2021年浙江中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2021年浙江中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式
一．選擇題（共10小題）
1．（2021?寧波）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（　?。?br /> A． B．
C． D．
2．（2021?衢州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時(shí)1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（　?。?br /> A． B．
C． D．
3．（2021?臺州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
4．（2021?杭州）某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次．設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則（　?。?br /> A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
5．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（　　）
A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
6．（2021?麗水）若﹣3a＞1，兩邊都除以﹣3，得（　?。?br /> A．a(chǎn)＜﹣ B．a(chǎn)＞﹣ C．a(chǎn)＜﹣3 D．a(chǎn)＞﹣3
7．（2021?麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
8．（2021?湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　?。?br /> A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
9．（2021?金華）一個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（　?。?br />
A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
10．（2021?嘉興）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
二．填空題（共5小題）
11．（2021?嘉興）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解　　．
12．（2021?衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集為　 ?。?br /> 13．（2021?金華）已知是方程3x+2y＝10的一個(gè)解，則m的值是　 ?。?br /> 14．（2021?溫州）不等式組的解集為　 ?。?br /> 15．（2021?紹興）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有　　兩．
三．解答題（共7小題）
16．（2021?臺州）解方程組：．
17．（2021?麗水）解方程組：．
18．（2021?湖州）解分式方程：＝1．
19．（2021?臺州）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．
（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；
（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．

20．（2021?杭州）以下是圓圓解不等式組的解答過程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式組的解是x＞﹣1．
圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程．
21．（2021?紹興）（1）計(jì)算：4sin60°﹣+（2﹣）0．
（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．
22．（2021?嘉興）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏：
兩邊同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
則x＝6．
小霞：
移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．

2021年浙江中考數(shù)學(xué)真題分類匯編之方程與不等式
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．（2021?寧波）我國古代數(shù)學(xué)名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現(xiàn)在一斗清酒價(jià)值10斗谷子，一斗醑酒價(jià)值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（　　）
A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)常識；由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，根據(jù)“拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．
【解答】解：設(shè)清酒x斗，醑酒y斗，
依題意得：．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學(xué)常識，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
