1．（3分）無理數(shù)在（ ）
A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
3．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
B．為了解某燈管的使用壽命，可以采用普查的方式進(jìn)行
C．甲乙兩組身高數(shù)據(jù)的方差分別為＝0.02、＝0.1，那么乙組的身高比較整齊
D．一組數(shù)據(jù)3，5，4，5，6，7的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是5
4．（3分）菱形的兩條對角線分別為8和6，則菱形的周長和面積分別是（ ）
A．20，48B．14，48C．24，20D．20，24
5．（3分）如圖，OC是∠AOB的角平分線，l∥OB，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．52°B．54°C．64°D．69°
6．（3分）下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）為了解某市2018年參加中考的32000名學(xué)生的視力情況，抽查了其中1600名學(xué)生的視力進(jìn)行統(tǒng)計分析，下面敘述錯誤的是（ ）
A．32000名學(xué)生的視力情況是總體
B．樣本容量是32000
C．1600名學(xué)生的視力情況是總體的一個樣本
D．以上調(diào)查是抽樣調(diào)查
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關(guān)
9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，平移二次函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象能夠與二次函數(shù)y＝x2的圖象重合，則平移方式為（ ）
A．向左平移2個單位，向下平移1個單位
B．向左平移2個單位，向上平移1個單位
C．向右平移2個單位，向下平移1個單位
D．向右平移2個單位，向上平移1個單位
10．（3分）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
11．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，按下列步驟作圖：
①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心EF的長為半徑作弧相交于點H，作射線AH；
②分別以點A，B為圓心，大于，N，作直線MN，交射線AH于點O；
③以點O為圓心，線段OA長為半徑作圓．
則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．10C．4D．5
12．（3分）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+a2+b（a≠0）的圖象為下列圖象之一，則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．﹣4
二、填空題（本大題共4小題，共12分）
13．（3分）化簡：＝ ．
14．（3分）同一時刻，小明在陽光下的影長為2米，與他鄰近的旗桿的影長為6米，則旗桿的高為 米．
15．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若AE＝6，DE＝5，則△BEC的周長是 ．
16．（3分）如圖，以G（0，1）為圓心，與y軸交于C，D兩點，CF⊥AE于F，則弦AB的長度為 ；當(dāng)點E在⊙G的運動過程中，線段FG的長度的最小值為 ．
三、解答題（本題共9個小題，共72分）
17．（6分）計算：．
18．（6分）先化簡，再求值：（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x），其中，y＝1．
19．（6分）已知：如圖，在△OAB中，OA＝OB
小明的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤
