?24.4　弧長(zhǎng)和扇形面積
第1課時(shí)　弧長(zhǎng)和扇形面積
一、選擇題
1.如圖,☉O的半徑為6,☉O上有三點(diǎn)A,B,C,且∠ACB＝30°,則AB的長(zhǎng)等于 ( )
A.π B.2π C.3π D.4π

第1題圖 第5題圖 第10題圖 第11題圖
2.(2019·溫州)若扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的弧長(zhǎng)為(　　)
A.π B．2π
C．3π D．6π
3.有一段長(zhǎng)度為2.5π的弧,則此弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為75°,則這段圓弧所在圓的半徑是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.12
4.有一條弧的長(zhǎng)為2π cm,半徑為2 cm,則這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是 ( )
A.90° B.120° C.135° D.180°
5.如圖,扇形紙扇完全打開(kāi)后,外側(cè)兩竹條AB,AC的夾角為150°,AB的長(zhǎng)為32 cm,BD的長(zhǎng)為14 cm,則DE的長(zhǎng)為 ( )
A.154π cm B.12π cm
C.15π cm D.36π cm
6.若扇形的圓心角為90°,半徑為6,則該扇形的面積為 ( )
A.3π2 B.3π C.6π D.9π
7.如果弧長(zhǎng)為4π cm的扇形面積為16π cm2,那么該扇形的半徑為 ( )
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
8.已知一個(gè)扇形的半徑等于一個(gè)圓的半徑的2倍,且它的面積等于該已知圓的面積,則這一扇形的圓心角為 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°
9.若鐘面上分針的長(zhǎng)為1,則從9點(diǎn)到9點(diǎn)15分,分針在鐘面上掃過(guò)的面積是 ( )
A.18π B.14π C.12π D.π
10.(2020·南充)如圖，四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車(chē)圖形，若AB＝2，當(dāng)風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)90°，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
11.(中考·咸寧)如圖，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，則的長(zhǎng)為(　　)
A．π B.π C．2π D．3π
12.(2020·聊城)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)M，連接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么圖中陰影部分的面積是(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π

第12題圖 第13題圖 第14題圖 第15題圖
13.(2019·寧夏)如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，分別以點(diǎn)A，D為圓心，以AB，DC為半徑作扇形ABF、扇形DCE，則圖中陰影部分的面積是(　　)
A．6－π B．6－π C．12－π D．12－π
14.如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上.若∠OCA=40°,AB=6,則BC的長(zhǎng)為(　　)
A.8π3 B.10π3 C.5π3 D.4π3
15.(咸寧中考)如圖,☉O的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,連接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,則BD的長(zhǎng)為(　　)
A.π B.32π C.2π D.3π
16.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,以點(diǎn)A為圓心、2為半徑作圓弧,以點(diǎn)D為圓心、3為半徑作圓弧.若圖中陰影部分的面積分別為S1,S2,則S1-S2的值為(　　)
A.9 B.9-π C.134π-9 D.134π

第16題圖 第17題圖 第18題圖 第19題圖
17.如圖,5×3的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,設(shè)經(jīng)過(guò)圖中格點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)的圓弧與AE交于點(diǎn)H,則AH的長(zhǎng)為 ( )
A.136π B.134π C.53π D.52π
18.如圖,AB⊥OB,AB＝2,OB＝4,把∠ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到∠CDO,則AB掃過(guò)的面積(圖中陰影部分)為 ( )
A.2 B.2π C.23π D.π
19.邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC在直線(xiàn)l上,按如圖所示的方式進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn),在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 ( )
A.π3 B.2π3 C.π D.4π3
20.(2020·淄博)如圖，放置在直線(xiàn)l上的扇形OAB，由圖①滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng))到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③.若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是(　　)
A.2π＋2 　B.3π C. D.＋2

第20題圖 第21題圖
21.(2020·蘇州)如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，則圖中陰影部分的面積為(　　)
A．π－1 B. －1
C．π－ D. －
22.(2020·樂(lè)山)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′.則圖中陰影部分面積為(　　)
A. B. C. D.π

