【教學目標】
1．了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示．
2．理解平面向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差及數(shù)乘向量的坐標運算法則．
3．掌握平面向量的坐標與平面內點的坐標的區(qū)別與聯(lián)系．
4．能根據(jù)平面向量的坐標，判斷向量是否共線；并掌握三點共線的判斷方法．
【教學重難點】
1．向量的正交分解．
2．平面向量的坐標．
【教學過程】
一、新知探究
1．平面向量的坐標表示
例：如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(AB,\s\up6(→))＝b，四邊形OABC為平行四邊形．
（1）求向量a，b的坐標；
（2）求向量eq \(BA,\s\up6(→))的坐標；
（3）求點B的坐標．
解：（1）作AM⊥x軸于點M，
則OM＝OA·cs45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
AM＝OA·sin45°＝4×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(2)，
所以A（2eq \r(2)，2eq \r(2)），故a＝（2eq \r(2)，2eq \r(2)）．
因為∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，
所以∠COy＝30°．又OC＝AB＝3，
所以Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，
即b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))．
（2）eq \(BA,\s\up6(→))＝－eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2)))．
（3）因為eq \(OB,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))
＝（2eq \r(2)，2eq \r(2)）＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2\r(2)－\f(3,2)，2\r(2)＋\f(3\r(3),2)))．
所以點B的坐標為（2eq \r(2)－eq \f(3,2)，2eq \r(2)＋eq \f(3\r(3),2)）．
教師小結：
平面內求點、向量坐標的常用方法
（1）求一個點的坐標：可利用已知條件，先求出該點相對應坐標原點的位置向量的坐標，該坐標就等于相應點的坐標．
（2）求一個向量的坐標：首先求出這個向量的始點、終點的坐標，再運用終點坐標減去始點坐標即得該向量的坐標．
2．平面向量的坐標運算
例：（1）已知a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），則a＝________，b＝________．
（2）已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），且eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，求M，N及eq \(MN,\s\up6(→))的坐標．
解：（1）由a＋b＝（1，3），a－b＝（5，7），
所以2a＝（1，3）＋（5，7）＝（6，10），
所以a＝（3，5），
2b＝（1，3）－（5，7）＝（－4，－4），
所以b＝（－2，－2）．
（2）法一（待定系數(shù)法）：由A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4），
可得eq \(CA,\s\up6(→))＝（－2，4）－（－3，－4）＝（1，8），
eq \(CB,\s\up6(→))＝（3，－1）－（－3，－4）＝（6，3），
所以eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(CA,\s\up6(→))＝3（1，8）＝（3，24），
eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))＝2（6，3）＝（12，6）．
設M（x1，y1），N（x2，y2），
則eq \(CM,\s\up6(→))＝（x1＋3，y1＋4）＝（3，24），x1＝0，y1＝20；
eq \(CN,\s\up6(→))＝（x2＋3，y2＋4）＝（12，6），x2＝9，y2＝2，
所以M（0，20），N（9，2），
eq \(MN,\s\up6(→))＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
法二（幾何意義法）：設點O為坐標原點，則由eq \(CM,\s\up6(→))＝3eq \(CA,\s\up6(→))，eq \(CN,\s\up6(→))＝2eq \(CB,\s\up6(→))，
可得eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝3（eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))），eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝2（eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))），
從而eq \(OM,\s\up6(→))＝3eq \(OA,\s\up6(→))－2eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(ON,\s\up6(→))＝2eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，
所以eq \(OM,\s\up6(→))＝3（－2，4）－2（－3，－4）＝（0，20），
eq \(ON,\s\up6(→))＝2（3，－1）－（－3，－4）＝（9，2），
即點M（0，20），N（9，2），
故eq \(MN,\s\up6(→))＝（9，2）－（0，20）＝（9，－18）．
教師小結：
平面向量坐標的線性運算的方法
（1）若已知向量的坐標，則直接應用兩個向量和、差及向量數(shù)乘的運算法則進行．
（2）若已知有向線段兩端點的坐標，則可先求出向量的坐標，然后再進行向量的坐標運算．
（3）向量的線性坐標運算可完全類比數(shù)的運算進行．
3．判定直線平行、三點共線
例：（1）已知A，B，C三點共線，且A（3，－6），B（－5，2），若C點的橫坐標為6，則C點的縱坐標為（ ）
A．－13B．9
C．－9D．13
（2）已知A（－1，－1），B（1，3），C（1，5），D（2，7），向量eq \(AB,\s\up6(→))與eq \(CD,\s\up6(→))平行嗎？直線AB平行于直線CD嗎？
解：（1）選C．設C（6，y），因為eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(AC,\s\up6(→))，
又eq \(AB,\s\up6(→))＝（－8，8），eq \(AC,\s\up6(→))＝（3，y＋6），
所以－8×（y＋6）－3×8＝0，所以y＝－9．
（2）因為eq \(AB,\s\up6(→))＝（1－（－1），3－（－1））＝（2，4），
eq \(CD,\s\up6(→))＝（2－1，7－5）＝（1，2）．
又2×2－4×1＝0，所以eq \(AB,\s\up6(→))∥eq \(CD,\s\up6(→))．
又eq \(AC,\s\up6(→))＝（2，6），eq \(AB,\s\up6(→))＝（2，4），所以2×4－2×6≠0，
所以A，B，C不共線，所以AB與CD不重合，所以AB∥CD．
4．已知平面向量共線求參數(shù)
例：已知a＝（1，2），b＝（－3，2），當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？
解：法一（共線向量定理法）：ka＋b＝k（1，2）＋（－3，2）＝（k－3，2k＋2），
a－3b＝（1，2）－3（－3，2）＝（10，－4），
當ka＋b與a－3b平行時，存在唯一實數(shù)λ，
使ka＋b＝λ（a－3b）．
由（k－3，2k＋2）＝λ（10，－4），
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k－3＝10λ，,2k＋2＝－4λ，))解得k＝λ＝－eq \f(1,3)．
當k＝－eq \f(1,3)時，ka＋b與a－3b平行，
這時ka＋b＝－eq \f(1,3)a＋b＝－eq \f(1,3)（a－3b），
因為λ＝－eq \f(1,3)

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6.2.3 平面向量的坐標及其運算

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