, 5)D.(2, ?4, 8)

8. 定義：兩條異面直線之間的距離是指其中一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線距離的最小值，則在單位正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線AC與BC1之間的距離是（ ）
A.22B.33C.12D.13

9. 直線3x?y+2=0的傾斜角為（ ）
A.30°B.60°C.120°D.150°

10. 如果AB>0，BC>0，那么直線Ax?By?C=0不經(jīng)過的象限是（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

已知空間向量a→=(1, 0, 2)，b→=(?2, 1, 3)，則a→?2b→=________．

已知空間向量a→=(?2, 1, 5)，b→=(1, 3, ?4)，則a→?b→=________．

已知空間向量a→=(1, ?2, 3)，則向量a→在坐標(biāo)平面Oxy上的投影向量是________．

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=4，BC=2，CC1=3，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，則平面D1EF的一個法向量是________．


在三棱錐PABC中，G為△ABC的重心，設(shè)PA→=a，PB→=b，PC→=c，則PG→=________（用a，b，c表示）．

已知矩形ABCD，AB=20，BC=15，沿對角線AC將△ABC折起，使得BD=481，則二面角B?AC?D的大小是________.

直線ax+2y+6=0與直線x+(a?1)y+a2?1=0平行，則兩直線間的距離為________．

已知點(diǎn)A(?3, 4)，B(2, 2)，直線mx+y+m+2=0與線段AB相交，則m的范圍為________．
三、解答題（解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驤）

求經(jīng)過直線l1:3x+4y?5=0，l2:2x?3y+8=0的交點(diǎn)M，且滿足下列條件的直線的方程．
（1）經(jīng)過點(diǎn)P(1, 3)；

（2）與直線2x+y+5=0平行；

（3）與直線2x+y+5=0垂直．

如圖，長方體ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，BC=CC1=1，若在CD上存在點(diǎn)E，使得A1E⊥平面AB1D1．

（1）求DE的長；

（2）求平面AB1D1與平面BB1E夾角的余弦值．

如圖，△ABC是邊長為2的正三角形，△ABD是以AB為斜邊的等腰直角三角形，已知CD=2．

（1）求證：平面ABC⊥平面ABD；

（2）求直線AC與平面BCD所成角的正弦值．

如圖，四棱錐P?ABCD中，△PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BC // AD，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E為PD的中點(diǎn)．

