1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量與單位向量．
3、理解并掌握相等向量與共線向量．
4、理解并掌握向量的應(yīng)用.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．
重點難點
重點：相等向量與共線向量；
難點：向量的應(yīng)用．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識點
1.向量與數(shù)量的概念
(1)既有大小又有_________的量叫作向量.
(2)只有大小沒有_________的量叫作數(shù)量.
2.有向線段
(1)定義:具有___________的線段叫作有向線段.
(2)表示方法:以A為起點、B為終點的有向線段記作.
(3)長度:線段AB的長度也叫作有向線段的長度,記作_____________.
(4)三個要素:_____________、方向、長度.
【思考】
向量與有向線段的聯(lián)系和區(qū)別是什么?
3.向量的表示方法
(1)用有向線段表示:用有向線段表示的向量記作_________.有向線段的長度
表示向量的__________,有向線段的方向表示向量的_____________.
(2)字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時,可寫成帶箭頭的小寫字母，….
4.向量的模及兩個特殊向量
(1)向量的模:向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
(2)零向量:長度為__________的向量叫作零向量,記作__________.
(3)單位向量:長度等于_________個單位長度的向量,叫作單位向量.
【思考】
0與相同嗎?0是不是沒有方向?
5.相等向量
(1)定義:長度___________且方向_____________的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量與相等,記作_______________.
6.平行向量(或共線向量)
(1)定義和表示方法
(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個向量的方向關(guān)系,表示兩個共線向量的有向線段所在直線可以平行,也可以重合.
(3)應(yīng)用:
①證明直線與直線平行;②證明三點共線.
【思考】
“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?
7.向量的夾角
(1)定義:已知兩個__________向量,O是平面上的任意一點,作,
則_____________________叫作向量與的夾角(如圖所示).
(2)三種特殊情況:
【思考】
(1)等邊△ABC中,向量所成的角是60°嗎?
(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎?
8.相反向量
【課前基礎(chǔ)演練】
題1.（多選）下列命題錯誤的是 ( )
A. 兩個向量不能比較大小.
B. 任意兩個單位向量都相等.
C. 向量與向量是相等向量.
D. 若,則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點.
題2.已知向量a如圖所示,下列說法不正確的是( )

A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起點是M
D.終點是M
題3.如圖所示,四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形.

(1)寫出與相等的向量:________;
(2)寫出與共線的向量:________.
關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)

類型一 向量的概念、零向量與單位向量(數(shù)學(xué)抽象)
【題組訓(xùn)練】
題4.下列說法中正確的是( )
A.0與表示的含義相同
B.長度為0的向量都是零向量
C.單位向量的模等于1 cm
D.單位向量的方向都相同
題5.如圖,O為邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心.根據(jù)圖中標(biāo)出的向量,回答下列
問題:
(1) 與的長度相等嗎?它們是相等向量嗎?
(2) 與的長度相等嗎?它們平行嗎?它們是相等向量嗎?

題6.判斷下列各命題是否正確.
(1)因為,所以;
(2)因為,所以.
【解題策略】
1.判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件
(1)有大小.(2)有方向.兩個條件缺一不可.
2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量不一定相等.
【補償訓(xùn)練】題7.出下列說法:
①零向量是沒有方向的;
②零向量的長度為0;
③零向量的方向是任意的;
④單位向量的模都相等.
其中正確的是________(填序號).
類型二 相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【題組訓(xùn)練】
角度1 概念辨析
【典例】題8.（多選）有下列說法: 其中,正確的說法是 ( )
A.,則一定不與共線;
B.在?ABCD中,一定有;
C.若,則;
D.共線向量是在一條直線上的向量.
【變式探究】
題9.若,則.判斷此說法是否正確.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
題10.如圖所示,O為正方形ABCD對角線的交點,四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中
所示的向量中:
(1)分別寫出與相等的向量;
(2)寫出與共線的向量.

【解題策略】
1.相等向量的判斷方法
先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向的.
2.共線向量的判斷方法
先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.
3.共線向量與相等向量的關(guān)系
相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.
【題組訓(xùn)練】
題11.給出以下5個條件:①;②;③與的方向相反;④或;
⑤與都是單位向量.其中能使成立的是________.(填序號)
題12.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形.
(1)找出與相等的向量.
(2)找出與共線的向量.

題13.如圖,以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中:
(1)寫出與相等的向量;
(2)寫出與模相等的向量.