2．（2021?衢州）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時(shí)1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（　?。?br /> A． B．
C． D．
【考點(diǎn)】數(shù)學(xué)常識；由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】根據(jù)“五只雀、六只燕，共重1斤（等于16兩），雀重燕輕．互換其中一只，恰好一樣重”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組．
【解答】解：根據(jù)題意，得：
，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．
3．（2021?臺州）關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（　?。?br /> A．m＞2 B．m＜2 C．m＞4 D．m＜4
【考點(diǎn)】根的判別式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】利用判別式的意義得到△＝(﹣4)2﹣4m＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根據(jù)題意得△＝(﹣4)2﹣4m＞0，
解得m＜4．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
4．（2021?杭州）某景點(diǎn)今年四月接待游客25萬人次，五月接待游客60.5萬人次．設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則（　?。?br /> A．60.5（1﹣x）＝25 B．25（1﹣x）＝60.5
C．60.5（1+x）＝25 D．25（1+x）＝60.5
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出一元一次方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】依題意可知四月份接待游客25萬，則五月份接待游客人次為：25（1+x），進(jìn)而得出答案．
【解答】解：設(shè)該景點(diǎn)今年四月到五月接待游客人次的增長率為x（x＞0），則
25（1+x）＝60.5．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次方程中增長率的問題，一般公式為：原來的量×（1±x）＝現(xiàn)在的量，x為增長或減少的百分率．增加用+，減少用﹣．
5．（2021?溫州）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括號正確的是（　?。?br /> A．﹣4x+1＝﹣x B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1＝x D．﹣4x﹣2＝x
【考點(diǎn)】解一元一次方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】可以根據(jù)乘法分配律先將2乘進(jìn)去，再去括號．
【解答】解：根據(jù)乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x，
去括號得：﹣4x﹣2＝x，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了解一元一次方程，去括號法則，解題的關(guān)鍵是：括號前面是減號，把減號和括號去掉，括號的各項(xiàng)都要變號．
6．（2021?麗水）若﹣3a＞1，兩邊都除以﹣3，得（　?。?br /> A．a(chǎn)＜﹣ B．a(chǎn)＞﹣ C．a(chǎn)＜﹣3 D．a(chǎn)＞﹣3
【考點(diǎn)】不等式的性質(zhì)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)3求出答案即可．
【解答】解：∵﹣3a＞1，
∴不等式的兩邊都除以﹣3，得a＜﹣，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了不等式的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用不等式的性質(zhì)3進(jìn)行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：不等式的兩邊都除以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向要改變．
7．（2021?麗水）用配方法解方程x2+4x+1＝0時(shí)，配方結(jié)果正確的是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x+2）2＝3
【考點(diǎn)】解一元二次方程﹣配方法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【解答】解：方程x2+4x+1＝0，
整理得：x2+4x＝﹣1，
配方得：（x+2）2＝3．
故選：D．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
8．（2021?湖州）不等式3x﹣1＞5的解集是（　?。?br /> A．x＞2 B．x＜2 C．x＞ D．x＜
【考點(diǎn)】解一元一次不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】不等式移項(xiàng)合并，把x系數(shù)化為1，即可求出解集．
【解答】解：不等式3x﹣1＞5，
移項(xiàng)合并得：3x＞6，
解得：x＞2．
故選：A．
【點(diǎn)評】此題考查了解一元一次不等式，熟練掌握解不等式的方法是解本題的關(guān)鍵．
9．（2021?金華）一個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示如圖，則這個(gè)不等式可以是（　　）

A．x+2＞0 B．x﹣2＜0 C．2x≥4 D．2﹣x＜0