第22題圖 第23題圖
23.(2020·遂寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若CD＝，則圖中陰影部分面積為(　　)
A．4－ B．2－ C．2－π D．1－
二、填空題
24.在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____．
25.由組成圓心角的__________和______________圍成的圖形叫做扇形；半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積為_(kāi)___________；若已知扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則扇形的面積為_(kāi)_______．
26.(貴港中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時(shí)點(diǎn)A′恰好在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．(結(jié)果保留π)．

第26題圖 第27題圖 第29題圖 第30題圖 第31題圖
27.如圖,一把直角尺的45°角的頂點(diǎn)A落在☉O上,兩邊分別交☉O于B,C兩點(diǎn).若☉O的半徑為2,則BC的長(zhǎng)為　 　.?
28.若某扇形花壇的面積為6 m2,半徑為3 m,則該扇形花壇的弧長(zhǎng)為　 　m.?
29.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,連接BD,∠ABD＝60°,CD＝23,則BD的長(zhǎng)為 　.?
30.如圖,在△ABC中,BC＝2,∠B＝60°,若把線(xiàn)段BC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)C落在直線(xiàn)AB上的點(diǎn)D處,旋轉(zhuǎn)角度大于0°且小于180°,那么線(xiàn)段BC掃過(guò)的面積等于 　.(結(jié)果保留π)?
31.(天水中考)如圖,△ABC是正三角形,曲線(xiàn)CDEF叫做正三角形的漸開(kāi)線(xiàn),其中CD,DE,EF的圓心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)是　 　.?
三、解答題
32.如圖,A,B,C三點(diǎn)在半徑為1的☉O上,四邊形ABCO是菱形,求AC的長(zhǎng).


33.如圖,AB是半圓的直徑,C,D是AB的三等分點(diǎn),☉O的半徑為1.
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.




34.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.
(1)求∠CEB的度數(shù);
(2)若AD=23,求扇形AOC的面積.

35.如圖，AC為⊙O的直徑，B為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BE.
(1)求證：BE是⊙O的切線(xiàn)；
(2)當(dāng)BE＝3時(shí)，求圖中陰影部分的面積．





36.如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點(diǎn),OC∥BD交AD于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求證:AE＝ED;
(2)若AB＝6,∠CBD＝30°,求圖中陰影部分的面積.








37.(2020·郴州)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑．直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)A，在l上取一點(diǎn)D使得DA＝DC，線(xiàn)段DC，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.
(1)求證：直線(xiàn)DC是⊙O的切線(xiàn)．
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．






38.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的函數(shù)解析式為y=33x,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1,0),以點(diǎn)O1為圓心、O1O為半徑畫(huà)半圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P1,交x軸正半軸于點(diǎn)O2,由弦P1O2和P1O2圍成的弓形面積記為S1;以點(diǎn)O2為圓心、O2O為半徑畫(huà)圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P2,交x軸正半軸于點(diǎn)O3,由弦P2O3和P2O3圍成的弓形面積記為S2;以點(diǎn)O3為圓心、O3O為半徑畫(huà)圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P3,交x軸正半軸于點(diǎn)O4,由弦P3O4和P3O4圍成的弓形面積記為S3;……按此做法進(jìn)行下去,求S2021.










39.如圖,半圓O的直徑AB＝6,弦CD的長(zhǎng)為3,點(diǎn)C,D在AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng),且不與點(diǎn)A重合,但點(diǎn)C可與點(diǎn)B重合.
(1)當(dāng)AD的長(zhǎng)為3π4時(shí),求BC的長(zhǎng);
(2)取CD的中點(diǎn)M,在CD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,求點(diǎn)M到AB的距離的最小值.