類型三 向量的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)
【典例】題14.一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點,然后改變方向向北偏
西40°行駛了200 km到達(dá)C點,又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點.
(1)作出向量;
(2)求.

1.準(zhǔn)確畫出向量的方法和注意事項
(1)方法
①確定向量的起點.
②根據(jù)運動方向確定向量的方向,并根據(jù)向量的大小確定向量的終點.
(2)注意事項
用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點、長度和終點,三者缺一不可.
2.向量的常見應(yīng)用
(1)相等向量的應(yīng)用
利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但在證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.
(2)平行向量的應(yīng)用
用平行向量可以證明直線平行和三點共線,證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.
【跟蹤訓(xùn)練】
題15.如圖所示,在四邊形ABCD中,,N,M分別是AD,BC上的點,且.
求證: .

【補償訓(xùn)練】
題16.如圖所示的方格由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,方格中有定點A,點
C為小正方形的頂點,且,畫出所有可能的向量.

課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)
題17.如圖,在?ABCD中,點E,F分別是AB,CD的中點,圖中與平行的向量的個數(shù)
為( )

A.1 B.2 C.3 D.4
題18.下列說法中正確的是( )
A.若,則
B.模為0的向量的方向是不確定的
C.向量就是有向線段
D.任意兩個單位向量的方向相同
題19.如圖所示,在△ABC中,點D,E分別是AB和AC邊的中點,則下列結(jié)論正確的
是( )

A.和共線B.和共線
C.和共線D.和共線
題20.給出下列幾種說法:
①若A,B,C三點共線,則;
②任一非零向量都可以平行移動;
③長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量.其中說法正確的是________.(填序號)
題21.在如圖所示的坐標(biāo)紙(每個方格的邊長均為1)中,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量.
(1) ,點A在點O正西方向;
(2) ,點B在點O北偏西45°方向;
(3) ,點C在點O南偏東60°方向.

編號：001 課題:§9.1 向量的概念
目標(biāo)要求
1、理解并掌握向量的概念．
2、理解并掌握零向量與單位向量．
3、理解并掌握相等向量與共線向量．
4、理解并掌握向量的應(yīng)用.
學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
向量注重“形”，是幾何學(xué)的基礎(chǔ)，廣泛應(yīng)用于實際生活和生產(chǎn)中.通過數(shù)形結(jié)合，了解向量知識在高中階段的作用．
重點難點
重點：相等向量與共線向量；
難點：向量的應(yīng)用．
教學(xué)過程
基礎(chǔ)知識點
1.向量與數(shù)量的概念
(1)既有大小又有__方向___的量叫作向量.
(2)只有大小沒有__方向___的量叫作數(shù)量.
2.有向線段
(1)定義:具有__方向___的線段叫作有向線段.
(2)表示方法:以A為起點、B為終點的有向線段記作.
(3)長度:線段AB的長度也叫作有向線段的長度,記作_____.
(4)三個要素:__起點___、方向、長度.
【思考】
向量與有向線段的聯(lián)系和區(qū)別是什么?
提示:(1)有向線段是表示向量的一種圖形.
(2)向量只有大小和方向兩個要素,與起點無關(guān),只要大小和方向相同,這兩個向
量就是相同的向量.
(3)有向線段有起點、長度和方向三個要素,起點不同,盡管長度和方向相同,也
是不同的有向線段.
3.向量的表示方法
(1)用有向線段表示:用有向線段表示的向量記作___.有向線段的長度
表示向量的__大小___,有向線段的方向表示向量的__方向___.
(2)字母表示法:在印刷時,用黑體小寫字母a,b,c,…表示向量,手寫時,可寫成帶箭頭的小寫字母，….
4.向量的模及兩個特殊向量
(1)向量的模:向量的大小稱為向量的長度(或稱模),記作.
(2)零向量:長度為_零__的向量叫作零向量,記作__.
(3)單位向量:長度等于_1_個單位長度的向量,叫作單位向量.
【思考】
0與相同嗎?0是不是沒有方向?
提示: 0與不同,0是一個實數(shù), 是一個向量,且||=0. 有方向,其方向是任意的.
5.相等向量
(1)定義:長度__相等___且方向___相同__的向量叫作相等向量.
(2)表示方法:向量與相等,記作____.
6.平行向量(或共線向量)
(1)定義和表示方法
(2)本質(zhì):平行向量反映的是兩個向量的方向關(guān)系,表示兩個共線向量的有向線段所在直線可以平行,也可以重合.
(3)應(yīng)用:
①證明直線與直線平行;②證明三點共線.
【思考】
“向量平行”與“幾何中的平行”一樣嗎?
提示:向量平行與幾何中的直線平行不同,向量平行包括所在直線重合的情況,
故也稱向量共線.
7.向量的夾角
(1)定義:已知兩個__非零___向量,O是平面上的任意一點,作,
則_______叫作向量與的夾角(如圖所示).
(2)三種特殊情況:
【思考】
(1)等邊△ABC中,向量所成的角是60°嗎?
提示:向量所成的角是120°.
(2)向量夾角的范圍與異面直線所成的角的范圍相同嗎?
提示:向量的夾角和直線的夾角范圍是不同的,它們分別是[0,π]和[0, ].
8.相反向量
【課前基礎(chǔ)演練】
題1.（多選）下列命題錯誤的是 ( )
A. 兩個向量不能比較大小.
B. 任意兩個單位向量都相等.
C. 向量與向量是相等向量.
D. 若,則A,B,C,D四點是平行四邊形的四個頂點.
【答案】選BCD
提示:A√. 向量既有大小，還有方向，所以兩個向量不能比較大小.