【考點(diǎn)】在數(shù)軸上表示不等式的解集；解一元一次不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；幾何直觀；運(yùn)算能力．
【分析】解不等式，可得不等式的解集，根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上的表示方法，可得答案．
【解答】解：A、x＞﹣2，故A不符合題意；
B、x＜2，故B符合題意；
C、x≥2，故C不符合題意；
D、x＞2，故D不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，在表示解集時(shí)“≥”，“≤”要用實(shí)心圓點(diǎn)表示；“＜”，“＞”要用空心圓點(diǎn)表示．
10．（2021?嘉興）為迎接建黨一百周年，某校舉行歌唱比賽．901班啦啦隊(duì)買了兩種價(jià)格的加油棒助威，其中繽紛棒共花費(fèi)30元，熒光棒共花費(fèi)40元，繽紛棒比熒光棒少20根，繽紛棒單價(jià)是熒光棒的1.5倍．若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，根據(jù)題意可列方程為（　?。?br /> A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝20 D．﹣＝20
【考點(diǎn)】由實(shí)際問題抽象出分式方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】分式方程及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，根據(jù)等量關(guān)系“繽紛棒比熒光棒少20根”列方程即可．
【解答】解：若設(shè)熒光棒的單價(jià)為x元，則繽紛棒單價(jià)是1.5x元，
根據(jù)題意可得：﹣＝20．
故選：B．
【點(diǎn)評】考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，應(yīng)用題中一般有三個(gè)量，求一個(gè)量，明顯的有一個(gè)量，一定是根據(jù)另一量來列等量關(guān)系的．本題分析題意，找到合適的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．
二．填空題（共5小題）
11．（2021?嘉興）已知二元一次方程x+3y＝14，請寫出該方程的一組整數(shù)解　（答案不唯一）?。?br /> 【考點(diǎn)】二元一次方程的解．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】把y看做已知數(shù)求出x，確定出整數(shù)解即可．
【解答】解：x+3y＝14，
x＝14﹣3y，
當(dāng)y＝1時(shí)，x＝11，
則方程的一組整數(shù)解為．
故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)評】此題考查了二元一次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
12．（2021?衢州）不等式2（y+1）＜y+3的解集為　y＜1?。?br /> 【考點(diǎn)】解一元一次不等式．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得，注意移項(xiàng)要變號．
【解答】解：2（y+1）＜y+3
2y+2＜y+3
2y﹣y＜3﹣2
y＜1，
故答案為：y＜1．
【點(diǎn)評】本題主要考查解一元一次不等式，嚴(yán)格遵循解不等式的基本步驟是解題的關(guān)鍵．
13．（2021?金華）已知是方程3x+2y＝10的一個(gè)解，則m的值是　2?。?br /> 【考點(diǎn)】二元一次方程的解．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，
∴m＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評】本題考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．
14．（2021?溫州）不等式組的解集為　1≤x＜7?。?br /> 【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：解不等式x﹣3＜4，得：x＜7，
解不等式≥1，得：x≥1，
則不等式組的解集為1≤x＜7，
故答案為：1≤x＜7．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
15．（2021?紹興）我國明代數(shù)學(xué)讀本《算法統(tǒng)宗》有一道題，其題意為：客人一起分銀子，若每人7兩，還剩4兩；若每人9兩，則差8兩．銀子共有　46　兩．
【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用；二元一次方程組的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】其他問題；方程與不等式；數(shù)據(jù)分析觀念．
【分析】通過設(shè)兩個(gè)未知數(shù)，可以列出銀子總數(shù)相等的二元一次方程組，本題得以解決．
【解答】解：設(shè)有x人，銀子y兩，
由題意得：，解得，
故答案為46．
【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組．
三．解答題（共7小題）
16．（2021?臺州）解方程組：．
【考點(diǎn)】解二元一次方程組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題．
【分析】方程組利用加減消元法求出解即可．
【解答】解：，
①+②得：3x＝3，即x＝1，
把x＝1代入①得：y＝2，
則方程組的解為．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
17．（2021?麗水）解方程組：．
【考點(diǎn)】解二元一次方程組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】方程組利用代入消元法求出解即可．
