專題03 截長補短法（教師版） 備戰(zhàn)2021年中考幾何壓軸題分類導(dǎo)練學(xué)案

這是一份專題03 截長補短法（教師版） 備戰(zhàn)2021年中考幾何壓軸題分類導(dǎo)練學(xué)案，共12頁。學(xué)案主要包含了典例引領(lǐng)，強化訓(xùn)練，問題情境，變式探究，結(jié)論運用等內(nèi)容，歡迎下載使用。
專題3：截長補短法【典例引領(lǐng)】例題：（2013黑龍江龍東地區(qū)）正方形ABCD的頂點A在直線MN上，點O是對角線AC、BD的交點，過點O作OEMN于點E，過點B作BF⊥MN于點F。（1）如圖1，點O、B兩點均在直線MN上方時，易證：AF+BF=2OE（不需證明）（2）當(dāng)正方形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)至圖2、圖3的位置時，線段AF、BF、OE之間又有怎樣的關(guān)系？請直接寫出你的猜想，并選擇一種情況給予證明。【答案】圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：BF-AF=2OE【分析】（1）過點B作BG⊥OE于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；（2）選擇圖2，過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，可得四邊形BGEF是矩形，根據(jù)矩形的對邊相等可得EF=BG，BF=GE，根據(jù)正方形的對角線相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角邊”證明△AOE和△OBG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得OG=AE，OE=BG，再根據(jù)AF﹣EF=AE，整理即可得證；選擇圖3同理可證．【解答】（1）證明：如圖，過點B作BG⊥OE于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE﹣GE=OE﹣BF，∴AF﹣OE=OE﹣BF，∴AF+BF=2OE；（2）圖2結(jié)論：AF﹣BF=2OE，圖3結(jié)論：AF﹣BF=2OE．對圖2證明：過點B作BG⊥OE交OE的延長線于G，則四邊形BGEF是矩形，∴EF=BG，BF=GE，在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，∵BG⊥OE，∴∠OBG+∠BOE=90°，又∵∠AOE+∠BOE=90°，∴∠AOE=∠OBG，∵在△AOE和△OBG中，，∴△AOE≌△OBG（AAS），∴OG=AE，OE=BG，∵AF﹣EF=AE，EF=BG=OE，AE=OG=OE+GE=OE+BF，∴AF﹣OE=OE+BF，∴AF﹣BF=2OE；若選圖3，其證明方法同上．【強化訓(xùn)練】1、（2018黑龍江龍東地區(qū)）如圖，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，點A在CB的延長線上，且BA=BC，點E在直線BD上移動，過點E作射線EF⊥EA，交CD所在直線于點F.（1）當(dāng)點E在線段BD上移動時，如圖（1）所示，求證：BC﹣DE=DF.（2）當(dāng)點E在直線BD上移動時，如圖（2）、圖（3）所示。線段BC、DE和DF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明.【答案】(1)答案見解答（2）圖（2）DE﹣BC=DF．圖（3）BC+DE=DF．【分析】為了證明圖（2）的結(jié)論，需要構(gòu)造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.連接EH，再證△AHE≌△EDF，即可得出結(jié)論．圖（3）同理可證．【解答】（1）證明：如圖1中，在BA上截取BH，使得BH=BE． ∵BC=AB=BD，BE=BH， ∴AH=ED， ∵∠AEF=∠ABE=90°， ∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠FED=∠HAE， ∵∠BHE=∠CDB=45°， ∴∠AHE=∠EDF=135°， ∴△AHE≌△EDF， ∴EH=DF， ∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH∵EH=DF．∴BC﹣DE=DF． （3）解：如圖2中，在BC上截取BH=BE，同法可證：DF=EH． 可得：DE﹣BC=DF．如圖3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可證：DF=HE， 可得BC+DE=DF．2．如圖，（圖1，圖2），四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點E在線段BC上，∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分線CP于點F，交BC的延長線于點N, FN⊥BC.（1）若點E是BC的中點（如圖1），AE與EF相等嗎？（2）點E在BC間運動時（如圖2），設(shè)BE=x，△ECF的面積為y。①求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x取何值時，y有最大值，并求出這個最大值.【答案】（1）AE=EF；（2）①y=-x2+2x（0＜x＜4)，②當(dāng)x=2,y最大值=2.【分析】（1）在AB上取一點G，使AG=EC，連接GE，利用ASA，易證得：△AGE≌△ECF，則可證得：AE=EF；（2）同（1）可證明AE=EF，利用AAS證明△ABE≌△ENF，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FN=BE，再表示出EC，然后利用三角形的面積公式即可列式表示出△ECF的面積為y，然后整理再根據(jù)二次函數(shù)求解最值問題．