參考答案
一、選擇題
1.如圖,☉O的半徑為6,☉O上有三點(diǎn)A,B,C,且∠ACB＝30°,則AB的長(zhǎng)等于 (B)
A.π B.2π C.3π D.4π

第1題圖 第5題圖 第10題圖 第11題圖
2.(2019·溫州)若扇形的圓心角為90°，半徑為6，則該扇形的弧長(zhǎng)為(　C　)
A.π B．2π
C．3π D．6π
3.有一段長(zhǎng)度為2.5π的弧,則此弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)為75°,則這段圓弧所在圓的半徑是 (C)
A.3 B.4 C.6 D.12
4.有一條弧的長(zhǎng)為2π cm,半徑為2 cm,則這條弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)是 (D)
A.90° B.120° C.135° D.180°
5.如圖,扇形紙扇完全打開(kāi)后,外側(cè)兩竹條AB,AC的夾角為150°,AB的長(zhǎng)為32 cm,BD的長(zhǎng)為14 cm,則DE的長(zhǎng)為 (C)
A.154π cm B.12π cm
C.15π cm D.36π cm
6.若扇形的圓心角為90°,半徑為6,則該扇形的面積為 (D)
A.3π2 B.3π C.6π D.9π
7.如果弧長(zhǎng)為4π cm的扇形面積為16π cm2,那么該扇形的半徑為 (A)
A.8 cm B.9 cm C.10 cm D.11 cm
8.已知一個(gè)扇形的半徑等于一個(gè)圓的半徑的2倍,且它的面積等于該已知圓的面積,則這一扇形的圓心角為 (B)
A.60° B.90° C.120° D.150°
9.若鐘面上分針的長(zhǎng)為1,則從9點(diǎn)到9點(diǎn)15分,分針在鐘面上掃過(guò)的面積是 (B)
A.18π B.14π C.12π D.π
10.(2020·南充)如圖，四個(gè)三角形拼成一個(gè)風(fēng)車(chē)圖形，若AB＝2，當(dāng)風(fēng)車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)90°，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為(　A　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
11.(中考·咸寧)如圖，⊙O的半徑為3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，則的長(zhǎng)為(　C　)
A．π B.π C．2π D．3π
12.(2020·聊城)如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為點(diǎn)M，連接OC，DB，如果OC∥DB，OC＝2，那么圖中陰影部分的面積是(　B　)
A．π B．2π C．3π D．4π

第12題圖 第13題圖 第14題圖 第15題圖
13.(2019·寧夏)如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為2，分別以點(diǎn)A，D為圓心，以AB，DC為半徑作扇形ABF、扇形DCE，則圖中陰影部分的面積是(　B　)
A．6－π B．6－π C．12－π D．12－π
14.如圖,AB為☉O的直徑,點(diǎn)C在☉O上.若∠OCA=40°,AB=6,則BC的長(zhǎng)為(　D　)
A.8π3 B.10π3 C.5π3 D.4π3
15.(咸寧中考)如圖,☉O的半徑為3,四邊形ABCD內(nèi)接于☉O,連接OB,OD.若∠BOD=∠BCD,則BD的長(zhǎng)為(　C　)
A.π B.32π C.2π D.3π
16.如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3,以點(diǎn)A為圓心、2為半徑作圓弧,以點(diǎn)D為圓心、3為半徑作圓弧.若圖中陰影部分的面積分別為S1,S2,則S1-S2的值為(　C　)
A.9 B.9-π C.134π-9 D.134π

第16題圖 第17題圖 第18題圖 第19題圖
17.如圖,5×3的網(wǎng)格圖中,每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,設(shè)經(jīng)過(guò)圖中格點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)的圓弧與AE交于點(diǎn)H,則AH的長(zhǎng)為 (B)
A.136π B.134π C.53π D.52π
18.如圖,AB⊥OB,AB＝2,OB＝4,把∠ABO繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到∠CDO,則AB掃過(guò)的面積(圖中陰影部分)為 (C)
A.2 B.2π C.23π D.π
19.邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC在直線(xiàn)l上,按如圖所示的方式進(jìn)行兩次旋轉(zhuǎn),在兩次旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,點(diǎn)C經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 (B)
A.π3 B.2π3 C.π D.4π3
20.(2020·淄博)如圖，放置在直線(xiàn)l上的扇形OAB，由圖①滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng))到圖②，再由圖②滾動(dòng)到圖③.若半徑OA＝2，∠AOB＝45°，則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)是(　　)
A.2π＋2 　B.3π C. D.＋2
【點(diǎn)撥】如圖所示．