20．（8分）某校對A《唐詩》、B《宋詞》、C《蒙山童韻》、D其它，這四類著作開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化著作”調(diào)查，隨機調(diào)查了若干名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選這四類著作中的一種）
（1）求一共調(diào)查了多少名學(xué)生；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）該校語文老師想從這四類著作中隨機選取兩類作為學(xué)生寒假必讀書籍，請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《宋詞》和《蒙山童韻》的概率．
21．（8分）如圖，某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠(yuǎn)的E處有一個花臺，CF的延長線交校門處的水平面于點D．
（1）求坡頂B的高度；
（2）求樓頂C的高度CD．
22．（9分）某工藝品店購進(jìn)A，B兩種工藝品，已知這兩種工藝品的單價之和為200元
（1）求A，B兩種工藝品的單價；
（2）該店主欲用9600元用于進(jìn)貨，且最多購進(jìn)A種工藝品36個，B種工藝品的數(shù)量不超過A種工藝品的2倍
23．（9分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，使點A落在點P處，折痕為DE．
（1）如圖1，若點P恰好在邊BC上．
①求證：△EBP∽△PCD；
②求AE的長；
（2）如圖2，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F
24．（10分）已知點A（1，4），B（2，6），C（2，4），拋物線y＝ax2+bx+2恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點．
（1）求a，b的值；
（2）平移拋物線y＝ax2+bx+2，使其頂點在直線y＝2x﹣1上，設(shè)平移后拋物線頂點的橫坐標(biāo)為t．
①求平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值；
②求平移后拋物線與直線y＝2x﹣1兩交點之間的距離；
（3）已知當(dāng)2≤x≤4時，二次函數(shù)y＝（k+a）x2﹣2kx+3k的函數(shù)值y≥0恒成立，求實數(shù)k的最小值．
25．（10分）如圖1，已知一次函數(shù)y＝﹣x+4與反比例函數(shù)相交于P（P在Q的右側(cè)）．
（1）求P，Q的坐標(biāo)并寫出△OPQ的面積；
（2）如圖2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），N為圓心的圓均與x軸相切，切點分別為A，B
①求直線MN的解析式；
②求出線段MN的長度d；
（3）在（2）的前提上，記四邊形PMQN的面積為S1，四邊形AMNB的面積為S2，已知拋物線y＝ax2+bx+c滿足兩個條件：①經(jīng)過點P和點Q，②該拋物線截x軸得到的線段長度為，請求出拋物線二次項系數(shù)a的值．
2020-2021學(xué)年湖南省長沙市雨花區(qū)廣益實驗中學(xué)九年級（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共12小題，共36分）
1．（3分）無理數(shù)在（ ）
A．2和3之間B．3和4之間C．4和5之間D．5和6之間
【分析】由＜＜可以得到答案．
【解答】解：∵3＜＜4，
∴無理數(shù)在4和4之間．
故選：B．
2．（3分）下列計算正確的是（ ）
A．2a+3b＝5abB．（﹣2a2b）3＝﹣6a6b3
C．D．（a+b）2＝a2+b2
【分析】直接利用二次根式加減運算法則以及完全平方公式和積的乘方運算法則分別化簡求出答案．
【解答】解：A、2a+3b無法計算；
B、（﹣7a2b）3＝﹣3a6b3，故此選項錯誤；
C、+＝2+，正確；
D、（a+b）6＝a2+b2+2ab，故此選項錯誤；
故選：C．
3．（3分）下列說法正確的是（ ）
A．“清明時節(jié)雨紛紛”是必然事件
B．為了解某燈管的使用壽命，可以采用普查的方式進(jìn)行
C．甲乙兩組身高數(shù)據(jù)的方差分別為＝0.02、＝0.1，那么乙組的身高比較整齊
D．一組數(shù)據(jù)3，5，4，5，6，7的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)都是5
