授課提示：對應(yīng)學生用書第4頁
[教材提煉]
知識點一 子集的定義
eq \a\vs4\al(預(yù)習教材，思考問題)
A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4,5}；A與B之間有什么關(guān)系？能說A比B小嗎？
知識梳理 (1)Venn圖
用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖．
(2)子集
一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，就稱集合A為集合B的子集(subset)，記作A?B(或B?A)，讀作“A包含于B”(或“B包含A”)．
(3)一般地，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等，記作A＝B.也就是說，若A?B，且B?A，則A＝B.
知識點二 真子集
eq \a\vs4\al(預(yù)習教材，思考問題)
如果A?B，那么A與B有可能相等嗎？
知識梳理 如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，就稱集合A是集合B的真子集(prper subset)，記作AB(或BA)．
例如，A?B，但a∈B，且a?A，所以集合A是集合B的真子集．
知識點三 空集的定義
eq \a\vs4\al(預(yù)習教材，思考問題)
方程x2＋1＝0的解集是什么？
知識梳理 空集及表示
一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集(empty set)，記為?，并規(guī)定：空集是任何集合的子集．是任何非空集合的真子集．
知識點四 子集的性質(zhì)
eq \a\vs4\al(預(yù)習教材，思考問題)
A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，C＝{1,2,3,4,5}，A、B、C之間有什么關(guān)系？
知識梳理 (1)任何一個集合是它本身的子集，即A?A；
(2)對于集合A，B，C，如果A?B，且B?C，那么A?C.
(3)對于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC.
[自主檢測]
1．(教材P8練習2題改編)下列關(guān)系式正確的是( )
A．{0}?{0} B．{0}∈{0}
C．0＝{0} D．0?{0}
答案：A
2．下列集合中是空集的是( )
A．{?} B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|x＜4或x＞8} D．{x|x2＋2x＋1＝0}
答案：B
3．集合{a、b}的非空真子集為________．
答案：{a}，
4．用適當?shù)姆柼羁眨?br>(1)a________{a，b，c}；
(2)?________{x∈R|x2＋7＝0}；
(3){0}________(x|x2＝x)．
答案：(1)∈ (2)＝ (3)
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探究一 集合關(guān)系的判斷
[例1] 已知集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(n,2)－\f(1,3)，n∈Z))))，P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(p,2)＋\f(1,6)，p∈Z)))).試確定M，N，P之間的關(guān)系．
[解析] 集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).
關(guān)于集合N：
①當n是偶數(shù)時，令n＝2m(m∈Z)，
則N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z))))；
②當n是奇數(shù)時，令n＝2m＋1(m∈Z)，
則N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2m＋1,2)－\f(1,3)，m∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z)))).
從而，得MN.
關(guān)于集合P：①當p＝2m(m∈Z)時，
P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m＋\f(1,6)，m∈Z))))；
②當p＝2m－1(m∈Z)時，
P＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(2m－1,2)＋\f(1,6)，m∈Z))))
＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝m－\f(1,3)，m∈Z)))).
從而，得N＝P.綜上，知MN＝P.
判斷集合間關(guān)系的常用方法
(1)列舉觀察法
當集合中元素較少時，可列舉出集合中的全部元素，通過定義得出集合之間的關(guān)系．
(2)集合元素特征法
先確定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷得出集合之間的關(guān)系．
(3)數(shù)形結(jié)合法
利用數(shù)軸或Venn圖可清晰、明了地判斷集合間的關(guān)系，其中不等式的解集之間的關(guān)系，適合用數(shù)軸法．
1．集合A＝{x|(x－3)(x＋2)＝0}，B＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x－3,x＋2)＝0))))，則A與B的關(guān)系是( )
A．A?B B．A＝B
C．AB D．BA
解析：∵A＝{－2,3}，B＝{3}，∴BA.
答案：D
2．已知集合A＝{x|x＜－2或x＞0}，B＝{x|0＜x＜1}，則( )
A．A＝B B．AB
C．BA D．A?B
解析：在數(shù)軸上分別畫出集合A，B，如圖所示，由數(shù)軸知BA.
答案：C
探究二 子集、真子集及個數(shù)問題
[例2] [教材P8例1探究]
(1)已知集合A＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|0＜x＜5}，則滿足條件ACB的集合C的個數(shù)為( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 由x2－3x＋2＝0，得x＝1或x＝2，所以A＝{1,2}．由題意知B＝{1,2,3,4}，所以滿足條件的C可為{1,2,3}，{1,2,4}．
[答案] B
(2)寫出集合{a、b、c}的所有子集，并指出它的真子集有多少個？
[解析] 子集有：{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，?共8個．
真子集有：{a}，，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，?共7個．
(3)若集合A中有5個元素，不具體寫出子集．可猜到有多少個子集嗎？
[解析] 25＝32個．
1．元素個數(shù)與集合子集個數(shù)的關(guān)系
(1)探究.
