編號(hào)：021     課題:§12.1  復(fù)數(shù)的概念目標(biāo)要求1、理解并掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等的充要條件．2、理解并掌握復(fù)數(shù)的概念．3、理解并掌握復(fù)數(shù)的分類．4、理解并掌握復(fù)數(shù)相等及其應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)復(fù)數(shù)一章是數(shù)集從正整數(shù)集到復(fù)數(shù)集的推廣，復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用廣泛.復(fù)數(shù)與平面向量知識(shí)的結(jié)合是一大特點(diǎn).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是數(shù)學(xué)計(jì)算的應(yīng)用.復(fù)數(shù)的三角形和三角函數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系.復(fù)數(shù)知識(shí)也是大學(xué)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)，是承上啟下的橋梁，學(xué)好復(fù)數(shù)知識(shí)是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵，可以拓寬視野.用復(fù)數(shù)解決某些數(shù)學(xué)問題相當(dāng)見效，介紹幾類用復(fù)數(shù)思想解非復(fù)數(shù)的問題，諸如求解三角問題、證明三角恒等式、三角定理、解三角方程、證明幾何問題以及求解函數(shù)問題等，從而刺激學(xué)生將要形成或已經(jīng)形成的固定思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知意識(shí). 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等；難點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等及其應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如的數(shù)叫作復(fù)數(shù),其中i叫作____________,滿足;復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即,其中a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的_______與__________.(2)本質(zhì):虛數(shù)單位i與實(shí)數(shù)a,b運(yùn)算得到的一類數(shù),實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上的提升.(3)應(yīng)用:解決實(shí)系數(shù)方程的求解問題.【思考】如何理解虛數(shù)單位i? 2.復(fù)數(shù)的分類(1)復(fù)數(shù)  (2)復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示.   3.復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)________且__________.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是    (     )A. 若a,b為實(shí)數(shù),則z=a+bi為虛數(shù).B. 復(fù)數(shù),則.C. 復(fù)數(shù)z=bi是純虛數(shù).D. 實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集. 題2.復(fù)數(shù)i-2的虛部是    (     ) A.i             B.-2             C.1             D.2 題3.如果(x+y)i=x-1,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為       (      )A.x=1,y=-1     B.x=0,y=-1          C.x=1,y=0     D.x=0,y=0 關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一 復(fù)數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】題4.復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為       (      ) A.2          B.-2          C.-2i          D.2i 題5.以的虛部為實(shí)部,以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是    (      )A.          B.             C.     D.  題6.給出下列幾個(gè)命題:①若,則;②2i-1的虛部是2i;③2i的實(shí)部是0;④若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng),則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集的元素一一對(duì)應(yīng);⑤實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集.其中真命題的個(gè)數(shù)為     (     )A.0                B.1                C.2                D.3 【解題策略】利用復(fù)數(shù)的概念時(shí)的注意點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:若z=a+bi,只有當(dāng)時(shí),a才是z的實(shí)部,b才是z的虛部,且注意虛部不是bi,而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆,實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù),實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.(3)舉反例:判斷一個(gè)命題為假命題,只要舉一個(gè)反例即可,所以解答這類題時(shí),可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法進(jìn)行解答.