數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)11.1 余弦定理優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)

這是一份數(shù)學(xué)必修 第二冊(cè)11.1 余弦定理優(yōu)秀教學(xué)設(shè)計(jì)，共14頁(yè)。教案主要包含了課前基礎(chǔ)演練，解題策略，題組訓(xùn)練，補(bǔ)償訓(xùn)練，變式探究，跟蹤訓(xùn)練，思路導(dǎo)引等內(nèi)容，歡迎下載使用。
?編號(hào)：017 課題:§11.1 余弦定理
目標(biāo)要求
1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素與解三角形基礎(chǔ)知識(shí)．
2、理解并掌握已知兩邊及其一角解三角形問(wèn)題．
3、理解并掌握已知三邊解三角形問(wèn)題．
4、理解并掌握余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).在解三角形的教學(xué)中，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問(wèn)題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力， 而且還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：已知三邊解三角形問(wèn)題；
難點(diǎn)：余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1.余弦定理
(1)定理
余弦
定理
公式
表達(dá)
,
,
.
語(yǔ)言
敘述
三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
推論
，，
(2)本質(zhì):把用SAS、SSS判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,即把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計(jì)算的公式.
(3)應(yīng)用:已知三角形的兩邊及一角求其他邊和角或已知三角形的三邊,求三角形的三角.
【思考】
已知三角形的兩邊及其夾角,三角形的其他元素是否唯一確定?

2.三角形的元素與解三角形
(1)三角形的元素
三角形的________________和它們的_________________叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的_________________求其他_____________的過(guò)程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三個(gè)角能不能解三角形?

【課前基礎(chǔ)演練】
題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此,它適用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知兩邊和其夾角時(shí),△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推論：.

題2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若,
則角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°

題3.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,則c=________.

關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)
類型一 已知兩邊及其一角解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
角度1 已知兩邊及夾角解三角形
【典例】題4.在△ABC中,,求AB的長(zhǎng).

【解題策略】
已知兩邊及其夾角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三邊,其次再利用余弦定理求出一個(gè)角,最后利用內(nèi)角和為π得出第三個(gè)角.
角度2 已知兩邊及一邊對(duì)角解三角形
【典例】題5.在△ABC中,若,則AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4

【解題策略】已知兩邊及角解三角形
(1)已知兩邊及其夾角可以直接運(yùn)用余弦定理求解,如果已知兩邊及一邊對(duì)角亦可以運(yùn)用余弦定理,此時(shí)選用含有此角的形式的余弦定理,然后解關(guān)于未知邊作為變量的一元二次方程,解出未知量后根據(jù)內(nèi)角和為或者利用大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角加以檢驗(yàn).
(2)應(yīng)用余弦定理應(yīng)該注意的事項(xiàng):一定要熟記兩種形式:
①;②,同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的
條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住30°,45°,60°等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.
【題組訓(xùn)練】
題6.在△ABC中,邊a,b的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根,C=60°,則邊c=________.

題7.在△ABC中,已知,則角C=________.

類型二 已知三邊解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【題組訓(xùn)練】題8.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若 ,
則C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°

題9.已知三角形三邊之比為5∶7∶3,則最大角為 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°

題10.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),則A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°

【解題策略】已知三角形的三邊解三角形的方法
(1)利用余弦定理的推論求出兩個(gè)角,最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角.
(2)若已知三角形三邊的比例關(guān)系,常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k,從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解.
【補(bǔ)償訓(xùn)練】
題11.在△ABC中,,則AC邊上的高為 ( )
A. B. C. D.

類型三 余弦定理的綜合應(yīng)用(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
角度1 求值問(wèn)題
【典例】題12.若△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊a,b,c滿足,且C=60°,則ab=________.

【變式探究】
題13.在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,b=a+1=c+2,且,
則△ABC的周長(zhǎng)為________.

角度2 判斷三角形的形狀
【典例】題14.在△ABC中,若,試判斷△ABC的形狀.

【解題策略】
利用余弦定理判斷三角形形狀的兩種途徑
(1)化邊的關(guān)系:將條件中的角,利用余弦定理化為邊的關(guān)系,再變形條件進(jìn)行判斷.
(2)化角的關(guān)系:將條件轉(zhuǎn)化為角與角之間的關(guān)系,通過(guò)三角變換得出關(guān)系進(jìn)行判斷.
【題組訓(xùn)練】
題15.在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,
則角C的值為 ( )

A. B. C.或 D. 或

題16.在△ABC中,,則△ABC一定是 ( )
A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.等邊三角形

題17.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則
△ABC的形狀是 ( )
A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定

【補(bǔ)償訓(xùn)練】
題18.△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知,則( )
A.6 B.5 C.4 D.3

備選類型 余弦定理的實(shí)際應(yīng)用(數(shù)學(xué)建模)
【典例】題19.如圖,海面上一走私船正以每小時(shí)15海里的速度沿方位角120°方向航行,距離走私船18海里處的緝私艇測(cè)得該走私船當(dāng)前的方位角為60°,并即刻以每小時(shí)21海里的速度徑直追趕.