（1）證明：CE // 平面PAB；

（2）求直線CE與平面PAB間的距離．
參考答案與試題解析
2020-2021學(xué)年天津某校高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分。共30分.）
1.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
命題的真假判斷與應(yīng)用
【解析】
由向量的平移可判斷A，C；由向量數(shù)量積滿足交換律、分配律可判斷B，D．
【解答】
A，設(shè)a→，b→是兩個空間向量，則a→，b→一定共面，正確，因為向量可以平移；
B，設(shè)a→，b→是兩個空間向量，則a→?b→=b→?a→，正確，因為向量的數(shù)量積滿足交換律；
C，設(shè)a→，b→，c→是三個空間向量，則a→，b→，c→一定不共面，錯誤，因為任何向量都可以平移為共面向量；
D，設(shè)a→，b→，c→是三個空間向量，則a→?(b→+c→)=a→?b→+a→?c→，正確，因為向量的數(shù)量積滿足乘法對加法的分配律．
2.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
空間中的點(diǎn)的坐標(biāo)
【解析】
利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解．
【解答】
在空間直角坐標(biāo)系中，
點(diǎn)A(4, ?3, 5)，B(?2, 1, ?7)，
則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1, ?1, ?1)．
3.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示
空間向量的基本定理及其意義
向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義
空間向量
【解析】
利用向量的加法公式，對向量BD1→進(jìn)行分解，進(jìn)而求出x，y，z的值．
【解答】
BD1→＝BB1→+B1D1→，又因BB1→＝AA1→，B1D1→＝BD→＝AD→?AB→，
∴ BD1→＝AA1→+AD→?AB→=xAB→+yAD→+zAA1→，
∴ x=?1，y=1，z=1，
4.
【答案】
A
【考點(diǎn)】
平面的法向量
【解析】
以D為原點(diǎn)，DA→，DC→，DD1→為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面A1BC1的法向量．
【解答】
在單位正方體ABCD?A1B1C1D1中，
以D為原點(diǎn)，DA→，DC→，DD1→為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，
A1(1, 0, 1)，B(1, 1, 0)，C1(0, 1, 1)，
BA1→=(0, 1, ?1)，BC1→=(?1, 0, 1)，
設(shè)平面A1BC1的法向量是n→=(x, y, z)，
則n→?BC1→＝?x+z＝0˙，取x=1，得n→=(1, 1, 1)，
∴ 平面A1BC1的法向量是(1, 1, 1)．
5.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
空間向量的數(shù)量積運(yùn)算
【解析】
由向量b→在向量a→上的投影向量為|a→|csb→|b→|，計算即可求出答案．
【解答】
向量a→=(3, 0, 4)，b→=(?3, 2, 5)，
則|a→|=5，|b→|=38，a→?b→=11，
所以向量b→在向量a→上的投影向量為
|a→|csb→|b→|=|a→||a→||b→|˙b→|b→|=5×115×38×b→38=1138b→=1138(?3, 2, 5)．
6.
【答案】
C
【考點(diǎn)】
異面直線及其所成的角
【解析】
由已知兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，然后利用數(shù)量積求夾角公式得答案．
【解答】
∵ 兩條異面直線的方向向量分別是u→=(3, 1, ?2)，v→=(3, 2, 1)，
∴ u→?v→＝3×3+1×2+(?2)×1＝9，
|u→|＝32+12+(?2)2＝14，|v→|＝32+22+12＝14，
又兩條異面直線所成的角為θ，則csθ=|cs|=|u→|?|v→|˙=914?14＝914．
7.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
平面的法向量
【解析】
結(jié)合各個選項分別求出P0P→，計算n→?P0P→的值是否為0，從而得出結(jié)論．
【解答】
對于B，P0P→=(?3, 3, 1)，n→?P0P→=1×(?3)+1×3+1×1=1≠0，故選項B不在平面α內(nèi)（1）對于C，P0P→=(?4, 2, 2)，n→?P0P→=1×(?4)+1×2+1×2=0，故選項C在平面α內(nèi)（2）對于D，P0P→=(1, ?6, 5)，n→?P0P→=1×1+1×(?6)+1×5=0，故選項D在平面α內(nèi)．
故選：B．
8.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
點(diǎn)、線、面間的距離計算
【解析】
在AC上任取點(diǎn)M，作MN⊥BC1，設(shè)設(shè)AM→=λAC→，BN→=μBC1→，根據(jù)MN→⊥BC1→得出λ和μ的關(guān)系，從而可得|MN→|關(guān)于μ（或λ）的函數(shù)關(guān)系，再求出此函數(shù)的最小值即可．
【解答】
設(shè)M為直線AC上任意一點(diǎn)，過M作MN⊥BC1，垂足為N，
設(shè)AM→=λAC→=λAB→+λAD→，BN→=μBC1→=μAD→+μAA1→，
則MN→=AN→?AM→=AB→+BN→?AM→=(1?λ)AB→+(μ?λ)AD→+μAA1→，
BC1→=AD→+AA1→，
∵ MN⊥BC1，∴ MN→?BC1→=0，
即[(1?λ)AB→+(μ?λ)AD→+μAA1→]?(AD→+AA1→)=0，
∴ (μ?λ)AD→2+μAA1→2=0，即μ?λ+μ=0，
∴ λ=2μ，
∴ MN→=(1?2μ)AB→?μAD→+μAA1→，
∴ |MN→|=(1?2μ)2+μ2+μ2=6μ2?4μ+1=6(μ?13)2+13，
∴ 當(dāng)μ=13時，|MN→|取得最小值13=33，
故直線AC與BC1之間的距離是33．
9.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系
【解析】
先求出直線的斜率，再根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系及傾斜角的范圍，求出傾斜角的大?。?br>【解答】
直線3x?y+2＝0的斜率等于3，
又因為直線的斜率等于傾斜角的正切值，且傾斜角大于或等于0度小于180度，
故直線的傾斜角為60°，
10.
【答案】
B
【考點(diǎn)】
直線的一般式方程與直線的性質(zhì)
【解析】
化直線的方程為斜截式，由已知條件可得斜率和截距的正負(fù)，可得答案．
【解答】
解：由題意可知B≠0，故直線的方程可化為y=ABx?CB，
由AB>0，BC>0可得AB>0，?CB

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