【分析】直接利用隨機事件的定義以及方差的意義、眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義分別分析得出答案．
【解答】解：A、“清明時節(jié)雨紛紛”是隨機事件；
B、為了解某燈管的使用壽命，故此選項錯誤；
C、甲乙兩組身高數(shù)據(jù)的方差分別為、＝3.1，故此選項錯誤；
D、一組數(shù)據(jù)3，8，4，5，8，7，
∵5出現(xiàn)的次數(shù)最多，
∴6是眾數(shù)；
∵按大小順序排列：3，4，7，5，6，7，
∴中位數(shù)是：5；
平均數(shù)是：（3+4+6+5+6+4）＝5．
故選：D．
4．（3分）菱形的兩條對角線分別為8和6，則菱形的周長和面積分別是（ ）
A．20，48B．14，48C．24，20D．20，24
【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由菱形的兩條對角線長分別是6和8，可求得OA＝4，OB＝3，再由勾股定理求得邊長，繼而求得此菱形的周長與面積．
【解答】解：如圖，菱形ABCD中，BD＝6，
∴OA＝AC＝4BD＝3，
∴AB＝＝＝5，
∴此菱形的周長是：4×4＝20，
面積是：×6×8＝24．
故菱形的周長是20，面積是24，
故選：D．
5．（3分）如圖，OC是∠AOB的角平分線，l∥OB，則∠2的度數(shù)為（ ）
A．52°B．54°C．64°D．69°
【分析】依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到∠BOC＝64°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得出∠2的度數(shù)．
【解答】解：∵l∥OB，
∴∠1+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝128°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠BOC＝64°，
又l∥OB，且∠2與∠BOC為同位角，
∴∠5＝64°，
故選：C．
6．（3分）下列圖象中，y不是x的函數(shù)的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】函數(shù)的定義：在某變化過程中，有兩個變量x、y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值，按照對應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對應(yīng)，則x叫自變量，y是x的函數(shù)．根據(jù)定義再結(jié)合圖象觀察就可以得出結(jié)論．
【解答】解：A．此選項中在x＜0的范圍中取任意x的值時，y不是x的函數(shù)；
B．此選項中在全體實數(shù)的范圍中取任意x的值時，y是x的函數(shù)；
C．此選項中在x≠0的范圍中取任意x的值時，y是x的函數(shù)；
D．此選項中在全體實數(shù)的范圍中取任意x的值時，y是x的函數(shù)；
故選：A．
7．（3分）為了解某市2018年參加中考的32000名學(xué)生的視力情況，抽查了其中1600名學(xué)生的視力進(jìn)行統(tǒng)計分析，下面敘述錯誤的是（ ）
A．32000名學(xué)生的視力情況是總體
B．樣本容量是32000
C．1600名學(xué)生的視力情況是總體的一個樣本
D．以上調(diào)查是抽樣調(diào)查
【分析】總體是指考查的對象的全體，個體是總體中的每一個考查的對象，樣本是總體中所抽取的一部分個體，而樣本容量則是指樣本中個體的數(shù)目．我們在區(qū)分總體、個體、樣本、樣本容量，這四個概念時，首先找出考查的對象．從而找出總體、個體．再根據(jù)被收集數(shù)據(jù)的這一部分對象找出樣本，最后再根據(jù)樣本確定出樣本容量．
【解答】解：A、32000名學(xué)生的視力情況是總體；
B、樣本容量是1600；
C、1600名學(xué)生的視力情況是總體的一個樣本；
D、以上調(diào)查是抽樣調(diào)查；
故選：B．