B×.任意兩個單位向量只是長度相等,方向不一定相同,故不一定相等.
C×.向量與向量方向相反,不是相等向量.
D×.若,則A,B,C,D也可能落在同一條直線上.
故選BCD.
題2.已知向量a如圖所示,下列說法不正確的是( )

A.也可以用表示
B.方向是由M指向N
C.起點是M
D.終點是M
【解析】選D.根據(jù)向量的表示方法判斷即可.
題3.如圖所示,四邊形ABCD和BCEF都是平行四邊形.

(1)寫出與相等的向量:________;
(2)寫出與共線的向量:________.
答案:(1) (2)
關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)

類型一 向量的概念、零向量與單位向量(數(shù)學(xué)抽象)
【題組訓(xùn)練】
題4.下列說法中正確的是( )
A.0與表示的含義相同
B.長度為0的向量都是零向量
C.單位向量的模等于1 cm
D.單位向量的方向都相同
【解析】選B.0與表示的含義是不同的.0表示數(shù)量,但表示零向量,其中.
因此A錯誤;由零向量的定義知B正確;單位向量的模等于1個單位長度,而不是具
體的1 cm,因此C錯誤;單位向量的方向要因具體情況而定,因此D錯誤.
題5.如圖,O為邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心.根據(jù)圖中標(biāo)出的向量,回答下列
問題:
(1) 與的長度相等嗎?它們是相等向量嗎?
(2) 與的長度相等嗎?它們平行嗎?它們是相等向量嗎?

【解析】(1)與的長度相等,都是1,
即,但與不是相等向量.
(2) ,且,但與不是相等向量,因為與的方向
相反.
題6.判斷下列各命題是否正確.
(1)因為,所以;
(2)因為,所以.
【解析】(1)不正確. 表示以A為起點,B為終點,方向從A指向B; 表示以B為
起點,A為終點,方向從B指向A;雖然,但與的方向不同.
(2)不正確.向量是既有大小又有方向的量,而數(shù)量只有大小沒有方向,故.
【解題策略】
1.判斷一個量是否為向量的兩個關(guān)鍵條件
(1)有大小.(2)有方向.兩個條件缺一不可.
2.理解零向量和單位向量應(yīng)注意的問題
(1)零向量的方向是任意的,所有的零向量都相等.
(2)單位向量不一定相等,易忽略向量的方向.
提醒:兩個單位向量的模相等,但這兩個單位向量不一定相等.
【補償訓(xùn)練】題7.出下列說法:
①零向量是沒有方向的;
②零向量的長度為0;
③零向量的方向是任意的;
④單位向量的模都相等.
其中正確的是________(填序號).
【解析】由零向量的方向是任意的,知①錯誤,③正確;由零向量的定義知②正確;由單位向量的模是1,知④正確.
答案:②③④
類型二 相等向量與共線向量(數(shù)學(xué)抽象、直觀想象)
【題組訓(xùn)練】
角度1 概念辨析
【典例】題8.（多選）有下列說法: 其中,正確的說法是 ( )
A.,則一定不與共線;
B.在?ABCD中,一定有;
C.若,則;
D.共線向量是在一條直線上的向量.
【思路導(dǎo)引】依據(jù)相等向量和共線向量的定義逐個判斷.要特別注意向量共線與平面幾何中多點共線的區(qū)別.
【答案】BC
【解析】對于A,兩個向量不相等,可能是長度不相等,但方向相同或相反,所以與有共線的可能,故A不正確;對于B,在?ABCD中, ,與平行且方向相同,所以,故B正確;對于C, ,則,且與方向相同; ,則,且與方向相同,所以與方向相同且模相等,故,故C正確;對于D,共線向量可以是在一條直線上的向量,也可以是所在直線互相平行的向量,故D不正確.
故選BC.
【變式探究】
題9.若,則.判斷此說法是否正確.
【解析】因為當(dāng)時, 可以是任意向量,故不一定平行;只有當(dāng)時,
才有,則.
角度2 相等向量、平行向量
【典例】
題10.如圖所示,O為正方形ABCD對角線的交點,四邊形OAED,OCFB都是正方形.在圖中
所示的向量中:
(1)分別寫出與相等的向量;
(2)寫出與共線的向量.

