專題06 直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用（教師版） 備戰(zhàn)2021年中考幾何壓軸題分類導(dǎo)練學(xué)案

這是一份專題06 直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用（教師版） 備戰(zhàn)2021年中考幾何壓軸題分類導(dǎo)練學(xué)案，共14頁(yè)。學(xué)案主要包含了典例引領(lǐng)，強(qiáng)化訓(xùn)練等內(nèi)容，歡迎下載使用。
 專題6：直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用【典例引領(lǐng)】例：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D，E分別在AC，BC上，且CD=CE．（1）如圖1，求證：∠CAE=∠CBD；（2）如圖2，F是BD的中點(diǎn)，求證：AE⊥CF；（3）如圖3，F，G分別是BD，AE的中點(diǎn)，若AC=2，CE=1，求△CGF的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）S△CFG=．【解析】（1）直接判斷出△ACE≌△BCD即可得出結(jié)論；（2）先判斷出∠BCF=∠CBF，進(jìn)而得出∠BCF=∠CAE，即可得出結(jié)論；（3）先求出BD=3，進(jìn)而求出CF=，同理：EG=，再利用等面積法求出ME，進(jìn)而求出GM，最后用面積公式即可得出結(jié)論．【解答】（1）在△ACE和△BCD中，，∴△ACE≌△BCD，∴∠CAE=∠CBD；（2）如圖2，在Rt△BCD中，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴CF=BF，∴∠BCF=∠CBF，由（1）知，∠CAE=∠CBD，∴∠BCF=∠CAE，∴∠CAE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=∠BAC=90°，∴∠AMC=90°，∴AE⊥CF；（3）如圖3，∵AC=2，∴BC=AC=2，∵CE=1，∴CD=CE=1，在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得，BD==3，∵點(diǎn)F是BD中點(diǎn)，∴CF=DF=BD=，同理：EG=AE=，連接EF，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC，∵∠ACB=90°，點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，∴FH=CD=，∴S△CEF=CE?FH=×1×=，由（2）知，AE⊥CF，∴S△CEF=CF?ME=×ME=ME，∴ME=，∴ME=，∴GM=EG-ME=-=，∴S△CFG=CF?GM=××=．【強(qiáng)化訓(xùn)練】1．在正方形ABCD中，E是邊CD上一點(diǎn)（點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合），連結(jié)BE．（感知）如圖①，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BE交BC于點(diǎn)F．易證△ABF≌△BCE．（不需要證明）（探究）如圖②，取BE的中點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作FG⊥BE交BC于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G．（1）求證：BE=FG．（2）連結(jié)CM，若CM=1，則FG的長(zhǎng)為　   　．（應(yīng)用）如圖③，取BE的中點(diǎn)M，連結(jié)CM．過(guò)點(diǎn)C作CG⊥BE交AD于點(diǎn)G，連結(jié)EG、MG．若CM=3，則四邊形GMCE的面積為　   　．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）2，9.【解析】【分析】感知：利用同角的余角相等判斷出∠BAF=∠CBE，即可得出結(jié)論；探究：（1）判斷出PG=BC，同感知的方法判斷出△PGF≌CBE，即可得出結(jié)論；（2）利用直角三角形的斜邊的中線是斜邊的一半，應(yīng)用：借助感知得出結(jié)論和直角三角形斜邊的中線是斜邊的一半即可得出結(jié)論．【解答】感知：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BCE=∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠BAF=∠CBE，在△ABF和△BCE中，，∴△ABF≌△BCE（ASA）；探究：（1）如圖②，過(guò)點(diǎn)G作GP⊥BC于P，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠ABC=90°，∴四邊形ABPG是矩形，∴PG=AB，∴PG=BC，同感知的方法得，∠PGF=∠CBE，在△PGF和△CBE中，，∴△PGF≌△CBE（ASA），∴BE=FG；（2）由（1）知，FG=BE，連接CM，∵∠BCE=90°，點(diǎn)M是BE的中點(diǎn)，∴BE=2CM=2，∴FG=2，故答案為：2．應(yīng)用：同探究（2）得，BE=2ME=2CM=6，∴ME=3，同探究（1）得，CG=BE=6，∵BE⊥CG，∴S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9，故答案為：9．2．綜合與實(shí)踐：如圖1，將一個(gè)等腰直角三角尺的頂點(diǎn)放置在直線上，，，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．觀察發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．