【解答】解：，
把①代入②得：2y﹣y＝6，
解得：y＝6，
把y＝6代入①得：x＝12，
則方程組的解為．
【點(diǎn)評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
18．（2021?湖州）解分式方程：＝1．
【考點(diǎn)】解分式方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】分式方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2x﹣1＝x+3，
解得：x＝4，
當(dāng)x＝4時(shí)，x+3≠0，
∴分式方程的解為x＝4．
【點(diǎn)評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．
19．（2021?臺州）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．
（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；
（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．

【考點(diǎn)】一元一次方程的應(yīng)用．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一次方程（組）及應(yīng)用；應(yīng)用意識．
【分析】（1）先求出藥液流速為5毫升/分鐘，再求出輸液10分鐘的毫升數(shù)，用250減去輸液10分鐘的毫升數(shù)即為所求；
（2）可設(shè)小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為t分鐘，根據(jù)輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升，列出方程計(jì)算即可求解．
【解答】解：（1）250﹣75÷15×10
＝250﹣50
＝200（毫升）．
故輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量是200毫升；
（2）設(shè)小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為t分鐘，依題意有
（t﹣20）＝160，
解得t＝60．
故小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，本題關(guān)鍵是求出輸液前10分鐘藥液流速和輸液10分鐘后藥液流速．
20．（2021?杭州）以下是圓圓解不等式組的解答過程：
解：由①，得2+x＞﹣1，
所以x＞﹣3．
由②，得1﹣x＞2，
所以﹣x＞1，
所以x＞﹣1．
所以原不等式組的解是x＞﹣1．
圓圓的解答過程是否有錯(cuò)誤？如果有錯(cuò)誤，請寫出正確的解答過程．
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．
【解答】解：圓圓的解答過程有錯(cuò)誤，
正確過程如下：由①得2+2x＞﹣1，
∴2x＞﹣3，
∴x＞﹣，
由②得1﹣x＜2，
∴﹣x＜1，
∴x＞﹣1，
∴不等式組的解集為x＞﹣1．
【點(diǎn)評】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關(guān)鍵．
21．（2021?紹興）（1）計(jì)算：4sin60°﹣+（2﹣）0．
（2）解不等式：5x+3≥2（x+3）．
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算；零指數(shù)冪；解一元一次不等式；特殊角的三角函數(shù)值．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】計(jì)算題；實(shí)數(shù)；一元一次不等式(組)及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】（1）原式第一項(xiàng)利用特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算，第二項(xiàng)利用開平方法則化簡，最后一項(xiàng)利用零指數(shù)冪的意義化簡，計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，系數(shù)化為1可得．
【解答】解：（1）原式＝2﹣2+1
＝1；
（2）5x+3≥2（x+3），
去括號得：5x+3≥2x+6,
移項(xiàng)得：5x﹣2x≥6﹣3，
合并同類項(xiàng)得：3x≥3，
解得：x≥1．
【點(diǎn)評】本題主要考查實(shí)數(shù)的運(yùn)算與解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的性質(zhì)．
22．（2021?嘉興）小敏與小霞兩位同學(xué)解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的過程如下框：
小敏：
兩邊同除以（x﹣3），得
3＝x﹣3，
則x＝6．
小霞：
移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0，
解得x1＝3，x2＝0．
你認(rèn)為他們的解法是否正確？若正確請?jiān)诳騼?nèi)打“√”；若錯(cuò)誤請?jiān)诳騼?nèi)打“×”，并寫出你的解答過程．
【考點(diǎn)】解一元一次方程；解一元二次方程﹣因式分解法；換元法解一元二次方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有
【專題】一元二次方程及應(yīng)用；運(yùn)算能力．
【分析】小敏：沒有考慮x﹣3＝0的情況；
小霞：提取公因式時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤．
利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：小敏：×；
小霞：×．
