專題02 倍長中線法（教師版）備戰(zhàn)2021年中考幾何壓軸題分類導(dǎo)練學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題2：倍長中線法【典例引領(lǐng)】例題：（2014黑龍江龍東地區(qū)）已知ΔABC中，M為BC的中點(diǎn)，直線m繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，過B、M、C分別作BD⊥m于E，CF⊥m于F。（1）當(dāng)直線m經(jīng)過B點(diǎn)時，如圖1，易證EM=CF。（不需證明）（2）當(dāng)直線m不經(jīng)過B點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)到如圖2、圖3的位置時，線段BD、ME、CF之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況加以證明。【答案】（2）證明見解析【分析】圖2，連接DM并延長交FC的延長線于K ，可證△DBM≌△KCM，再利用三角形中位線即可得出結(jié)論。圖3同圖2證明相同。【解答】（2）圖2的結(jié)論為:ME=(BD+CF) 圖3的結(jié)論為: ME=(CF-BD)圖2的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC的延長線于K 又∵BD⊥m,CF⊥m ∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM 又∵∠DMB=∠CMK BM=MC ∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK 由易證知:EM=FK ∴ME=(CF+CK)=(CF+DB) 圖3的結(jié)論證明如下：連接DM并延長交FC于K 又∵BD⊥m,CF⊥m ∴BD∥CF ∴∠MBD=∠KCM 又∵∠DMB=∠CMK BM=MC ∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK DM=MK 由易證知:EM=FK ∴ME=(CF-CK)=(CF-DB) 【強(qiáng)化訓(xùn)練】1、（2017黑龍江龍東地區(qū)）已知：ΔAOB和ΔCOD均為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH。（1）如圖1所示，易證OH=AD且OH⊥AD（不需證明）（2）將ΔCOD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到圖2，圖3所示位置是，線段OH與AD又有怎樣的關(guān)系，并選擇一個圖形證明你的結(jié)論。【答案】（2）證明見解析【分析】（1）只要證明△AOD≌△BOC，即可解決問題；①如圖2中，結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，由△BEO≌△ODA即可解決問題；②如圖3中，結(jié)論不變．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解決問題；【解答】（1）證明：如圖1中，∵△OAB與△OCD為等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，∴OC=OD，OA=OB，∵在△AOD與△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO=∠BCO，∠OAD=∠OBC，∵點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)，∴OH=HB，∴∠OBH=∠HOB=∠OAD，又因?yàn)?/span>∠OAD+∠ADO=90°，所以∠ADO+∠BOH=90°所以OH⊥AD（2）解：①結(jié)論：OH=AD，OH⊥AD，如圖2中，延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，易證△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOH=∠EOB+∠AOH=90°，∴OH⊥AD．②如圖3中，結(jié)論不變．延長OH到E，使得HE=OH，連接BE，延長EO交AD于G．易證△BEO≌△ODA∴OE=AD∴OH=OE=AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB=∠DAO∴∠DAO+∠AOF=∠EOB+∠AOG=90°，∴∠AGO=90°∴OH⊥AD．2．在△ABC中，AB=BC，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，O，C重合）．過點(diǎn)A，點(diǎn)C作直線BP的垂線，垂足分別為點(diǎn)E和點(diǎn)F，連接OE，OF．（1）如圖1，請直接寫出線段OE與OF的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，當(dāng)∠ABC=90°時，請判斷線段OE與OF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由（3）若|CF﹣AE|=2，EF=2，當(dāng)△POF為等腰三角形時，請直接寫出線段OP的長．【答案】（1）OF =OE；（2）OF⊥EK，OF=OE，理由見解析；（3）OP的長為或.【分析】（1）如圖1中，延長EO交CF于K，證明△AOE≌△COK，從而可得OE=OK，再根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得OF=OE；（2）如圖2中，延長EO交CF于K，由已知證明△ABE≌△BCF，△AOE≌△COK，繼而可證得△EFK是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性質(zhì)即可得OF⊥EK，OF=OE；（3）分點(diǎn)P在AO上與CO上兩種情況分別畫圖進(jìn)行解答即可得.【解答】（1）如圖1中，延長EO交CF于K，∵AE⊥BE，CF⊥BE，∴AE∥CK，∴∠EAO=∠KCO，∵OA=OC，∠AOE=∠COK，∴△AOE≌△COK，∴OE=OK，∵△EFK是直角三角形，∴OF=EK=OE；（2）如圖2中，延長EO交CF于K，∵∠ABC=∠AEB=∠CFB=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°，∴∠BAE=∠CBF，∵AB=BC，∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF，AE=BF，∵△AOE≌△COK，∴AE=CK，OE=OK，∴FK=EF，∴△EFK是等腰直角三角形，∴OF⊥EK，OF=OE；（3）如圖3中，點(diǎn)P在線段AO上，延長EO交CF于K，作PH⊥OF于H，∵|CF﹣AE|=2，EF=2，AE=CK，∴FK=2，在Rt△EFK中，tan∠FEK=，∴∠FEK=30°，∠EKF=60°，∴EK=2FK=4，OF=EK=2，∵△OPF是等腰三角形，觀察圖形可知，只有OF=FP=2，在Rt△PHF中，PH=PF=1，HF=，OH=2﹣，∴OP=.