第20題圖 第21題圖
21.(2020·蘇州)如圖，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝，過(guò)AB的中點(diǎn)C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，則圖中陰影部分的面積為(　　)
A．π－1 B. －1
C．π－ D. －
【點(diǎn)撥】∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°.∴四邊形CDOE是矩形．
連接OC.
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴∠AOC＝∠BOC.
又∵OC＝OC，
∴△COD≌△COE(AAS)．
∴OD＝OE.
∴矩形CDOE是正方形．
∵OC＝OA＝，∴OE＝1.
∴S陰影＝S扇形OAB－S正方形CDOE＝－1×1＝－1.
【答案】B
22.(2020·樂(lè)山)在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1.如圖，將△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB′C′.則圖中陰影部分面積為(　　)
A. B. C. D.π

第22題圖 第23題圖
【點(diǎn)撥】∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∠BAB′＝90°，
∴∠CAB′＝60°，AC＝2BC＝2.
∴AB＝.
∴S陰影＝－－×1×＝.
【答案】B
23.(2020·遂寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的⊙O與BC相切于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，若CD＝，則圖中陰影部分面積為(　　)
A．4－ B．2－ C．2－π D．1－
【點(diǎn)撥】如圖，連接OD，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于點(diǎn)H.

∵∠C＝90°，AC＝BC，
∴∠B＝∠CAB＝45°.
∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，
∴OD⊥BC.
∴四邊形ODCH為矩形．
∴OH＝CD＝.
在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，
∴OA＝OH＝2.
∴OD＝OA＝2.
在Rt△OBD中，∠B＝45°，
∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2.
∴S陰影＝S△OBD－S扇形ODE＝×2×2－＝2－.
【答案】B
二、填空題
24.在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為_(kāi)_____．
【答案】
25.由組成圓心角的__________和______________圍成的圖形叫做扇形；半徑為R，圓心角為n°的扇形的面積為_(kāi)___________；若已知扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，則扇形的面積為_(kāi)_______．
【答案】?jī)蓷l半徑；圓心角所對(duì)的弧；；lR
26.(貴港中考)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△A′BC′的位置，此時(shí)點(diǎn)A′恰好在CB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．(結(jié)果保留π)．
【答案】4π

第26題圖 第27題圖 第29題圖 第30題圖 第31題圖
27.如圖,一把直角尺的45°角的頂點(diǎn)A落在☉O上,兩邊分別交☉O于B,C兩點(diǎn).若☉O的半徑為2,則BC的長(zhǎng)為　π　.?
28.若某扇形花壇的面積為6 m2,半徑為3 m,則該扇形花壇的弧長(zhǎng)為　4　m.?
29.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB于點(diǎn)E,連接BD,∠ABD＝60°,CD＝23,則BD的長(zhǎng)為?23π　.?
30.如圖,在△ABC中,BC＝2,∠B＝60°,若把線(xiàn)段BC繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn),使得點(diǎn)C落在直線(xiàn)AB上的點(diǎn)D處,旋轉(zhuǎn)角度大于0°且小于180°,那么線(xiàn)段BC掃過(guò)的面積等于?23π或43π　.(結(jié)果保留π)?
31.(天水中考)如圖,△ABC是正三角形,曲線(xiàn)CDEF叫做正三角形的漸開(kāi)線(xiàn),其中CD,DE,EF的圓心依次是A,B,C,如果AB=1,那么曲線(xiàn)CDEF的長(zhǎng)是　4π　.?