8．（3分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+bx﹣1＝0，則下列關(guān)于該方程根的判斷，正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數(shù)根
B．有兩個相等的實數(shù)根
C．沒有實數(shù)根
D．實數(shù)根的個數(shù)與實數(shù)b的取值有關(guān)
【分析】先計算出判別式的值，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷Δ＞0，然后利用判別式的意義對各選項進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4×（﹣8）＝b2+4＞5，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
9．（3分）在平面直角坐標(biāo)系中，平移二次函數(shù)y＝x2+4x+3的圖象能夠與二次函數(shù)y＝x2的圖象重合，則平移方式為（ ）
A．向左平移2個單位，向下平移1個單位
B．向左平移2個單位，向上平移1個單位
C．向右平移2個單位，向下平移1個單位
D．向右平移2個單位，向上平移1個單位
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律求則可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝x2+4x+8＝（x+2）2﹣3，將其向右平移2個單位2．
故選：D．
10．（3分）某廠家2020年1～5月份的口罩產(chǎn)量統(tǒng)計如圖所示．設(shè)從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x，根據(jù)題意可得方程（ ）
A．180（1﹣x）2＝461B．180（1+x）2＝461
C．368（1﹣x）2＝442D．368（1+x）2＝442
【分析】本題為增長率問題，一般用增長后的量＝增長前的量×（1+增長率）2，如果設(shè)這個增長率為x，根據(jù)“2月份的180萬只，4月份的產(chǎn)量將達(dá)到461萬只”，即可得出方程．
【解答】解：從2月份到4月份，該廠家口罩產(chǎn)量的平均月增長率為x2＝461，
故選：B．
11．（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，按下列步驟作圖：
①以點A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L度為半徑作弧，分別交AB，F(xiàn)，再分別以點E，F(xiàn)為圓心EF的長為半徑作弧相交于點H，作射線AH；
②分別以點A，B為圓心，大于，N，作直線MN，交射線AH于點O；
③以點O為圓心，線段OA長為半徑作圓．
則⊙O的半徑為（ ）
A．2B．10C．4D．5
【分析】如圖，設(shè)OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：如圖，設(shè)OA交BC于T，
∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，
∴AO⊥BC，BT＝TC＝6，
∴AT＝＝＝2，
在Rt△OCT中，則有r3＝（r﹣2）2+82，
解得r＝5，
故選：D．
12．（3分）已知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+a2+b（a≠0）的圖象為下列圖象之一，則a的值為（ ）
A．﹣1B．1C．﹣3D．﹣4
【分析】分別對圖形進(jìn)行討論：若二次函數(shù)的圖形為第一個，則b＝0，其頂點坐標(biāo)為（0，a2），與圖形中的頂點坐標(biāo)不符；若二次函數(shù)的圖形為第二個，則b＝0，根據(jù)頂點坐標(biāo)有a2＝3，由拋物線與x的交點坐標(biāo)得到x2＝﹣a，所以a＝﹣4，它們相矛盾；若二次函數(shù)的圖形為第三個，把點（﹣1，0）代入解析式得到a﹣b+a2+b＝0，解得a＝﹣1；若二次函數(shù)的圖形為第四個，把（﹣2，0）和（0，0）分別代入解析式可計算出a的值．
【解答】解：若二次函數(shù)的圖形為第一個，對稱軸為y軸，y＝ax2+a2，其頂點坐標(biāo)為（7，a2），而a2＞4，所以二次函數(shù)的圖形不能為第一個；