當(dāng)，兩點(diǎn)均在直線的上方時(shí)，①猜測(cè)線段，與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；②直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系；操作證明：（2）將等腰直角三角尺繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2位置時(shí)，線段，與又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并寫出證明過(guò)程；拓廣探索：（3）將等腰直角三用尺繞著點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至圖3位置時(shí)，與交于點(diǎn)，若，，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．【答案】（1）①． 理由見(jiàn)解析；②；（2）；證明見(jiàn)解析；（3）的長(zhǎng)度為．【分析】（1）過(guò)點(diǎn)作根據(jù)已知條件結(jié)合直角三角形性質(zhì)證明，從而得到四邊形為正方形，最后得出①，直接寫出②（2）過(guò)點(diǎn)作，先證明證明四邊形為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)求解（3）過(guò)點(diǎn)作，證明，四邊形為正方形，再求解.【解答】解：（1）①． 理由如下： 如圖，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，∴．又∵∴∴四邊形為矩形．∴．又∵，∴．即．在和中，∴．∴，．又∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形．∴．∴．②．（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∵，，∴．又∵，∴．∴四邊形為矩形．∴．又∵，∴，即．在和中，∴．∴，．又∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形．∴．∵，∴．∴． （3）如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，同理可證，，四邊形為正方形．∴，．∵，∴．∴．∵，，∴，．∵，∴．∴．∴．3．如圖①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E在AC上（且不與點(diǎn)A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，連接AD，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF．（1）請(qǐng)直接寫出線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系     ；（2）將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上時(shí)，如圖②，連接AE，請(qǐng)判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖②的基礎(chǔ)上，將△CED繞點(diǎn)C繼續(xù)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請(qǐng)判斷（2）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若不變，結(jié)合圖③寫出證明過(guò)程；若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)AF=AE；（2）AF=AE，證明詳見(jiàn)解析；（3）結(jié)論不變，AF=AE，理由詳見(jiàn)解析.【分析】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE，只要證明△AEF是等腰直角三角形即可．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE，連接EF，DF交BC于K，先證明△EKF≌△EDA再證明△AEF是等腰直角三角形即可．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE，連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA，再證明△AEF是等腰直角三角形即可．【解答】（1）如圖①中，結(jié)論：AF=AE．理由：∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB=DF，∵AB=AC，∴AC=DF，∵DE=EC，∴AE=EF，∵∠DEC=∠AEF=90°，∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=AE．（2）如圖②中，結(jié)論：AF=AE．理由：連接EF，DF交BC于K．∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴AB∥DF，∴∠DKE=∠ABC=45°，∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE，∵∠DKC=∠C，∴DK=DC，∵DF=AB=AC，∴KF=AD， 在△EKF和△EDA中， ，∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED，∴∠FEA=∠BED=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AF=AE．（3）如圖③中，結(jié)論不變，AF=AE．理由：連接EF，延長(zhǎng)FD交AC于K．∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC，∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC，∴∠EDF=∠ACE，∵DF=AB，AB=AC，∴DF=AC在△EDF和△ECA中，，∴△EDF≌△ECA，∴EF=EA，∠FED=∠AEC，∴∠FEA=∠DEC=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，4．如圖①，△ABC與△CDE是等腰直角三角形，直角邊AC、CD在同一條直線上，點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)，連接AE、BD．