正確的解答方法：移項(xiàng)，得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0，
提取公因式，得（x﹣3）（3﹣x+3）＝0．
則x﹣3＝0或3﹣x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝6．
【點(diǎn)評】本題主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程時(shí)可以采取公式法，因式分解法，配方法以及換元法等，至于選擇哪一解題方法，需要根據(jù)方程的特點(diǎn)進(jìn)行選擇．

考點(diǎn)卡片
1．?dāng)?shù)學(xué)常識
數(shù)學(xué)常識
此類問題要結(jié)合實(shí)際問題來解決，生活中的一些數(shù)學(xué)常識要了解．比如給出一個(gè)物體的高度要會(huì)選擇它合適的單位長度等等．
平時(shí)要注意多觀察，留意身邊的小知識．
2．實(shí)數(shù)的運(yùn)算
（1）實(shí)數(shù)的運(yùn)算和在有理數(shù)范圍內(nèi)一樣，值得一提的是，實(shí)數(shù)既可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，又可以進(jìn)行開方運(yùn)算，其中正實(shí)數(shù)可以開平方．
（2）在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．
另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．

【規(guī)律方法】實(shí)數(shù)運(yùn)算的“三個(gè)關(guān)鍵”
1．運(yùn)算法則：乘方和開方運(yùn)算、冪的運(yùn)算、指數(shù)（特別是負(fù)整數(shù)指數(shù)，0指數(shù)）運(yùn)算、根式運(yùn)算、特殊三角函數(shù)值的計(jì)算以及絕對值的化簡等．
2．運(yùn)算順序：先乘方，再乘除，后加減，有括號的先算括號里面的，在同一級運(yùn)算中要從左到右依次運(yùn)算，無論何種運(yùn)算，都要注意先定符號后運(yùn)算．
3．運(yùn)算律的使用：使用運(yùn)算律可以簡化運(yùn)算，提高運(yùn)算速度和準(zhǔn)確度．
3．零指數(shù)冪
零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
4．解一元一次方程
（1）解一元一次方程的一般步驟：
去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1，這僅是解一元一次方程的一般步驟，針對方程的特點(diǎn)，靈活應(yīng)用，各種步驟都是為使方程逐漸向x＝a形式轉(zhuǎn)化．
（2）解一元一次方程時(shí)先觀察方程的形式和特點(diǎn)，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括號，且括號外的項(xiàng)在乘括號內(nèi)各項(xiàng)后能消去分母，就先去括號．
（3）在解類似于“ax+bx＝c”的方程時(shí)，將方程左邊，按合并同類項(xiàng)的方法并為一項(xiàng)即（a+b）x＝c．使方程逐漸轉(zhuǎn)化為ax＝b的最簡形式體現(xiàn)化歸思想．將ax＝b系數(shù)化為1時(shí)，要準(zhǔn)確計(jì)算，一弄清求x時(shí)，方程兩邊除以的是a還是b，尤其a為分?jǐn)?shù)時(shí)；二要準(zhǔn)確判斷符號，a、b同號x為正，a、b異號x為負(fù)．
5．由實(shí)際問題抽象出一元一次方程
審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程．
（1）“總量＝各部分量的和”是列方程解應(yīng)用題中一個(gè)基本的關(guān)系式，在這一類問題中，表示出各部分的量和總量，然后利用它們之間的等量關(guān)系列方程．
（2）“表示同一個(gè)量的不同式子相等”是列方程解應(yīng)用題中的一個(gè)基本相等關(guān)系，也是列方程的一種基本方法．通過對同一個(gè)量從不同的角度用不同的式子表示，進(jìn)而列出方程．
6．一元一次方程的應(yīng)用
（一）一元一次方程解應(yīng)用題的類型有：
（1）探索規(guī)律型問題；
（2）數(shù)字問題；
（3）銷售問題（利潤＝售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)，利潤率＝×100%）；（4）工程問題（①工作量＝人均效率×人數(shù)×?xí)r間；②如果一件工作分幾個(gè)階段完成，那么各階段的工作量的和＝工作總量）；
（5）行程問題（路程＝速度×?xí)r間）；
（6）等值變換問題；
（7）和，差，倍，分問題；
（8）分配問題；
（9）比賽積分問題；
（10）水流航行問題（順?biāo)俣龋届o水速度+水流速度；逆水速度＝靜水速度﹣水流速度）．
（二）利用方程解決實(shí)際問題的基本思路如下：首先審題找出題中的未知量和所有的已知量，直接設(shè)要求的未知量或間接設(shè)一關(guān)鍵的未知量為x，然后用含x的式子表示相關(guān)的量，找出之間的相等關(guān)系列方程、求解、作答，即設(shè)、列、解、答．
列一元一次方程解應(yīng)用題的五個(gè)步驟
1．審：仔細(xì)審題，確定已知量和未知量，找出它們之間的等量關(guān)系．
2．設(shè)：設(shè)未知數(shù)（x），根據(jù)實(shí)際情況，可設(shè)直接未知數(shù)（問什么設(shè)什么），也可設(shè)間接未知數(shù)．
3．列：根據(jù)等量關(guān)系列出方程．
4．解：解方程，求得未知數(shù)的值．
5．答：檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否正確，是否符合題意，完整地寫出答句．
7．二元一次方程的解
（1）定義：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解．
