1.利用對角線互相平分判定平行四邊形;（重點）
2.平行四邊形對角線互相平分的相關(guān)運(yùn)用;（難點）
3.利用兩組對角相等判定平行四邊形.（重點）
問題1 除了兩組對邊分別平行，平行四邊形還有哪些性質(zhì)？
平行四邊形的對角相等.
平行四邊形的對角線互相平分.
思考 我們得到的這些逆命題是否都成立？這節(jié)課我們一起探討一下吧.
問題2 上面的兩條條性質(zhì)的逆命題各是什么？
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
如圖,將兩根細(xì)木條AC、BD的中點重疊，用小釘固定在一起，用橡皮筋連接木條的頂點，做成一個四邊形ABCD.轉(zhuǎn)動兩根木條，四邊形ABCD一直是一個平行四邊形嗎？
猜想：四邊形ABCD一直是一個平行四邊形.
你能根據(jù)平行四邊形的定義證明它們嗎？
已知：四邊形ABCD中，OA=OC，OB=OD.求證：四邊 形ABCD是平行四邊形.
在△AOB和△COD中,
OA=OC (已知)，
OB=OD (已知)，
∠AOB=∠COD (對頂角相等)，
∴△AOB≌△COD(SAS)，
∴ ∠BAO=∠OCD ,
∴AB∥ CD ,
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
平行四邊形的判定定理3：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵AO=CO,DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例1 如圖， □ABCD 的對角線AC,BD相交于點O,E,F是AC上的兩點，并且AE=CF.求證：四邊形BFDE是平行四邊形.
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴ AO=CO,BO=DO.
∴ AO-AE=CO-CF,即EO=OF.
∴四邊形BFDE是平行四邊形.
【變式題】如圖，AC是平行四邊形ABCD的一條對角線，BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，四邊形BMDN是平行四邊形嗎？說說你的理由．
解：四邊形BMDN是平行四邊形．理由如下：連接BD交AC于O．∵BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，∴∠AND=∠CMB=90°．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，AO=CO，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAN=∠BCM,∴△ADN≌△CBM，∴AN=CM，∴OA-AN=OC-CM，即ON=OM,∴四邊形BMDN是平行四邊形．
拓展探究 昨天李明同學(xué)在生物實驗室做實驗時，不小心碰碎了實驗室的一塊平行四邊形的實驗用的玻璃片,只剩下如圖所示部分,他想回家去割一塊賠給學(xué)校，帶上玻璃剩下部分去玻璃店不安全，于是他想把原來的平行四邊形重新在紙上畫出來，然后帶上圖紙去就行了，可怎么畫出原來的平行四邊形呢(A,B,C為三頂點,即找出第四個頂點D)？
方法依據(jù)：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.
方法依據(jù)：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.
方法依據(jù)：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.
1.根據(jù)下列條件,不能判定四邊形為平行四邊形的是 ( )A.兩組對邊分別相等 B.兩條對角線互相平分C.兩條對角線相等 D.兩組對邊分別平行
2.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD交于點O.
如果AC=8cm,BD=10cm,那么當(dāng)AO=_____cm,BO=_____cm時，四邊形ABCD是平行四邊形.
觀看下面視頻，對于兩組對角分別相等的四邊形的形狀你的猜想是什么?
已知：四邊形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求證：四邊形ABCD是平行四邊形.
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∵∠A+∠C+∠B+∠D=360°，
∴2∠A+2∠B=360°，
即∠A+∠B=180°，
同理得 AB∥ CD，
平行四邊形的判定定理：兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.
幾何語言描述：在四邊形ABCD中，∵∠A=∠C，∠B=∠D,∴四邊形ABCD是平行四邊形.
例2 如圖，四邊形ABCD中，AB∥DC，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.(1)求∠D的度數(shù)；(2)求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
(1)解：∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，∴∠D＝180°－∠2－∠1＝55°；(2)證明：∵AB∥DC，∴∠2＝∠CAB，∴∠DAB＝∠1＋∠2＝125°.∵∠DCB＋∠DAB＋∠D＋∠B＝360°，∴∠DCB＝∠DAB＝125°.又∵∠D＝∠B＝55°，∴四邊形ABCD是平行四邊形．
1.判斷下列四邊形是否為平行四邊形：
2.能判定四邊形ABCD是平行四邊形的條件： ∠A:∠B:∠C:∠D的值為 （　?。?br/>A. 1:2:3:4
B. 1:4:2:3
C. 1:2:2:1
D. 3:2:3:2
盧師傅要做一個平行四邊形木框.他要從圖中幾根木條中選出四根來制作，可是他不知道該怎樣選，請同學(xué)們幫他選一選，哪四根木條可以制作成平行四邊形木框，為什么？
發(fā)現(xiàn)：一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形不一定是平行四邊形.兩組邊相等的四邊形也不一定是平行四邊形.
想一想：判定一個四邊形是平行邊形可以從哪些角度思考?具體有哪些方法?
兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形(定義法)
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形(判定定理2)
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形（判定定理1）
兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形（定義拓展）
對角線互相平分的四邊形是平行四邊形（判定定理3）
1.判斷對錯:(1)有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形. ( ) (2)有兩條邊相等，并且另外的兩條邊也相等的四邊 形一定是平行四邊形. ( )(3)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形. ( ) (4)一條對角線平分另一條對角線的四邊形是平行四 邊形. ( )(5)有一組對角相等且一組對邊平行的四邊形是平行 四邊形. ( )
2.如圖，四邊形ABCD的對角線交于點O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（　?。〢．OA=OC，OB=OD B．AB=CD，AO=CO C．AB=CD，AD=BC D．∠BAD=∠BCD，AB∥CD
3.如圖，五邊形ABCDE是正五邊形，連接BD、CE，交于點P． 求證：四邊形ABPE是平行四邊形．
證明：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴正五邊形的每個內(nèi)角的度數(shù)是 AB=BC=CD=DE=AE，∴∠DEC=∠DCE= ×(180°-108°)=36°，同理∠CBD=∠CDB=36°，∴∠ABP=∠AEP=108°-36°=72°，∴∠BPE=360°-108°-72°-72°=108°=∠A，∴四邊形ABPE是平行四邊形．
4.如圖，△ABC中，AB=AC=10，D是BC邊上的任意一點，分別作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∴DE=AF.又∵AB=AC=10，∴∠B=∠C.∵DF∥AB，∴∠CDF=∠B，∴∠CDF=∠C，∴DF=CF，∴DE+DF=AF+FC=AC=10．

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18.2 平行四邊形的判定

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