（1）猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論；（2）現(xiàn)將圖①中的△CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），得到圖②，AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H．請(qǐng)判斷（1）中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若圖②中的等腰直角三角形變成直角三角形，使BC=kAC，CD=kCE，如圖③，寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．【答案】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由見(jiàn)解析；（2）理由見(jiàn)解析；（3）PM=kPN；理由見(jiàn)解析【分析】（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)易證△ACE≌△BCD，由此可得AE=BD，再根據(jù)三角形中位線定理即可得到PM=PN，由平行線的性質(zhì)可得PM⊥PN；（2）（1）中的結(jié)論仍舊成立，由（1）中的證明思路即可證明；（3）PM=kPN，由已知條件可證明△BCD∽△ACE，所以可得BD=kAE，因?yàn)辄c(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)，所以PM=BD，PN=AE，進(jìn)而可證明PM=kPN．【解答】（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．在△ACE和△BCD中， ∴△ACE≌△BCD（SAS）， ∴AE=BD，∠EAC=∠CBD，∵點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn)，點(diǎn)P為AD的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE，∴PM=PM， ∵∠NPD=∠EAC，∠MPN=∠BDC，∠EAC+∠BDC=90°， ∴∠MPA+∠NPC=90°，∴∠MPN=90°，  即PM⊥PN；（2）∵△ACB和△ECD是等腰直角三角形， ∴AC=BC，EC=CD，∠ACB=∠ECD=90°．∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE． ∴∠ACE=∠BCD． ∴△ACE≌△BCD． ∴AE=BD，∠CAE=∠CBD． 又∵∠AOC=∠BOE，∠CAE=∠CBD， ∴∠BHO=∠ACO=90°．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PM∥BD； PN=AE，PN∥AE．∴PM=PN． ∴∠MGE+∠BHA=180°． ∴∠MGE=90°． ∴∠MPN=90°． ∴PM⊥PN．                        （3）PM=kPN                         ∵△ACB和△ECD是直角三角形， ∴∠ACB=∠ECD=90°． ∴∠ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．∴∠ACE=∠BCD． ∵BC=kAC，CD=kCE， ∴=k． ∴△BCD∽△ACE． ∴BD=kAE．∵點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn)， ∴PM=BD，PN=AE． ∴PM=kPN．5．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，連接AE，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AE于點(diǎn)F，連接BF．如圖①，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，易證AF﹣CF=BF（不需證明），點(diǎn)E在CB的延長(zhǎng)線上，如圖②：點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，如圖③，線段AF，CF，BF之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明．           【答案】證明AF=CF+BF．如圖②中，結(jié)論：CF﹣AF=BF．理由見(jiàn)解析；②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=BF．理由見(jiàn)解析.【分析】如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題.①如圖②中，結(jié)論：CF－AF＝BF．作BH⊥BF交AF于H．只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題.②如圖③中，結(jié)論：CF＋AF＝BF，只要證明△BAH≌△BCF，即可解決問(wèn)題.【解答】證明：如圖①中，作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠EFC=∠EBA=90°，∠CEF=∠AEB，∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AF﹣AH=AF﹣CF，∴AF﹣CF=BF，∴AF=CF+BF．①如圖②中，結(jié)論：CF﹣AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠CEF+∠FCB=90°，∠AEB+∠BAH=90°∴∠ECF=∠EAB，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH﹣AF=CF﹣AF，∴CF﹣AF=BF．②如圖③中，結(jié)論：CF+AF=BF．理由：作BH⊥BF交AF于H．∵∠ABC=∠FBH，∴∠FBC=∠ABH，∵∠AFC=∠ABC=90°，∴∠BCF+∠BAF=180°，∵∠BAF+∠BAH=180°∴∠BCF=∠BAH，在△BAH和△BCF中，，∴△BAH≌△BCF，∴AH=CF，BH=BF，∵∠FBH=90°，∴△BFH是等腰直角三角形，∴FH=BF，∵FH=AH+AF=CF+AF，∴CF+AF=BF．