1. 橢圓3x2+4y2＝12的焦點坐標為（ ）
A.(±1, 0)B.(0, ±1)C.(±7, 0)D.(0, ±7)

2. 在空間直角坐標系中，已知M(?1, 0, 2)，N(3, 2, ?4)，則MN的中點Q關于平面xOy的對稱點坐標是（ ）
A.(1, 1, ?1)B.(?1, 1, ?1)C.(1, ?1, ?1)D.(1, 1, 1)

3. 在正方體ABCD?A1B1C1D1中，二面角A?BD?A1的余弦值為（ ）
A.12B.33C.22D.32

4. 祖暅是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“冪勢既同，則積不容異”稱為祖暅原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體＝S?，其中S是柱體的底面積，?是柱體的高．若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該柱體的體積（單位：cm3）是（ ）

A.158B.162C.182D.324

5. 方程|x|+|y|=2所表示的曲線大致形狀為（ ）
A.B.
C.D.

6. 已知曲線C:mx2+ny2=1．則下列命題不正確的是（ ）
A.若m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上
B.若m=n>0，則C是圓，其半徑為m
C.若mn0，則C是兩條直線

7. 已知焦點在x軸上的橢圓方程為x24a+y2a2?1=1，隨著a的增大該橢圓的形狀（ ）
A.越接近于圓B.越扁
C.先接近于圓后越扁D.先越扁后接近于圓

8. 已知以F1(?2, 0)，F(xiàn)2(2, 0)為焦點的橢圓與直線x+3y+4=0有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為（ ）
A.32B.26C.27D.42

9. 如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，線段AD，BD的中點分別為E，F(xiàn)．現(xiàn)將△ABD沿對角線BD翻折，則異面直線BE與CF所成角的取值范圍是（ ）
A.(π6, π3)B.(π6, π2]C.(π3, π2]D.(π3, 2π3)

10. 已知橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上不與左右頂點重合的任意一點，I，G分別為△PF1F2的內(nèi)心和重心，當IG⊥x軸時，橢圓的離心率為（ ）
A.13B.12C.32D.63
二、填空題

雙曲線x24?y23＝1的實軸長為________，漸近線方程是________．

已知點P(x, y)在橢圓x24+y23＝1上運動，則x+2y的最大值是________；點P到直線l:x?2y?10=0的最小距離是________．

中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美．圖2是一個棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1．則該半正多面體共有________個面，其棱長為________．


已知三棱錐P?ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA=2，AC=BC=1，則三棱錐P?ABC外接球的體積為________．


若F是雙曲線C：x2?y28＝1的右焦點，P是雙曲線C左支上一點，A(0, 4)，則△APF的周長的最小值為________．

若橢圓x2a2+y2b2=1的焦點在x軸上，過點(2, 1)作圓x2+y2=4的切線，切點分別為A，B，直線AB恰好經(jīng)過橢圓的右焦點和上頂點，則橢圓方程是________．
三、解答題

如圖，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABC折起，使∠BDC=90°．

（1）證明：平面ADB⊥平面BDC；

（2）設E為BC的中點，求異面直線AE與DB的夾角的余弦值．

已知橢圓C:x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的離心率為22，且過點(2, 1)．
（1）求橢圓的方程；

（2）過橢圓的右焦點，傾斜角為60°的直線交橢圓C于A，B兩點，求△AOB的面積．

如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是菱形，PA＝PD，∠DAB＝60°．

（1）證明：AD⊥PB；

（2）若PB=6，AB＝PA＝2，求直線PB與平面PDC所成角的正弦值．

已知焦點在x軸上橢圓的長軸的端點分別為A，B，O為橢圓的中心，F(xiàn)為右焦點，且AF→?BF→=?1，離心率e=22．
（1）求橢圓的標準方程；

（2）記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰好為△PQM的垂心？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．
參考答案與試題解析
2020-2021學年浙江省高二（上）期中數(shù)學試卷
一、選擇題
1.
【答案】
A
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
化簡橢圓方程為標準方程，然后求解焦點坐標即可．
【解答】
橢圓3x2+4y2＝12的標準方程為：x24+y23=1，
所以a＝2，b=3，c＝1，
所以橢圓的焦點坐標(±1, 0)．
2.
【答案】
D
【考點】
空間中的點的坐標
【解析】
求出MN的中點Q，由此能求出Q關于平面xOy的對稱點坐標．
【解答】
∵ M(?1, 0, 2)，N(3, 2, ?4)，
∴ MN的中點Q(1, 1, ?1)，
∴ Q關于平面xOy的對稱點坐標是(1, 1, 1)．
3.
【答案】
B
【考點】
二面角的平面角及求法
【解析】
畫出直觀圖，作出二面角的平面角，然后求解三角形推出結(jié)果即可．
【解答】
在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接AC，BD交點為O，連接A1O，
∵ 幾何體是正方體，∴ BD⊥AC，BD⊥AA1，∴ BD⊥平面AOA1，可知BD⊥A1O，
∴ ∠AOA1是二面角的平面角，
設正方體的棱長為2，則AO=2，A1O=2+4=6，
二面角A?BD?A1的余弦值為：26=33．
4.
【答案】
B
【考點】
由三視圖求體積
【解析】
由三視圖還原原幾何體，可知該幾何體為直五棱柱，由兩個梯形面積求得底面積，代入體積公式得答案．
【解答】
由三視圖還原原幾何體如圖，
該幾何體為直五棱柱，底面五邊形的面積可用兩個直角梯形的面積求解，
即SABCDE=12(4+6)×3+12(2+6)×3=27，
高為6，則該柱體的體積是V＝27×6＝1(62)
5.
【答案】
D
【考點】
曲線與方程
【解析】
判斷曲線在第一象限的形狀，即可得到正確的選項．
【解答】
當x>0，y>0時，方程|x|+|y|＝2化為x+y=2，
即y=(2?x)2=(x?2)2，它是x2=y的圖象向右平移2個單位得到，第一象限的部分，
圖象為選項D在第一選項的部分．
6.
【答案】
B
【考點】
命題的真假判斷與應用
曲線與方程
【解析】
通過m，n的取值，判斷二次曲線表示的方程判斷選項的正誤即可．
【解答】
曲線C:mx2+ny2=1．m>n>0，則C是橢圓，其焦點在y軸上，A正確；
若m=n>0，則C是圓，其半徑為1m，所以B不正確；
若mn0，則C是ny2=1，是兩條直線，所以D正確；
7.
【答案】
A
【考點】
橢圓的離心率
【解析】
首先根據(jù)橢圓成立的條件求出a的取值范圍，進一步利用函數(shù)的單調(diào)性求出橢圓中的短軸的變化規(guī)律，最后確定結(jié)果．
【解答】
橢圓方程x24a+y2a2?1=1為焦點在x軸上的橢圓方程，
所以：4a>0a2?1>04a>a2?1
解得：1

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