【思路導(dǎo)引】(1)找與(或)長度相等且方向相同的向量;
(2)找與方向相同或相反的向量.
【解析】(1)因為,且與的方向相同,所以與相等的向量是.同理,與相等的向量是.
(2)因為AO∥DE∥BF,A,O,C三點共線,
所以與共線的向量是.
【解題策略】
1.相等向量的判斷方法
先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量,再確定哪些是同向的.
2.共線向量的判斷方法
先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段,再構(gòu)造同向或反向的向量.
3.共線向量與相等向量的關(guān)系
相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量.若兩向量相等,則兩向量方向相同,模相等;若兩向量共線,則兩向量方向相同或相反.
【題組訓(xùn)練】
題11.給出以下5個條件:①;②;③與的方向相反;④或;
⑤與都是單位向量.其中能使成立的是________.(填序號)
【解析】相等向量一定是共線向量,①能使;方向相同或相反的向量一定是共線向量,③能使;零向量與任一向量平行,④成立.
答案:①③④
題12.如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形.
(1)找出與相等的向量.
(2)找出與共線的向量.

【解析】(1)由四邊形ABCD是平行四邊形,四邊形ABDE是矩形知, 與的長度相等且方向相同,所以與相等的向量為.
(2)由題干圖可知, 與方向相同, 與方向相
反,所以與共線的向量有.
題13.如圖,以1×2方格紙中的格點(各線段的交點)為起點和終點的向量中:
(1)寫出與相等的向量;
(2)寫出與模相等的向量.

【解析】(1)與相等的向量為,與相等的向量為.
(2)與模相等的向量為.
類型三 向量的應(yīng)用(直觀想象、邏輯推理)
【典例】題14.一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點,然后改變方向向北偏
西40°行駛了200 km到達(dá)C點,又改變方向,向東行駛了100 km到達(dá)D點.
(1)作出向量;
(2)求.

1.準(zhǔn)確畫出向量的方法和注意事項
(1)方法
①確定向量的起點.
②根據(jù)運動方向確定向量的方向,并根據(jù)向量的大小確定向量的終點.
(2)注意事項
用有向線段來表示向量是向量的幾何表示,必須確定起點、長度和終點,三者缺一不可.
2.向量的常見應(yīng)用
(1)相等向量的應(yīng)用
利用向量的相等,可以證明線段相等或直線平行,但在證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.
(2)平行向量的應(yīng)用
用平行向量可以證明直線平行和三點共線,證明直線平行時需說明兩向量所在的直線無公共點.
【跟蹤訓(xùn)練】
題15.如圖所示,在四邊形ABCD中,,N,M分別是AD,BC上的點,且.
求證: .

【證明】因為,所以,且AB∥CD,所以四邊形ABCD是平行
四邊形.所以,且DA∥CB.
又因為與的方向相同,所以.
同理可證四邊形CNAM是平行四邊形,所以.
因為,
所以,DN∥MB,即與的模相等且方向相同,所以.
【補償訓(xùn)練】
題16.如圖所示的方格由若干個邊長為1的小正方形并在一起組成,方格中有定點A,點
C為小正方形的頂點,且,畫出所有可能的向量.