三、解答題
32.如圖,A,B,C三點(diǎn)在半徑為1的☉O上,四邊形ABCO是菱形,求AC的長(zhǎng).

解:連接OB.
∵四邊形OABC是菱形,
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC,
∴△AOB,△BOC都是等邊三角形,
∴∠AOB＝∠BOC＝60°,∴∠AOC＝120°,
∴AC的長(zhǎng)＝120π·1180＝2π3.
33.如圖,AB是半圓的直徑,C,D是AB的三等分點(diǎn),☉O的半徑為1.
(1)求CD的長(zhǎng);
(2)求圖中陰影部分的面積.

解:(1)∵C,D是AB的三等分點(diǎn),∴∠COD=60°,
∴CD的長(zhǎng)l=60π×1180=π3.
(2)圖中陰影部分的面積=π×122-60π×12360=π2-π6=π3.
34.如圖,AB是☉O的直徑,弦CD交AB于點(diǎn)E,∠ACD=60°,∠ADC=50°.
(1)求∠CEB的度數(shù);
(2)若AD=23,求扇形AOC的面積.

解:(1)連接BC.∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.
又∵∠ABC=∠ADC=50°,∴∠BAC=40°,
∴∠CEB=∠ACD+∠BAC=60°+40°=100°.
(2)連接BD,OC,則∠AOC=2∠ADC=100°.
∵∠BAD=∠BCD=30°,∠ADB=90°,AD=23,
∴AB=4,∴AO=2,∴扇形AOC的面積=100·π×4360=10π9.
35.如圖，AC為⊙O的直徑，B為⊙O上一點(diǎn)，∠ACB＝30°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足E在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，連接BE.
(1)求證：BE是⊙O的切線(xiàn)；

證明：連接BO.
∵∠ACB＝30°，OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°.
∵DE⊥AC，CB＝BD.
∴BE＝CD＝BC.
∴∠BEC＝∠BCE＝30°.
∴在△BCE中，∠EBC＝180°－∠BEC－∠BCE＝120°.
∴∠EBO＝∠EBC－∠OBC＝120°－30°＝90°.
∴BE是⊙O的切線(xiàn)．
(2)當(dāng)BE＝3時(shí)，求圖中陰影部分的面積．
解：當(dāng)BE＝3時(shí)，BC＝3.
∵AC為⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°.
又∵∠ACB＝30°，∴AB＝AC.
∵AB2＋BC2＝AC2，∴AB＝.
∴AC＝2.∴AO＝.
∴S陰影＝S半圓形－SRt△ABC＝π×AO2－AB×BC＝π×3－××3＝π－ .
36.如圖,AB是☉O的直徑,C,D是☉O上的點(diǎn),OC∥BD交AD于點(diǎn)E,連接BC.
(1)求證:AE＝ED;
(2)若AB＝6,∠CBD＝30°,求圖中陰影部分的面積.

解:(1)∵AB是☉O的直徑,∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD,O為AB的中點(diǎn),
∴OE為△ABD的中位線(xiàn),∴AE＝ED.
(2)連接OD.
∵OC∥BD,∠CBD＝30°,∴∠OCB＝∠CBD＝30°.
∵OC＝OB,∴∠OBC＝∠OCB＝30°,
∴∠AOC＝∠OCB＋∠OBC＝60°.
∵∠COD＝2∠CBD＝60°,∴∠AOD＝120°.
由(1)可知∠AEO＝90°,
∴∠AOE＝60°,∠OAE＝30°.
∵AB＝6,∴OA＝12AB＝3,OE＝12OA＝32,AE＝OA2－OE2＝332,∴AD＝2AE＝33,
∴S陰影＝S扇形AOD－S△AOD＝120π×32360－12×33×32＝3π－934.
37.(2020·郴州)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑．直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)A，在l上取一點(diǎn)D使得DA＝DC，線(xiàn)段DC，AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)E.
(1)求證：直線(xiàn)DC是⊙O的切線(xiàn)．