若二次函數(shù)的圖形為第二個，對稱軸為y軸，y＝ax2+a2，a4＝3，而當(dāng)y＝0時，x3＝﹣a，所以﹣a＝4，所以二次函數(shù)的圖形不能為第二個；
若二次函數(shù)的圖形為第三個，令x＝﹣1，則a﹣b+a7+b＝0，所以a＝﹣1；
若二次函數(shù)的圖形為第四個，令x＝2，則a2+b＝0①；令x＝﹣8，則4a﹣2b+a8+b＝0②，由①②得a＝﹣2，所以二次函數(shù)的圖形不能為第四個．
故選：A．
二、填空題（本大題共4小題，共12分）
13．（3分）化簡：＝ ．
【分析】直接將分母分解因式，進(jìn)而化簡得出答案．
【解答】解：
＝
＝．
故答案為：．
14．（3分）同一時刻，小明在陽光下的影長為2米，與他鄰近的旗桿的影長為6米，則旗桿的高為 4.8 米．
【分析】設(shè)旗桿的高度約為hm，再根據(jù)同一時刻物高與影長成正比求出h的值即可．
【解答】解：設(shè)旗桿的高度約為hm，
∵同一時刻物高與影長成正比，
∴＝，
解得：h＝4.3（米）．
故答案為：4.8．
15．（3分）如圖，在△ABC中，點D、E分別是AB、AC的中點，若AE＝6，DE＝5，則△BEC的周長是 24 ．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理求出BC，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)求出CE，根據(jù)勾股定理求出BE，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．
【解答】解：∵點D、E分別是AB，DE＝5，
∴BC＝2DE＝10，
∵E是AC的中點，BE⊥AC，
∴EC＝AE＝3，
在Rt△BEC中，BE＝，
∴△BEC的周長＝BC+CE+BE＝24，
故答案為：24．
16．（3分）如圖，以G（0，1）為圓心，與y軸交于C，D兩點，CF⊥AE于F，則弦AB的長度為 2 ；當(dāng)點E在⊙G的運動過程中，線段FG的長度的最小值為 ﹣1 ．
【分析】作GM⊥AC于M，連接AG．因為∠AFC＝90°，推出點F在以AC為直徑的⊙M上推出當(dāng)點F在MG的延長線上時，F(xiàn)G的長最小，最小值＝FM﹣GM，想辦法求出FM、GM即可解決問題；
【解答】解：作GM⊥AC于M，連接AG．
∵GO⊥AB，
∴OA＝OB，
在Rt△AGO中，∵AG＝2，
∴AG＝2OG，OA＝＝，
∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝6，
∴∠AGO＝60°，
∵GC＝GA，
∴∠GCA＝∠GAC，
∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，
∴∠GCA＝∠GAC＝30°，
∴AC＝2OA＝2，MG＝，
∵∠AFC＝90°，
∴點F在以AC為直徑的⊙M上，
當(dāng)點F在MG的延長線上時，F(xiàn)G的長最小﹣1．
故答案為4，﹣3．
三、解答題（本題共9個小題，共72分）
17．（6分）計算：．
【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及絕對值的性質(zhì)和特殊角的三角函數(shù)值、二次根式的混合運算法則分別化簡得出答案．
【解答】解：原式＝3×﹣1+4+4﹣
＝﹣3+4+2﹣
＝5．
18．（6分）先化簡，再求值：（2x﹣y）2﹣x（3x﹣4y）﹣（2y﹣x）（2y+x），其中，y＝1．
【分析】原式利用完全平方公式，單項式乘以多項式，以及平方差公式計算，去括號合并得到最簡結(jié)果，把x與y的值代入計算即可求出值．
【解答】解：原式＝4x2﹣2xy+y2﹣3x3+4xy﹣4y8+x2＝2x7﹣3y2，
當(dāng)x＝，y＝1時．
19．（6分）已知：如圖，在△OAB中，OA＝OB
小明的證法是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”；若錯誤
【分析】連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】解：證法錯誤；
證明：連接OC，
∵⊙O與AB相切于點C，
∴OC⊥AB，
∵OA＝OB，
∴AC＝BC．
20．（8分）某校對A《唐詩》、B《宋詞》、C《蒙山童韻》、D其它，這四類著作開展“最受歡迎的傳統(tǒng)文化著作”調(diào)查，隨機調(diào)查了若干名學(xué)生（每名學(xué)生必選且只能選這四類著作中的一種）