(2)結(jié)論．
①A的子集的個數(shù)有2n個．
②A的非空子集的個數(shù)有(2n－1)(n≥1)個．
③A的非空真子集的個數(shù)有(2n－2)(n≥1)個．
2．求給定集合的子集的兩個關(guān)注點
(1)按子集中元素個數(shù)的多少，以一定的順序來寫．
(2)在寫子集時要注意不要忘記空集和集合本身．
提醒：真子集個數(shù)是在子集的基礎(chǔ)上去掉集合本身，做題時看清是真子集還是子集．
1．已知集合A＝{x∈R|x2＝a}，使集合A的子集個數(shù)為2的a的值為( )
A．－2 B．4
C．0 D．以上答案都不是
解析：由題意知，集合A中只有1個元素，必有x2＝a只有一個解；
若方程x2＝a只有一個解，必有a＝0.
答案：C
2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，則集合B的非空真子集的個數(shù)為( )
A．3 B．6
C．7 D．8
解析：由題意A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝mn，m，n∈A且m≠n}，可知B＝{6,8,12}，所以集合B的非空真子集個數(shù)為：23－2＝6.
答案：B
探究三 由集合間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍
[例3] 設(shè)集合A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}．
(1)若a＝eq \f(1,5)，試判定集合A與B的關(guān)系．
(2)若B?A，求實數(shù)a的取值集合．
[解析] (1)由x2－8x＋15＝0得x＝3或x＝5，故A＝{3,5}，當a＝eq \f(1,5)時，由ax－1＝0得x＝5.所以B＝{5}，所以BA.
(2)當B＝?時，滿足B?A，此時a＝0；當B≠?時，a≠0，集合B＝{eq \f(1,a)}，由B?A得eq \f(1,a)＝3或eq \f(1,a)＝5，所以a＝eq \f(1,3)或a＝eq \f(1,5).綜上所述，實數(shù)a的取值集合為eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)，\f(1,5))).
根據(jù)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的兩種方法
(1)當集合為不連續(xù)數(shù)集時，常根據(jù)集合包含關(guān)系的意義，建立方程求解，此時應(yīng)注意分類討論思想的運用；
(2)當集合為連續(xù)數(shù)集時，常借助數(shù)軸來建立不等關(guān)系求解，此時應(yīng)注意端點處是實點還是虛點．
已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}，若AB，求a的取值范圍．
解析：由題意，在數(shù)軸上表示出集合A，B，如圖所示：
若AB，由圖可知，a＞2.
授課提示：對應(yīng)學生用書第6頁
一、相逢又相識——∈、?、及0、{0}、?、{?}的區(qū)別與聯(lián)系eq \x(?邏輯推理、數(shù)學抽象)
1．元素與集合、集合與集合的關(guān)系．
“∈”是“元素”與“集合”之間的從屬關(guān)系，如a∈{a}．
“?或”是兩個集合之間的包含關(guān)系．
2．0、{0}、?、{?}的關(guān)系
(1)區(qū)別：0不是一個集合，而是一個元素，而{0}，?，{?}都為集合，其中{0}是包含一個元素0的集合；
?為不含任何元素的集合；{?}為含有一個元素?的集合，此時?作為集合{?}的一個元素．
(2)聯(lián)系：0∈{0},0??，0?{?}，??{0}，?{0}，??{?}，?{?}．
[典例] 已知集合A＝{1,3，x2}，B＝{1，x＋2}，是否存在實數(shù)x，使得集合B是A的子集？若存在，求出A，B，若不存在，說明理由．
[解析] 因為B?A，所以當x＋2＝3，即x＝1時，A＝{1,3,1}不滿足互異性，所以x＝1(舍)．
當x＋2＝x2，即x＝2或x＝－1，
若x＝2時，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}，滿足B?A；
若x＝－1時，A＝{1,3,1}不滿足互異性．
綜上，存在x＝2使得B?A.
此時，A＝{1,3,4}，B＝{1,4}．
二、?的吶喊——勿忘我eq \x(?邏輯推理、直觀想象)
[典例] 已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若B?A，則實數(shù)m的取值范圍是________．
[解析] 當B＝?時，B?A
顯然成立，
此時有m＋1≥2m－1，則m≤2.
當B≠?時，若B?A，如圖．
則eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋1≥－2，,2m－1≤7，,m＋1＜2m－1，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m≥－3,m≤4，,m＞2，))
解得2＜m≤4.
綜上，m的取值范圍為{m|m≤4}．
[答案] {m|m≤4}
糾錯心得 空集是任何集合的子集，忽視這一點會導(dǎo)致漏解，產(chǎn)生錯誤結(jié)論．對于形如{x|a＜x＜b}一類的集合，當a≥b時，它表示空集，解題中要十分注意．
內(nèi) 容 標 準
學 科 素 養(yǎng)
1.理解集合之間的包含與相等的含義．
數(shù)學抽象、直觀想象
數(shù)學運算
能識別給定集合的子集．
2.針對具體集合，利用集合包含關(guān)系求參數(shù)．
3.在具體情境中了解空集的含義.
集合A
集合A中元素的個數(shù)n
集合A子集個數(shù)
?
0
1
{a}
1
2
{a，b}
2
4
{a，b，c}
3
8
{a，b，c，d}
4
16

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1.2 集合間的基本關(guān)系

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