(1)求緝私艇追上走私船所需的最短時(shí)間;
(2)求緝私艇用時(shí)最短的追趕方向(方位角)的余弦值.

【解題策略】解三角形應(yīng)用題的一般步驟
(1)閱讀理解題意,弄清問(wèn)題的實(shí)際背景,明確已知與未知,理清量與量之間的關(guān)系;
(2)根據(jù)題意畫出示意圖,將實(shí)際問(wèn)題抽象成解三角形問(wèn)題的模型;
(3)根據(jù)題意選擇余弦定理求解.
(4)將三角形問(wèn)題還原為實(shí)際問(wèn)題,注意實(shí)際問(wèn)題中的有關(guān)單位問(wèn)題、近似計(jì)算的要求等.
【跟蹤訓(xùn)練】
題20.如圖,在西部某邊防警戒線上有一筆直的公路上,武警邊防支隊(duì)在點(diǎn)A,B,C處設(shè)置了治安卡口,B,C兩點(diǎn)到A的距離分別為11千米和32千米,某一天,B收到來(lái)自防控目標(biāo)P的一個(gè)特殊無(wú)線信號(hào),7秒后A,C同時(shí)接收到該無(wú)線信號(hào),已知該特殊無(wú)線信號(hào)在空氣中的傳播速度是1千米/秒.(假設(shè)該無(wú)線信號(hào)沿直線傳播)
(1)求PA的長(zhǎng)度;
(2)現(xiàn)要更改卡口B的位置,使得卡口B能在最短時(shí)間內(nèi)截獲來(lái)自P處的信號(hào),求此時(shí)P,B兩點(diǎn)間的距離.


課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)
題21.在△ABC中,已知B=120°,a=3,c=5,則b等于 ( )
A.4 B. C.7 D.5

題22.在△ABC中,角A,B,C對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c,,
則b= ( )
A.1 B.2 C.3 D.

題23.已知a,b,c是△ABC的三邊長(zhǎng),若滿足等式(a+b-c)·(a+b+c)=ab,
則角C的大小為 ( )
A.60° B.90° C.120° D.150°

題24.在△ABC中,,則△ABC的形狀為 ( )
A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形

題25.在△ABC中,已知,角C的余弦值是方程的根,求第三邊c的長(zhǎng).
