（1）求一共調(diào)查了多少名學(xué)生；
（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整；
（3）該校語文老師想從這四類著作中隨機選取兩類作為學(xué)生寒假必讀書籍，請用樹狀圖或列表的方法求恰好選中《宋詞》和《蒙山童韻》的概率．
【分析】（1）根據(jù)C的人數(shù)和所占的百分比即可得出調(diào)查的學(xué)生數(shù)；
（2）依據(jù)總?cè)藬?shù)以及其余各部分的人數(shù)，即可得到B對應(yīng)的人數(shù)；
（3）根據(jù)題意先畫出樹狀圖，得出所有等可能的結(jié)果和選中《宋詞》和《蒙山童韻》的結(jié)果，再利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次一共調(diào)查的學(xué)生數(shù)是：15÷30%＝50（人）；
（2）B對應(yīng)的人數(shù)為：50﹣16﹣15﹣7＝12人，
補圖如下：
（3）根據(jù)題意畫樹狀圖如下：
∵共有12種等可能的結(jié)果，恰好選中B，
∴P（選中B、C）＝＝．
21．（8分）如圖，某中學(xué)依山而建，校門A處有一坡度i＝5：12的斜坡AB，在坡頂B處看教學(xué)樓CF的樓頂C的仰角∠CBF＝45°，離B點4米遠(yuǎn)的E處有一個花臺，CF的延長線交校門處的水平面于點D．
（1）求坡頂B的高度；
（2）求樓頂C的高度CD．
【分析】（1）過點B作BM⊥AD，過點E作EN⊥AD，由AB的坡度和長即可求出BM；
（2）由BF＝EF+BE，根據(jù)∠CBF＝45°、∠CEF＝60°、BE＝4米解三角形求出CF，即可解答．
【解答】解：（1）過點B作BM⊥AD，過點E作EN⊥AD，
∵i＝5：12，
∴，
∵AB＝13米，
設(shè)BM＝6a（米），AM＝12a（米），
∴（5a）2+（12a）2＝132，
∴a＝1，
∴BM＝DF＝8米，
則坡頂B的高度是5米；
（2）設(shè)EF為x米，則BF＝（4+x）米，
∵∠CBF＝45°，
∴BF＝CF＝（7+x）米，
∵∠CEF＝60°，
∴tan60°＝，
解得x＝2+8，
∴CF＝（6+2）米，
∴CD＝CF+FD＝（11+2）米，
答：DC的長度為（11+5）米．
22．（9分）某工藝品店購進(jìn)A，B兩種工藝品，已知這兩種工藝品的單價之和為200元
（1）求A，B兩種工藝品的單價；
（2）該店主欲用9600元用于進(jìn)貨，且最多購進(jìn)A種工藝品36個，B種工藝品的數(shù)量不超過A種工藝品的2倍
【分析】（1）設(shè)A種工藝品的單價為x元，B種工藝品的單價為y元，根據(jù)“這兩種工藝品的單價之和為200元，購進(jìn)2個A種工藝品和3個B種工藝品需花費520元”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)A種工藝品m個，則購進(jìn)B種工藝品（80﹣m）個，根據(jù)“最多購進(jìn)A種工藝品36個，且B種工藝品的數(shù)量不超過A種工藝品的2倍”，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，再結(jié)合m，（80﹣m）均為整數(shù)，即可得出進(jìn)貨方案的個數(shù)．
【解答】解：（1）設(shè)A種工藝品的單價為x元，B種工藝品的單價為y元，
依題意得：，
解得：．
答：A種工藝品的單價為80元，B種工藝品的單價為120元．
（2）設(shè)購進(jìn)A種工藝品m個，則購進(jìn)B種工藝品m）個，
依題意得：，
解得：30≤m≤36，
又∵m，（80﹣，
∴m可以取30，33，
∴共有3種進(jìn)貨方案．
23．（9分）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，使點A落在點P處，折痕為DE．
（1）如圖1，若點P恰好在邊BC上．
①求證：△EBP∽△PCD；
②求AE的長；
（2）如圖2，若E是AB的中點，EP的延長線交BC于點F
【分析】（1）①先判斷出∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，再用同角的余角相等，判斷出∠BEP＝∠CPD，即可得出結(jié)論；