證明：如圖，連接OC.
∵AB是⊙O的直徑，直線(xiàn)l與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠DAB＝90°.
∵DA＝DC，OA＝OC，
∴∠DAC＝∠DCA，∠OAC＝∠OCA.
∴∠DCA＋∠OCA＝∠DAC＋∠OAC，
即∠DCO＝∠DAO＝90°.
∴OC⊥DC.
∴直線(xiàn)DC是⊙O的切線(xiàn)．
(2)若BC＝2，∠CAB＝30°，求圖中陰影部分的面積(結(jié)果保留π)．
【思路點(diǎn)撥】連接OC，將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為△OCE與扇形OCB的面積之差．
解：∵∠CAB＝30°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝60°.
又∵OC＝OB，∴△COB是等邊三角形．
∴OC＝OB＝BC＝2.
在Rt△OCE中，∠EOC＝60°，
∴∠E＝30°.
∴OE＝2OC＝4.
∴CE＝2.
∴S陰影＝S△OCE－S扇形OCB＝×2×2－＝2－.
38.如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l的函數(shù)解析式為y=33x,點(diǎn)O1的坐標(biāo)為(1,0),以點(diǎn)O1為圓心、O1O為半徑畫(huà)半圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P1,交x軸正半軸于點(diǎn)O2,由弦P1O2和P1O2圍成的弓形面積記為S1;以點(diǎn)O2為圓心、O2O為半徑畫(huà)圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P2,交x軸正半軸于點(diǎn)O3,由弦P2O3和P2O3圍成的弓形面積記為S2;以點(diǎn)O3為圓心、O3O為半徑畫(huà)圓,交直線(xiàn)l于點(diǎn)P3,交x軸正半軸于點(diǎn)O4,由弦P3O4和P3O4圍成的弓形面積記為S3;……按此做法進(jìn)行下去,求S2021.

解:連接P1O1,P2O2,P3O3,P4O4,…,
∵P1是☉O1上的點(diǎn),∴P1O1=O1O2.
∵直線(xiàn)l的解析式為y=33x,∴∠P1OO1=30°,
∴∠P1O1O2=60°,∴△O1P1O2是等邊三角形,
∴△O1P1O2的邊長(zhǎng)=1,∴△O1P1O2的面積=34,
∴S1=S扇形O1P1O2-S△O1P1O2=60·π×12360-34=16π-34,
同理S2=46π-3,S3=426π-43,S4=π×826-163=436π-423,…
∴Sn=4n-16π-4n-23,∴S2021=420206π-420193.
39.如圖,半圓O的直徑AB＝6,弦CD的長(zhǎng)為3,點(diǎn)C,D在AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)D在AC上運(yùn)動(dòng),且不與點(diǎn)A重合,但點(diǎn)C可與點(diǎn)B重合.

(1)當(dāng)AD的長(zhǎng)為3π4時(shí),求BC的長(zhǎng);
(2)取CD的中點(diǎn)M,在CD運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,求點(diǎn)M到AB的距離的最小值.
解:(1)連接OD,OC.
∵AB＝6,CD＝3,
∴OC＝OD＝12AB＝CD＝3,
∴△CDO是等邊三角形,∴∠COD＝60°,
∴CD＝60π×3180＝π.
∵AB＝12×6π＝3π,
∴BC＝AB－AD－CD＝5π4.
(2)過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E,連接OM.
∵CD＝3,∴DM＝32.
∵△CDO是等邊三角形,M為CD的中點(diǎn),
∴∠OMD＝90°,∠DOM＝∠COM＝30°,
∴在Rt△OMD中,OM＝OD2-DM2＝332.
∵在Rt△DME中,ME2＝OM2－OE2,
∴若ME取最小值,則只需要OE最大即可.
當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí),此時(shí)OE最大,如圖.
∵∠MOC＝30°,OM＝332,
∴ME＝12OM＝334,
即點(diǎn)M到AB的距離的最小值為334.


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