編號(hào)：017 課題:§11.1 余弦定理
目標(biāo)要求
1、理解并掌握余弦定理、三角形的元素與解三角形基礎(chǔ)知識(shí)．
2、理解并掌握已知兩邊及其一角解三角形問(wèn)題．
3、理解并掌握已知三邊解三角形問(wèn)題．
4、理解并掌握余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容，它涉及三角形的邊、角、面積，以及三角函數(shù)、圓等知識(shí)，綜合性較強(qiáng).在解三角形的教學(xué)中，重點(diǎn)講解如何運(yùn)用正弦定理和余弦定理解三角形問(wèn)題，以及判斷三角形的解.做好解三角形的教學(xué)，不但可以提高學(xué)生的解題能力， 而且還對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思路的發(fā)展有幫助.
重點(diǎn)難點(diǎn)
重點(diǎn)：已知三邊解三角形問(wèn)題；
難點(diǎn)：余弦定理的綜合應(yīng)用問(wèn)題．
教學(xué)過(guò)程
基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)
1.余弦定理
(1)定理
余弦
定理
公式
表達(dá)
,
,
.
語(yǔ)言
敘述
三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍
推論
，，
(2)本質(zhì):把用SAS、SSS判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫,即把幾何中關(guān)于三角形的定性結(jié)論變成了可定量計(jì)算的公式.
(3)應(yīng)用:已知三角形的兩邊及一角求其他邊和角或已知三角形的三邊,求三角形的三角.
【思考】
已知三角形的兩邊及其夾角,三角形的其他元素是否唯一確定?
提示:當(dāng)已知兩邊及其夾角時(shí),不妨設(shè)a,b邊和其夾角C已知,由余弦定理可知, ，c唯一,,因?yàn)?所以B唯一,從而
A也唯一,所以三角形其他元素唯一確定.
2.三角形的元素與解三角形
(1)三角形的元素
三角形的____ 三個(gè)角A,B,C_____和它們的____對(duì)邊 a,b,c ___叫作三角形的元素.
(2)解三角形
已知三角形的____幾個(gè)元素_____求其他__元素___的過(guò)程叫作解三角形.
【思考】已知三角形的三個(gè)角能不能解三角形?
提示:根據(jù)余弦定理知,已知三角形的兩邊及一角或已知三角形的三條邊,可以解三角形,根據(jù)三角形的三個(gè)角,無(wú)法解三角形.
【課前基礎(chǔ)演練】
題1.（多選）下列命題錯(cuò)誤的是 ( )
A. 在三角形中,勾股定理是余弦定理的一個(gè)特例.
B. 余弦定理揭示了任意三角形邊角之間的關(guān)系,因此,它適用于任何三角形.
C. 在△ABC中,已知兩邊和其夾角時(shí),△ABC不唯一.
D. 余弦定理的推論：.
【答案】選CD
提示:A√.余弦定理可以看作勾股定理的推廣.
B√.余弦定理反映了任意三角形的邊角關(guān)系,它適用于任何三角形.
C×.由余弦定理可知,已知△ABC的兩邊和其夾角時(shí),第三邊是唯一確定的,所以△ABC是唯一的.
D×.余弦定理的推論應(yīng)該為：.
題2.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若,
則角C等于 ( )
A.120° B.90° C.60° D.45°
【解析】選A.由余弦定理的推論,得,
所以C=120°.
題3.已知在△ABC中,a=1,b=2,C=60°,則c=________.
【解析】由余弦定理,得,所以.
答案:
關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)
類型一 已知兩邊及其一角解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
角度1 已知兩邊及夾角解三角形
【典例】題4.在△ABC中,,求AB的長(zhǎng).
【思路導(dǎo)引】首先利用二倍角公式求出cos C,然后利用余弦定理求出AB的長(zhǎng).
【解析】,在△ABC中,
由余弦定理得,,
則,所以.
【解題策略】
已知兩邊及其夾角的三角形的解法
首先直接利用余弦定理求出第三邊,其次再利用余弦定理求出一個(gè)角,最后利用內(nèi)角和為π得出第三個(gè)角.
角度2 已知兩邊及一邊對(duì)角解三角形
【典例】題5.在△ABC中,若,則AC= ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【思路導(dǎo)引】利用余弦定理求出AC,再檢驗(yàn)方程的根.
【解析】選A.由余弦定理得, ,將各值代入得,解得或 (舍去!).
【解題策略】已知兩邊及角解三角形
(1)已知兩邊及其夾角可以直接運(yùn)用余弦定理求解,如果已知兩邊及一邊對(duì)角亦可以運(yùn)用余弦定理,此時(shí)選用含有此角的形式的余弦定理,然后解關(guān)于未知邊作為變量的一元二次方程,解出未知量后根據(jù)內(nèi)角和為或者利用大邊對(duì)大角、小邊對(duì)小角加以檢驗(yàn).
(2)應(yīng)用余弦定理應(yīng)該注意的事項(xiàng):一定要熟記兩種形式:
①;②,同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的
條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住30°,45°,60°等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.
【題組訓(xùn)練】
題6.在△ABC中,邊a,b的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根,C=60°,則邊c=________.
【解析】由題意得:a+b=5,ab=2.
由余弦定理得,
所以.
答案:
題7.在△ABC中,已知,則角C=________.
【解析】由余弦定理,得,
所以,得a=3或6.當(dāng)a=3時(shí),A=30°,所以C=120°.
當(dāng)a=6時(shí),因?yàn)?所以A=90°,所以C=60°.
答案:60°或120°
類型二 已知三邊解三角形(數(shù)學(xué)運(yùn)算)
【題組訓(xùn)練】題8.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若 ,
則C= ( )
A.30° B.45° C.60° D.120°
【解析】選C.由題可知,因?yàn)?故C=60°.
題9.已知三角形三邊之比為5∶7∶3,則最大角為 ( )
A.90° B.120° C.135° D.150°
【解析】選B.因?yàn)槿切稳呏葹?∶7∶3,
所以設(shè)三邊長(zhǎng)分別為5a,7a,3a,所以長(zhǎng)為7a的邊對(duì)的角最大,設(shè)這個(gè)角為,
由余弦定理得,
因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角,所以.
題10.在△ABC中,若(a+c)(a-c)=b(b-c),則A等于 ( )
A.90° B.60° C.120° D.150°
【解析】選B.因?yàn)?a+c)(a-c)=b(b-c),所以,
所以.因?yàn)?°