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 題7.已知命題:“若x2+y2=0,則x=y=0”.當(dāng)時(shí),該命題成立.當(dāng)時(shí),該結(jié)論是否成立? 類型二 復(fù)數(shù)的分類(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】題8.實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 【解題策略】復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時(shí),注意考慮問題要全面,當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù),則①若z為實(shí)數(shù)?b=0,②若z為虛數(shù)?b≠0,③ 若z為純虛數(shù)?a=0,b≠0,④ 若z=0?a=0,且b=0.【跟蹤訓(xùn)練】題9.實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分別是①實(shí)數(shù);②虛數(shù);③純虛數(shù);④零. 類型三 復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)    角度1 復(fù)數(shù)的相等 【典例】題10.若(x+y)+yi=(x+1)i(為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)x,y的值. 【變式探究】題11.若 (1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0(為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 角度2 復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用 【典例】題12.關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的值和這個(gè)實(shí)數(shù)根. 【解題策略】兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的判斷如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與相等,則它們的實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等,即a+bi=c+di?a=c且b=d.特別地,a+bi=0?a=b=0.利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)相等,可以化“虛”為“實(shí)”,實(shí)現(xiàn)化歸和轉(zhuǎn)化,從而利用列方程(組)的方法解決復(fù)數(shù)問題.【題組訓(xùn)練】題13.若1+xi=y+2i,x,y∈,則復(fù)數(shù)x+yi=       (      ) A.-2+i         B.2+i             C.1-2i         D.1+2i 題14.為實(shí)數(shù),若,則m的值為 (     )A.4          B.-1          C.6              D.0 題15.若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相等,則實(shí)數(shù)a的值為       (     )A.1          B.1或-4            C.-4          D.0或-4 課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題16.已知a∈,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=      (     )A.1             B.-1             C.2             D.-2 題17.已知復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是 (    )A.       B.            C.      D. 題18.如果x-1+yi與i-3x為相等復(fù)數(shù),x,y為實(shí)數(shù),則x=________,y=________.  題19.已知,若x∈,則x=________;若x∈,則x=________.  題20.實(shí)數(shù)x取什么值時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).                  編號(hào)：021     課題:§12.1  復(fù)數(shù)的概念目標(biāo)要求1、理解并掌握復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等的充要條件．2、理解并掌握復(fù)數(shù)的概念．3、理解并掌握復(fù)數(shù)的分類．4、理解并掌握復(fù)數(shù)相等及其應(yīng)用.學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)復(fù)數(shù)一章是數(shù)集從正整數(shù)集到復(fù)數(shù)集的推廣，復(fù)數(shù)的幾何意義應(yīng)用廣泛.復(fù)數(shù)與平面向量知識(shí)的結(jié)合是一大特點(diǎn).復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是數(shù)學(xué)計(jì)算的應(yīng)用.復(fù)數(shù)的三角形和三角函數(shù)知識(shí)緊密聯(lián)系.復(fù)數(shù)知識(shí)也是大學(xué)復(fù)變函數(shù)的基礎(chǔ)，是承上啟下的橋梁，學(xué)好復(fù)數(shù)知識(shí)是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵，可以拓寬視野.用復(fù)數(shù)解決某些數(shù)學(xué)問題相當(dāng)見效，介紹幾類用復(fù)數(shù)思想解非復(fù)數(shù)的問題，諸如求解三角問題、證明三角恒等式、三角定理、解三角方程、證明幾何問題以及求解函數(shù)問題等，從而刺激學(xué)生將要形成或已經(jīng)形成的固定思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，增強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知意識(shí). 