②先利用勾股定理求出CP，進(jìn)而求出BP，再用勾股定理，建立方程求解，即可得出結(jié)論；
（2）如圖②中，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．設(shè)EG＝x，則BG＝4﹣x．證明△EGP∽△PHD，推出＝＝＝＝，推出PG＝2EG＝3x，DH＝AG＝4+x，在Rt△PHD中，由PH2+DH2＝PD2，可得（3x）2+（4+x）2＝122，求出x，再證明△EGP∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】解：（1）①∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠BEP＝90°，
由折疊知，∠DPE＝∠BAD＝90°，
∴∠BPE+∠CPD＝90°，
∴∠BEP＝∠CPD，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△EBP∽△PCD；
②∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD＝AB＝8，
由折疊知，PE＝AE，
在Rt△DPC中，CP＝，
∴BP＝BC﹣CP＝12﹣4，
在Rt△PBE中，PE2﹣BE2＝BP4，
∴AE2﹣（8﹣AE）2＝（12﹣4）7，
∴AE＝18﹣6；
（2）如圖，過點P作GH∥BC交AB于G，交CD于H．
則四邊形AGHD是矩形，
設(shè)EG＝x，則BG＝2﹣x，
∵∠A＝∠EPD＝90°，∠EGP＝∠DHP＝90°，
∴∠EPG+∠DPH＝90°，∠DPH+∠PDH＝90°，
∴∠EPG＝∠PDH，
∴△EGP∽△PHD，
∴＝＝＝＝，
∴PH＝3EG＝3x，DH＝AG＝5+x，
在Rt△PHD中，PH2+DH2＝PD8，
∴（3x）2+（6+x）2＝122，
解得x＝（負(fù)值已經(jīng)舍棄），
∴BG＝4﹣＝，
在Rt△EGP中，GP＝＝，
∵GH∥BC，
∴△EGP∽△EBF，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝3．
24．（10分）已知點A（1，4），B（2，6），C（2，4），拋物線y＝ax2+bx+2恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點．
（1）求a，b的值；
（2）平移拋物線y＝ax2+bx+2，使其頂點在直線y＝2x﹣1上，設(shè)平移后拋物線頂點的橫坐標(biāo)為t．
①求平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值；
②求平移后拋物線與直線y＝2x﹣1兩交點之間的距離；
（3）已知當(dāng)2≤x≤4時，二次函數(shù)y＝（k+a）x2﹣2kx+3k的函數(shù)值y≥0恒成立，求實數(shù)k的最小值．
【分析】（1）分三種情況，分別選兩個點的坐標(biāo)，代入即可得到答案；
（2）①平移后拋物線頂點是（t，2t﹣1），拋物線解析式為y＝﹣（x﹣t）2+2t﹣1，與y軸交點縱坐標(biāo)為﹣t2+2t﹣1，配方求出最大值即可；
②求出平移后拋物線與直線y＝2x﹣1兩交點坐標(biāo)即可得到答案；
（3）分k﹣1＜0和k﹣1＞0討論，k﹣1＜0時，只需，此時無解；k﹣1＞0時，又按對稱軸的位置討論，分三種情況列不等式，即可解得答案．
【解答】解：（1）若拋物線y＝ax2+bx+2圖象經(jīng)過A（5，4），6），
則，解得，
∴這種情況不符合題意，舍去，
若拋物線y＝ax2+bx+6圖象經(jīng)過A（1，4），3），
則，解得，
若拋物線y＝ax3+bx+2圖象經(jīng)過B（2，4），4），
則，方程組無解，
綜上所述，a＝﹣1；
（2）①∵平移后拋物線頂點的橫坐標(biāo)為t，頂點在直線y＝2x﹣5，
∴平移后拋物線頂點是（t，2t﹣1），
∵a＝﹣5，
∴平移后拋物線解析式為y＝﹣（x﹣t）2+2t﹣4，
令x＝0，得y＝﹣t2+5t﹣1，
∴平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)為﹣t2+8t﹣1，
而﹣t2+6t﹣1＝﹣（t﹣1）2，
∴當(dāng)t＝1時，平移后的拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)最大值是0；
②由得或，