（2）在二元一次方程中，任意給出一個(gè)未知數(shù)的值，總能求出另一個(gè)未知數(shù)的一個(gè)唯一確定的值，所以二元一次方程有無數(shù)解．
（3）在求一個(gè)二元一次方程的整數(shù)解時(shí)，往往采用“給一個(gè)，求一個(gè)”的方法，即先給出其中一個(gè)未知數(shù)（一般是系數(shù)絕對值較大的）的值，再依次求出另一個(gè)的對應(yīng)值．
8．解二元一次方程組
（1）用代入法解二元一次方程組的一般步驟：①從方程組中選一個(gè)系數(shù)比較簡單的方程，將這個(gè)方程組中的一個(gè)未知數(shù)用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來．②將變形后的關(guān)系式代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求出x（或y）的值．④將求得的未知數(shù)的值代入變形后的關(guān)系式中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把求得的x、y的值用“{”聯(lián)立起來，就是方程組的解．
（2）用加減法解二元一次方程組的一般步驟：①方程組的兩個(gè)方程中，如果同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)既不相等又不互為相反數(shù)，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使某一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)．②把兩個(gè)方程的兩邊分別相減或相加，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程．③解這個(gè)一元一次方程，求得未知數(shù)的值．④將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值．⑤把所求得的兩個(gè)未知數(shù)的值寫在一起，就得到原方程組的解，用的形式表示．
9．由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組
（1）由實(shí)際問題列方程組是把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”的重要方法，它的關(guān)鍵是把已知量和未知量聯(lián)系起來，找出題目中的相等關(guān)系．
（2）一般來說，有幾個(gè)未知量就必須列出幾個(gè)方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量；②同類量的單位要統(tǒng)一；③方程兩邊的數(shù)值要相符．
（3）找等量關(guān)系是列方程組的關(guān)鍵和難點(diǎn)，有如下規(guī)律和方法：
①確定應(yīng)用題的類型，按其一般規(guī)律方法找等量關(guān)系．②將問題中給出的條件按意思分割成兩個(gè)方面，有“；”時(shí)一般“；”前后各一層，分別找出兩個(gè)等量關(guān)系．③借助表格提供信息的，按橫向或縱向去分別找等量關(guān)系．④圖形問題，分析圖形的長、寬，從中找等量關(guān)系．
10．二元一次方程組的應(yīng)用
（一）列二元一次方程組解決實(shí)際問題的一般步驟：
（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關(guān)系．
（2）設(shè)元：找出題中的兩個(gè)關(guān)鍵的未知量，并用字母表示出來．
（3）列方程組：挖掘題目中的關(guān)系，找出兩個(gè)等量關(guān)系，列出方程組．
（4）求解．
（5）檢驗(yàn)作答：檢驗(yàn)所求解是否符合實(shí)際意義，并作答．
（二）設(shè)元的方法：直接設(shè)元與間接設(shè)元．
當(dāng)問題較復(fù)雜時(shí)，有時(shí)設(shè)與要求的未知量相關(guān)的另一些量為未知數(shù)，即為間接設(shè)元．無論怎樣設(shè)元，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就要列幾個(gè)方程．
11．解一元二次方程-配方法
（1）將一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步驟：
①把原方程化為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1，并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；
③方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；
④把左邊配成一個(gè)完全平方式，右邊化為一個(gè)常數(shù)；
⑤如果右邊是非負(fù)數(shù)，就可以進(jìn)一步通過直接開平方法來求出它的解，如果右邊是一個(gè)負(fù)數(shù)，則判定此方程無實(shí)數(shù)解．
12．解一元二次方程-因式分解法
（1）因式分解法解一元二次方程的意義
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右邊化為0，再把左邊通過因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步驟：
①移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；②將方程的左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；③令每個(gè)因式分別為零，得到兩個(gè)一元一次方程；④解這兩個(gè)一元一次方程，它們的解就都是原方程的解．
13．換元法解一元二次方程
1、解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法．
換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡單化，變得容易處理．