重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類和復(fù)數(shù)相等；難點(diǎn)：復(fù)數(shù)相等及其應(yīng)用．教學(xué)過程基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)1.復(fù)數(shù)的概念(1)復(fù)數(shù)的定義形如的數(shù)叫作復(fù)數(shù),其中i叫作___虛數(shù)單位__,滿足;復(fù)數(shù)通常用字母z表示,即,其中a與b分別叫作復(fù)數(shù)z的_實(shí)部_與__虛部__.(2)本質(zhì):虛數(shù)單位i與實(shí)數(shù)a,b運(yùn)算得到的一類數(shù),實(shí)數(shù)基礎(chǔ)上的提升.(3)應(yīng)用:解決實(shí)系數(shù)方程的求解問題.【思考】如何理解虛數(shù)單位i?提示:(1).(2)i與實(shí)數(shù)之間可以運(yùn)算,亦適合加、減、乘的運(yùn)算律.(3)由于與實(shí)數(shù)集中矛盾,所以實(shí)數(shù)集中很多結(jié)論在復(fù)數(shù)集中不再成立.2.復(fù)數(shù)的分類(1)復(fù)數(shù)  (2)復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系如圖所示.   3.復(fù)數(shù)相等的充要條件在復(fù)數(shù)集中任取兩個(gè)數(shù),我們規(guī)定:a+bi與c+di相等當(dāng)且僅當(dāng)__ a=c __且__ b=d __.【課前基礎(chǔ)演練】題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是    (     )A. 若a,b為實(shí)數(shù),則z=a+bi為虛數(shù).B. 復(fù)數(shù),則.C. 復(fù)數(shù)z=bi是純虛數(shù).D. 實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集.【答案】選ABC提示:A×.當(dāng)b=0時(shí),z=a+bi為實(shí)數(shù).B×.兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小,只能比較是否相等. C×.當(dāng)b=0時(shí),z=bi為實(shí)數(shù).D√.實(shí)數(shù)集是復(fù)數(shù)集的子集,所以實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集.題2.復(fù)數(shù)i-2的虛部是    (     ) A.i             B.-2             C.1             D.2【解析】選C.i-2=-2+i,因此虛部是1.題3.如果(x+y)i=x-1,則實(shí)數(shù)x,y的值分別為       (      )A.x=1,y=-1     B.x=0,y=-1          C.x=1,y=0     D.x=0,y=0【解析】選A.因?yàn)?x+y)i=x-1,所以所以x=1,y=-1.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一 復(fù)數(shù)的概念(數(shù)學(xué)抽象)【題組訓(xùn)練】題4.復(fù)數(shù)z=3-2i的虛部為       (      ) A.2          B.-2          C.-2i          D.2i【解析】選B.因?yàn)?/span>z=3-2i,所以其虛部為-2.題5.以的虛部為實(shí)部,以的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是    (      )A.          B.             C.     D. 【解析】選A.的虛部為3, 的實(shí)部為-3,所以所求復(fù)數(shù)為3-3i.題6.給出下列幾個(gè)命題:①若,則;②2i-1的虛部是2i;③2i的實(shí)部是0;④若實(shí)數(shù)a與ai對(duì)應(yīng),則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集的元素一一對(duì)應(yīng);⑤實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集.其中真命題的個(gè)數(shù)為     (     )A.0                B.1                C.2                D.3【解析】選C.令,則,故①不正確.2i-1的虛部應(yīng)是2,故②不正確.當(dāng)a=0時(shí),ai=0為實(shí)數(shù),故④不正確,所以只有③,⑤正確.【解題策略】利用復(fù)數(shù)的概念時(shí)的注意點(diǎn)(1)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:若z=a+bi,只有當(dāng)時(shí),a才是z的實(shí)部,b才是z的虛部,且注意虛部不是bi,而是b.(2)不要將復(fù)數(shù)與虛數(shù)的概念混淆,實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù),實(shí)數(shù)和虛數(shù)是復(fù)數(shù)的兩大構(gòu)成部分.(3)舉反例:判斷一個(gè)命題為假命題,只要舉一個(gè)反例即可,所以解答這類題時(shí),可按照“先特殊,后一般,先否定,后肯定”的方法進(jìn)行解答.【補(bǔ)償訓(xùn)練】 題7.已知命題:“若x2+y2=0,則x=y=0”.當(dāng)時(shí),該命題成立.當(dāng)時(shí),該結(jié)論是否成立?【解析】當(dāng)時(shí),若x=1,y=i,x2+y2=0成立,所以此命題在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是假命題,該結(jié)論不成立.類型二 復(fù)數(shù)的分類(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理)【典例】題8.實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù). 【解題策略】復(fù)數(shù)分類的關(guān)鍵(1)利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行分類,關(guān)鍵是根據(jù)分類標(biāo)準(zhǔn)列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式.