【解析】畫出所有的向量,如圖:

課堂檢測·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)
題17.如圖,在?ABCD中,點E,F分別是AB,CD的中點,圖中與平行的向量的個數(shù)
為( )

A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】選C.圖中與平行的向量為共3個.
題18.下列說法中正確的是( )
A.若,則
B.模為0的向量的方向是不確定的
C.向量就是有向線段
D.任意兩個單位向量的方向相同
【解析】選B.與方向不同但模相等時, ,故A錯誤;模為0的向量為零向量,
零向量的方向是不確定的,B正確;有向線段是向量的幾何表示,是個圖形,而向量是帶方向的量,不是有向線段,C錯誤;任意兩個單位向量的長度相等,但方向不一定相同,D錯誤.
題19.如圖所示,在△ABC中,點D,E分別是AB和AC邊的中點,則下列結(jié)論正確的
是( )

A.和共線B.和共線
C.和共線D.和共線
【解析】選A.因為點D,E分別是AB和AC邊的中點,所以DE∥BC,所以和共線;選項B,C,D中的向量不共線.
題20.給出下列幾種說法:
①若A,B,C三點共線,則;
②任一非零向量都可以平行移動;
③長度不等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量.其中說法正確的是________.(填序號)
【解析】①正確.由A,B,C三點共線可知, 與方向相同或相反,所以;
②正確.方向相同且長度相等的兩個向量是相等向量,這說明任一非零向量都可以平行移動;
③錯誤.方向相反的兩個向量是共線向量.
答案:①②
題21.在如圖所示的坐標(biāo)紙(每個方格的邊長均為1)中,用直尺和圓規(guī)畫出下列向量.
(1) ,點A在點O正西方向;
(2) ,點B在點O北偏西45°方向;
(3) ,點C在點O南偏東60°方向.

【解析】如圖所示:
定義
方向__________或__________的非零向量叫作平行向量.
規(guī)定:__________與任一向量平行.任一組平行向量
都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也
叫作__________向量.
表示方法
向量與平行,記作_______________
對于任意向量,都有.
與的夾角θ
與的關(guān)系
0
與__________
π
與__________
與_________,記作________
定義
與向量長度__________,方向__________的向量,叫作的相反向量,
記作___________
規(guī)定
零向量的相反向量仍是零向量
結(jié)論
和互為相反向量,于是-(-)=__________
______
如果互為相反向量,那么______
四步
內(nèi)容
理解
題意
條件:從A點出發(fā),向西行駛100 km到達(dá)B點,向北偏西40°行駛200 km到達(dá)C點,向東行駛100 km到達(dá)D點.結(jié)論:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根據(jù)題意作出向量即可.(2)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再求.
書寫
表達(dá)
(1)向量,如圖所示.
(2)由題意,易知與方向相反,故與共線.又,所以在四邊形ABCD中, .所以四邊形
ABCD為平行四邊形.所以 km.
注意書寫的規(guī)范性:①注意向量加箭頭;②畫圖時注意向
量的方向,也就是箭頭的方向.
題后
反思
向量有大小和方向,但是起點、終點不是固定的,可以平行移動.
定義
方向__相同___或__相反___的非零向量叫作平行向量.
規(guī)定:___零向量____與任一向量平行.任一組平行向量
都可以平移到同一條直線上,因此,平行向量也
叫作__共線___向量.
表示方法
向量與平行,記作_____
對于任意向量,都有.
與的夾角θ
與的關(guān)系
0
與__同向___
π
與__反向___
與__垂直___,記作_____
定義
與向量長度__相等___,方向__相反___的向量,叫作的相反向量,
記作___
規(guī)定
零向量的相反向量仍是零向量
結(jié)論
和互為相反向量,于是-(-)=__
__
如果互為相反向量,那么__
四步
內(nèi)容
理解
題意
條件:從A點出發(fā),向西行駛100 km到達(dá)B點,向北偏西40°行駛200 km到達(dá)C點,向東行駛100 km到達(dá)D點.結(jié)論:(1)作出向量;(2)求.
思路
探求
(1)根據(jù)題意作出向量即可.(2)先證四邊形ABCD為平行四邊形,再求.
書寫
表達(dá)
(1)向量,如圖所示.
(2)由題意,易知與方向相反,故與共線.又,所以在四邊形ABCD中, .所以四邊形
ABCD為平行四邊形.所以 km.
注意書寫的規(guī)范性:①注意向量加箭頭;②畫圖時注意向
量的方向,也就是箭頭的方向.
題后
反思
向量有大小和方向,但是起點、終點不是固定的,可以平行移動.

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高中數(shù)學(xué)蘇教版 (2019)必修 第二冊電子課本

9.1 向量概念

版本： 蘇教版 (2019)

年級： 必修 第二冊

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