2、我們常用的是整體換元法，是在已知或者未知中，某個(gè)代數(shù)式幾次出現(xiàn)，而用一個(gè)字母來代替它從而簡化問題，當(dāng)然有時(shí)候要通過變形才能發(fā)現(xiàn)．把一些形式復(fù)雜的方程通過換元的方法變成一元二次方程，從而達(dá)到降次的目的．
14．根的判別式
利用一元二次方程根的判別式（△＝b2﹣4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．
上面的結(jié)論反過來也成立．
15．解分式方程
（1）解分式方程的步驟：①去分母；②求出整式方程的解；③檢驗(yàn)；④得出結(jié)論．
（2）解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母為0，所以應(yīng)如下檢驗(yàn)：
①將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解．
②將整式方程的解代入最簡公分母，如果最簡公分母的值為0，則整式方程的解不是原分式方程的解．
所以解分式方程時(shí)，一定要檢驗(yàn)．
16．由實(shí)際問題抽象出分式方程
由實(shí)際問題抽象出分式方程的關(guān)鍵是分析題意找出相等關(guān)系．
（1）在確定相等關(guān)系時(shí)，一是要理解一些常用的數(shù)量關(guān)系和一些基本做法，如行程問題中的相遇問題和追擊問題，最重要的是相遇的時(shí)間相等、追擊的時(shí)間相等．
（2）列分式方程解應(yīng)用題要多思、細(xì)想、深思，尋求多種解法思路．
17．不等式的性質(zhì)
（1）不等式的基本性質(zhì)
①不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)或同一個(gè)含有字母的式子，不等號的方向不變，即：
若a＞b，那么a±m(xù)＞b±m(xù)；
②不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號的方向不變，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞；
③不等式的兩邊同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號的方向改變，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜；
（2）不等式的變形：①兩邊都加、減同一個(gè)數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項(xiàng)”，此時(shí)不等號方向不變，但移項(xiàng)要變號；②兩邊都乘、除同一個(gè)數(shù)，要注意只有乘、除負(fù)數(shù)時(shí)，不等號方向才改變．
【規(guī)律方法】
1．應(yīng)用不等式的性質(zhì)應(yīng)注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，一定要改變不等號的方向；當(dāng)不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數(shù)時(shí)，一定要對字母是否大于0進(jìn)行分類討論．
2．不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c．
18．在數(shù)軸上表示不等式的解集
用數(shù)軸表示不等式的解集時(shí)，要注意“兩定”：
一是定界點(diǎn)，一般在數(shù)軸上只標(biāo)出原點(diǎn)和界點(diǎn)即可．定邊界點(diǎn)時(shí)要注意，點(diǎn)是實(shí)心還是空心，若邊界點(diǎn)含于解集為實(shí)心點(diǎn)，不含于解集即為空心點(diǎn)；
二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．
【規(guī)律方法】不等式解集的驗(yàn)證方法
　　某不等式求得的解集為x＞a，其驗(yàn)證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個(gè)數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．
19．解一元一次不等式
根據(jù)不等式的性質(zhì)解一元一次不等式
基本操作方法與解一元一次方程基本相同，都有如下步驟：①去分母；②去括號；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤化系數(shù)為1．
以上步驟中，只有①去分母和⑤化系數(shù)為1可能用到性質(zhì)3，即可能變不等號方向，其他都不會(huì)改變不等號方向．
注意：符號“≥”和“≤”分別比“＞”和“＜”各多了一層相等的含義，它們是不等號與等號合寫形式．
20．解一元一次不等式組
（1）一元一次不等式組的解集：幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的不等式組的解集．
（2）解不等式組：求不等式組的解集的過程叫解不等式組．
（3）一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，利用數(shù)軸可以直觀地表示不等式組的解集．
方法與步驟：①求不等式組中每個(gè)不等式的解集；②利用數(shù)軸求公共部分．
解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．
21．特殊角的三角函數(shù)值
（1）特指30°、45°、60°角的各種三角函數(shù)值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）應(yīng)用中要熟記特殊角的三角函數(shù)值，一是按值的變化規(guī)律去記，正弦逐漸增大，余弦逐漸減小，正切逐漸增大；二是按特殊直角三角形中各邊特殊值規(guī)律去記．
（3）特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用較多．
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