【解答】（1）如圖，在AB上取AG=EC，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，有∵AG=EC ，∴BG=BE ，又∵∠B=90°，∴∠AGE=135°，又∵∠BCD=90°，CP平分∠DCN，∴∠ECF=135°，∵∠BAE＋∠AEB=90°，∠AEB＋∠FEC=90°，∴∠BAE=∠FEC，在△AGE和△ECF中， ,∴△AGE≌△ECF，∴AE=EF；(2)①∵由（1）證明可知當(dāng)E不是中點時同理可證AE=EF，∵∠BAE=∠NEF，∠B=∠ENF=90°，∴△ABE≌△ENF，∴FN=BE=x，∴S△ECF= (BC-BE)·FN，即y= x(4-x），∴y=- x2+2x（0＜x＜4)，②，3．閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，在三角形內(nèi)取一點D，AD＝AC，∠CAD＝30°，求∠ADB．小明通過探究發(fā)現(xiàn)，∠DAB＝∠DCB＝15°，BC＝AD，這樣就具備了一邊一角的圖形特征，他果斷延長CD至點E，使CE＝AB，連接EB，造出全等三角形，使問題得到解決．（1）按照小明思路完成解答，求∠ADB；（2）參考小明思考問題的方法，解答下列問題：如圖2，△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別為BC、AC、AB上一點，連接DE，延長FE、DF分別交BC、CA延長線于點G、H，若∠DHC＝∠EDG＝2∠G．①在圖中找出與∠DEC相等的角，并加以證明；②若BG＝kCD，猜想DE與DG的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）135°;（2）①∠HDC＝∠DEC;②猜想DG＝kDE.【分析】（1）根據(jù)輔助線證得△DAB≌△BCE，則∠ADB＝∠CBE（還不能直接求得，考慮全等的其他等邊等角），∠ABD＝∠E，BD＝BE，得到∠BDE＝∠E＝∠ABD．考慮引入未知數(shù)，設(shè)∠CBD＝x，則∠E＝∠ABD＝∠BDE＝x+15°，利用∠ABC＝∠ABD+∠CBD求得x，再由周角求得結(jié)果．（2）①∠DEC是△DEH的外角，等于∠DHC+∠HDE，而∠DHC＝∠EDG，等量代換得∠DEC＝∠EDG+∠HDE＝∠HDC．②由條件DHC＝∠EDG＝2∠G，在FG上方構(gòu)造2∠G即∠FGM＝∠FGD，則∠EDG＝∠MGD，令M落在BA延長線上，加上∠B＝∠ACB，即得△BGM∽△CDE，有=k．又通過三角形內(nèi)角和求得∠M＝∠HDC，證得△MFG≌△DFG，有MG＝DG，得證．【解答】（1）延長CD至點E，使CE＝AB，連接EB∵，∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵AD＝AC，∠CAD＝30°∴BC＝AD，∠ACD＝∠ADC＝＝75°，∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝15°∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝15°即∠DAB＝∠BCD在△DAB與△BCE中，∴△DAB≌△BCE（SAS）∴∠ADB＝∠CBE，∠ABD＝∠E，BD＝BE∴∠BDE＝∠E設(shè)∠CBD＝x，則∠ABD＝45°﹣x，∠BDE＝∠BCD+∠CBD＝15°+x∴∠ABD＝∠E＝∠BDE＝15°+x∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD∴45°＝15°+x+x，得：x＝15°∴∠CDB＝180°﹣∠BCD﹣∠CBD＝180°﹣15°﹣15°＝150°∴∠ADB＝360°﹣∠ADC﹣∠CDB＝360°﹣75°﹣150°＝135°（2）①∠HDC＝∠DEC，證明如下：∵∠DHC＝∠EDG∴∠HDC＝∠HDE+∠EDG＝∠HDE+∠DHC＝∠DEC∴∠HDC＝∠DEC②猜想DG＝kDE，證明如下：在FG的上方作∠FGM＝∠FGD，使∠FGM的一邊與BA延長線交于M∵∠DHC＝∠EDG＝2∠FGD∴∠DHC＝∠EDG＝∠MGD∵AB＝AC∴∠B＝∠ACB∴∠M＝180°﹣∠B﹣∠MGD＝180°﹣∠ACB﹣∠EDC＝∠DEC∴∠M＝∠HDC在△MFG與△DFG中，∴△MFG≌△DFG（AAS）∴MG＝DG∵∠B＝∠ACB，∠EDG＝∠MGD∴△BGM∽△CDE∴∵BG＝kCD∴=K∴DG＝MG＝kDE4．【問題情境】在△ABC中，AB=AC，點P為BC所在直線上的任一點，過點P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分別為D、E，過點C作CF⊥AB，垂足為F．當(dāng)P在BC邊上時（如圖1），求證：PD+PE=CF．       圖①             圖②               圖③證明思路是：如圖2，連接AP，由△ABP與△ACP面積之和等于△ABC的面積可以證得：PD+PE=CF．（不要證明）【變式探究】當(dāng)點P在CB延長線上時，其余條件不變（如圖3）.試探索PD、PE、CF之間的數(shù)量關(guān)系并說明理由.請運用上述解答中所積累的經(jīng)驗和方法完成下列兩題：【結(jié)論運用】如圖4，將長方形ABCD沿EF折疊，使點D落在點B上，點C落在點C′處，點P為折痕EF上的任一點，過點P作PG⊥BE、PH⊥BC，垂足分別為G、H，若AD=8，CF=3，求PG+PH的值； 【答案】【變式探究】 【結(jié)論運用】4【分析】【變式探究】按照【問題情境】的證明思路即可解決問題．【結(jié)論運用】過作利用問題情境中的結(jié)論可得，易證只需求即可．【解答】【變式探究】：連接 ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB， 【結(jié)論運用】過作垂足為 ，如圖④，∵四邊形是長方形，   由折疊可得： ∴四邊形是長方形．   ∵AD∥BC， 由問題情境中的結(jié)論可得：   的值為4．