∴平移后拋物線與直線y＝2x﹣1兩交點分別是（t，4t﹣1），2t﹣2），
∴平移后拋物線與直線y＝2x﹣1兩交點之間的距離為＝2；
（3）∵a＝﹣6，
∴二次函數(shù)為y＝（k﹣1）x2﹣8kx+3k，對稱軸x＝，
當(dāng)x＝2時，y＝5k﹣4，
當(dāng)x＝4時，y＝11k﹣16，
①若k﹣3＜0，當(dāng)2≤x≤3時2﹣2kx+3k的函數(shù)值y≥0恒成立，只需，
此時無解；
②若k﹣4＞0，當(dāng)2≤x≤3時2﹣2kx+5k的函數(shù)值y≥0恒成立，分以下三種情況：
（一）對稱軸x＝在直線x＝2或其左側(cè)時，即，只需4k﹣4≥0，
解得k≥8，此時k最小值是2，
（二）當(dāng)2＜≤4時，即≥0，
解得≤k＜2，
此時k最小值為，
（三）當(dāng)＞4時，
此時無解，
綜上所述，當(dāng)5≤x≤4時2﹣6kx+3k的函數(shù)值y≥0恒成立，k最小值為．
25．（10分）如圖1，已知一次函數(shù)y＝﹣x+4與反比例函數(shù)相交于P（P在Q的右側(cè)）．
（1）求P，Q的坐標(biāo)并寫出△OPQ的面積；
（2）如圖2，已知M（m，m），N（n，n），其中（0＜m＜n），N為圓心的圓均與x軸相切，切點分別為A，B
①求直線MN的解析式；
②求出線段MN的長度d；
（3）在（2）的前提上，記四邊形PMQN的面積為S1，四邊形AMNB的面積為S2，已知拋物線y＝ax2+bx+c滿足兩個條件：①經(jīng)過點P和點Q，②該拋物線截x軸得到的線段長度為，請求出拋物線二次項系數(shù)a的值．
【分析】（1）將兩個函數(shù)解析式聯(lián)立成方程組，解方程組即可求得P，Q坐標(biāo)；利用三角形的面積差來求得△OPQ的面積；
（2）①根據(jù)M，N坐標(biāo)的特點可知直線MN的解析式；
②分別過點P作MA，NB的垂線，由勾股定理得到關(guān)于m，n的等式，再利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求得MN的長；
（3）利用待定系數(shù)法得到關(guān)于a，b，c的方程組，利用加減消元法依次消去b，c，得到關(guān)于a的方程，解方程即可得a的值．
【解答】解：（1）由題意得：
．
解這個方程組得：
，．
∵P在Q的右側(cè)，
∴P（3，8），3）．
設(shè)直線PQ交x軸于點C，如下圖，0）．
∴OC＝4．
過點Q作QE⊥OC于E，過點P作PF⊥OC于F，PF＝1．
∴S△OPQ＝S△OQC﹣S△OPC＝＝2﹣2＝4．
（2）①∵M(jìn)（m，m），n），
∴直線MN的解析式為：y＝x．
②∵以M，N為圓心的圓均與x軸相切，B，
∴MA⊥AB，NB⊥AB．
過點P作PE⊥MA于E，PF⊥NB與，如圖，
則∠NME＝45°．
∴MN＝MG．
∵M(jìn)（m，m），n），1），
∴MA＝m，NM＝n，PM＝3﹣m，PF＝n﹣7．
∵點P既在⊙M上又在⊙N上，
∴PM＝MA，PN＝NB．
∴PM2＝MA2，PN3＝NB2．
∴（3﹣m）6+（m﹣1）2＝m6，（n﹣3）2+（n﹣2）2＝n2．
整理得：m7﹣8m+10＝0，n5﹣8n+10＝0．
∴m，n（5＜m＜n）是方程x2﹣8x+10＝4的兩個根．
∴m+n＝8，mn＝10．
∴（n﹣m）2＝（m+n）7﹣4mn＝24．
∴n﹣m＝．
∵M(jìn)G＝AB＝n﹣m，
∴MG＝2．
∴MN＝MG＝4．
∴d＝6．
（3）拋物線y＝ax2+bx+c滿足經(jīng)過點P和點Q，
∴．
∴．
∵，
＝＝8，
∴＝＝．
設(shè)拋物線y＝ax2+bx+c與x軸的交點為（x2，0），（x2，4），
∴|x1﹣x2|＝．
∴．
∴．
∵x8，x2是方程ax2+bx+c＝6的兩個根，
∴，．
∴．
∴．
整理得：2a2﹣8a+8＝0．
解得：a＝4±．
∴拋物線二次項系數(shù)a的值為：5+或4﹣．
證明：連接OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．
證明：連接OC，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
又∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC，
∴AC＝BC．

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