求解參數(shù)時(shí),注意考慮問題要全面,當(dāng)條件不滿足代數(shù)形式時(shí)應(yīng)先轉(zhuǎn)化形式.(2)注意分清復(fù)數(shù)分類中的條件設(shè)復(fù)數(shù),則①若z為實(shí)數(shù)?b=0,②若z為虛數(shù)?b≠0,③ 若z為純虛數(shù)?a=0,b≠0,④ 若z=0?a=0,且b=0.【跟蹤訓(xùn)練】題9.實(shí)數(shù)k為何值時(shí),復(fù)數(shù)z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分別是①實(shí)數(shù);②虛數(shù);③純虛數(shù);④零.【解析】①當(dāng)k2-5k-6=0,k∈R,即k=6或k=-1時(shí),z是實(shí)數(shù).②當(dāng)k2-5k-6≠0,即k≠6且k≠-1時(shí), z是虛數(shù).③當(dāng)時(shí),z是純虛數(shù),解得k=4.④當(dāng)時(shí),z =0,解得k=-1.類型三 復(fù)數(shù)相等及應(yīng)用(邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算)    角度1 復(fù)數(shù)的相等 【典例】題10.若(x+y)+yi=(x+1)i(為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)x,y的值.【思路導(dǎo)引】復(fù)數(shù)相等,則復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相等,虛部與虛部相等.【解析】因?yàn)?/span>(x+y)+yi=(x+1)i,所以解得 【變式探究】題11.若 (1+i)m2+(7-5i)m+10-14i=0(為虛數(shù)單位),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【解析】把原式整理得(m2+7m+10)+(m2-5m-14)i=0,所以解得m=-2.角度2 復(fù)數(shù)相等的應(yīng)用 【典例】題12.關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的值和這個(gè)實(shí)數(shù)根.【思路導(dǎo)引】設(shè)實(shí)數(shù)根為m,代入方程,根據(jù)復(fù)數(shù)相等可構(gòu)造方程組求得a和m,從而得到結(jié)果.【解析】設(shè)方程的實(shí)數(shù)根為x=m,則,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件得: 解得或 所以當(dāng)實(shí)數(shù)a=11時(shí)實(shí)數(shù)根為2;當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)實(shí)數(shù)根為.【解題策略】兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的判斷如果兩個(gè)復(fù)數(shù)與相等,則它們的實(shí)部與虛部對(duì)應(yīng)相等,即a+bi=c+di?a=c且b=d.特別地,a+bi=0?a=b=0.利用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和復(fù)數(shù)相等,可以化“虛”為“實(shí)”,實(shí)現(xiàn)化歸和轉(zhuǎn)化,從而利用列方程(組)的方法解決復(fù)數(shù)問題.【題組訓(xùn)練】題13.若1+xi=y+2i,x,y∈,則復(fù)數(shù)x+yi=       (      ) A.-2+i         B.2+i             C.1-2i         D.1+2i【解析】選B.因?yàn)?+xi=y+2i,所以y=1,x=2,所以x+yi=2+i.題14.為實(shí)數(shù),若,則m的值為 (     )A.4          B.-1          C.6              D.0【解析】選B.由題意得,則解得m=-1.題15.若復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)相等,則實(shí)數(shù)a的值為       (     )A.1          B.1或-4            C.-4          D.0或-4【解析】選C.由復(fù)數(shù)相等的條件得解得a=-4.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)題16.已知a∈,若a-1+(a-2)i(i為虛數(shù)單位)是實(shí)數(shù),則a=      (     )A.1             B.-1             C.2             D.-2【解析】選C.因?yàn)?/span>a-1+(a-2)i為實(shí)數(shù),所以a-2=0,a=2.題17.已知復(fù)數(shù)z=a2-(2-b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3,則實(shí)數(shù)a,b的值分別是 (    )A.       B.            C.      D.【解析】選C.由題意得得.題18.如果x-1+yi與i-3x為相等復(fù)數(shù),x,y為實(shí)數(shù),則x=________,y=________. 【解析】由復(fù)數(shù)相等可知所以 答案: 題19.已知,若x∈,則x=________;若x∈,則x=________. 【解析】當(dāng)x∈時(shí),由復(fù)數(shù)相等的充要條件得 解得x=2;當(dāng)x∈時(shí),令,則有 解得或所以x=2或x=3-i.答案:2         3-i或2題20.實(shí)數(shù)x取什么值時(shí),復(fù)數(shù)是(1)實(shí)數(shù);(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù).【解析】(1)當(dāng),即x=-3或x=5時(shí),復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù);(2)當(dāng),即x≠-3且x≠5時(shí),復(fù)數(shù)z為虛數(shù);(3)當(dāng)且,即x=2時(shí),復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第二冊(cè)電子課本

12.1 復(fù)數(shù)的概念

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