如圖4中，點(diǎn)P在線段OC上，當(dāng)PO=PF時，∠POF=∠PFO=30°，∴∠BOP=90°，∴OP=OE=，綜上所述：OP的長為或.3.已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過點(diǎn)A、C向直線BD作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)。（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時，如圖1，易證OE=OF（不需證明）（2）直線BP繞點(diǎn)B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時，如圖2、圖3的位置，猜想線段CF、AE、OE之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你對圖2、圖3的猜想，并選擇一種情況給予證明。【答案】（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，證明見解析【分析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．（2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延長EO交CF于點(diǎn)G，只要證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問題．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G，證明方法類似．【解答】（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP， ∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中， ∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．（3）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE．選圖2中的結(jié)論證明如下：延長EO交CF于點(diǎn)G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中， ∴△EOA≌△GOC， ∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG， ∴OE=OF=GO， ∵∠OFE=30°， ∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等邊三角形， ∴OF=GF， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG+CG， ∴CF=OE+AE．選圖3的結(jié)論證明如下：延長EO交FC的延長線于點(diǎn)G， ∵AE⊥BP，CF⊥BP， ∴AE∥CF， ∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中， ∴△AOE≌△COG， ∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG， ∴OE=OF=OG， ∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°， ∴△OFG是等邊三角形， ∴OF=FG， ∵OE=OF， ∴OE=FG， ∵CF=FG﹣CG，∴OE=OF． 4．如圖1，點(diǎn)E是正方形ABCD邊CD上任意一點(diǎn)，以DE為邊作正方形DEFG，連接BF，點(diǎn)M是線段BF中點(diǎn)，射線EM與BC交于點(diǎn)H，連接CM．（1）請直接寫出CM和EM的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)45°，此時點(diǎn)F恰好落在線段CD上，如圖2，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由；（3）把圖1中的正方形DEFG繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°，此時點(diǎn)E、G恰好分別落在線段AD、CD上，如圖3，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否成立，請說明理由．【答案】（1）CM=EM，CM⊥EM，理由見解析；（2）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析；（3）（1）中的結(jié)論成立，理由見解析.【分析】（1）延長EM交AD于H，證明△FME≌△AMH，得到HM=EM，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)A、E、C在同一條直線上，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半證明即可；（3）根據(jù)題意畫出完整的圖形，根據(jù)平行線分線段成比例定理、等腰三角形的性質(zhì)證明即可．【解答】（1）如圖1，結(jié)論：CM=EM，CM⊥EM．理由：∵AD∥EF，AD∥BC，∴BC∥EF，∴∠EFM=∠HBM，在△FME和△BMH中，，，∴△FME≌△BMH，∴HM=EM，EF=BH，∵CD=BC，∴CE=CH，∵∠HCE=90°，HM=EM，∴CM=ME，CM⊥EM．（2）如圖2，連接AE，∵四邊形ABCD和四邊形EDGF是正方形，∴∠FDE=45°，∠CBD=45°，∴點(diǎn)B、E、D在同一條直線上，∵∠BCF=90°，∠BEF=90°，M為BF的中點(diǎn)，∴CM=BF，EM=BF，∴CM=ME，∵∠EFD=45°，∴∠EFC=135°，∵CM=FM=ME，∴∠MCF=∠MFC，∠MFE=∠MEF，∴∠MCF+∠MEF=135°，∴∠CME=360°-135°-135°=90°，∴CM⊥ME．（3）如圖3，連接CF，MG，作MN⊥CD于N，在△EDM和△GDM中，，∴△EDM≌△GDM，∴ME=MG，∠MED=∠MGD，∵M為BF的中點(diǎn)，FG∥MN∥BC，∴GN=NC，又MN⊥CD，∴MC=MG，∴MD=ME，∠MCG=∠MGC，∵∠MGC+∠MGD=180°，∴∠MCG+∠MED=180°，∴∠CME+∠CDE=180°，∵∠CDE=90°，∴∠CME=90°，∴（1）中的結(jié)論成立．

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