考試要求 1.函數(shù)奇偶性的含義及判斷,B級(jí)要求;2.運(yùn)用函數(shù)的圖象理解、研究函數(shù)的奇偶性,A級(jí)要求;3.函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,周期性的判斷及應(yīng)用,B級(jí)要求.
知 識(shí) 梳 理1.函數(shù)的奇偶性
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
2.奇(偶)函數(shù)的性質(zhì)(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性 ,偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上的單調(diào)性 (填“相同”、“相 反”).(2)在公共定義域內(nèi)①兩個(gè)奇函數(shù)的和函數(shù)是 ,兩個(gè)奇函數(shù)的積函數(shù) 是 .②兩個(gè)偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)是 .③一個(gè)奇函數(shù),一個(gè)偶函數(shù)的積函數(shù)是 .(3)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且在x=0處有定義,則f(0)=0.
3.周期性(1)周期函數(shù):對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時(shí),都有f(x+T)= ,那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù),稱T為這個(gè)函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中 . 的正數(shù),那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正 周期.
基礎(chǔ)訓(xùn)練                  1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)函數(shù)y=x2,x∈(0,+∞)是偶函數(shù).( )(2)偶函數(shù)圖象不一定過(guò)原點(diǎn),奇函數(shù)的圖象一定過(guò)原點(diǎn).( )(3)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對(duì)稱.( )(4)函數(shù)f(x)在定義域上滿足f(x+a)=-f(x),則f(x)是周期為2a(a>0)的周期函數(shù).( )
3.(2014·新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷改編)設(shè)函數(shù)f(x),g(x)的定義域都為R,且f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),給出下列結(jié)論:①f(x)g(x)是偶函數(shù);②|f(x)|g(x)是奇函數(shù);③f(x)|g(x)|是奇函數(shù);④|f(x)g(x)|是奇函數(shù).則上述結(jié)論中正確的是________(填序號(hào)).
4.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),f(x)=x(1+x),則x<0時(shí),f(x)=________.解析 當(dāng)x<0時(shí),則-x>0,∴f(-x)=(-x)(1-x).又f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x)=(-x)(1-x),∴f(x)=x(1-x).答案 x(1-x)
2.已知f(x)在R上是奇函數(shù),且滿足f(x+4)=f(x),當(dāng)x∈(0,2)時(shí),f(x)=2x2,則f(2 015)=________.解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是以4為周期的周期函數(shù),∴f(2 015)=f(503×4+3)=f(3)=f(-1).又f(x)為奇函數(shù),∴f(-1)=-f(1)=-2×12=-2,即f(2 015)=-2.答案?。?
深度思考 你知道奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系了嗎(奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反)?在解決有關(guān)偶函數(shù)問(wèn)題時(shí),常利用f(x)=f(|x|)這一結(jié)論進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版必修1電子課本

2.2.2 函數(shù)的奇偶性

版本: 蘇教版

年級(jí): 必修1

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