2023屆天津市第三十二中學高三上學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．設(shè)集合，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題意可得：.本題選擇B選項.【解析】 集合的運算【名師點睛】集合的交、并、補運算問題，應(yīng)先把集合化簡再計算，常常借助數(shù)軸或韋恩圖進行處理.2．設(shè)，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】等價變形給定的不等式，再利用它們所對集合的包含關(guān)系即可作答.【詳解】不等式化為：，于是得“”所對集合為，不等式化為：，于是得“”所對集合為，顯然?，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B3．直線被圓截得的弦長為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圓的方程可得圓心和半徑，利用點到直線距離公式可求得圓心到直線距離，利用垂徑定理可求得弦長.【詳解】由圓的方程可知：圓心，半徑，圓心到直線的距離，直線被圓截得的弦長為.故選：C.4．已知直線與直線垂直，則a的值為（    ）A．1 B．0 C．－1 D．0或1【答案】D【分析】根據(jù)兩直線垂直列方程，解方程即可得到.【詳解】因為兩直線垂直，所以，解得或1.故選：D.5．已知向量與的夾角為，則（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】A【分析】由數(shù)量積公式結(jié)合得出答案.【詳解】解：因為向量與的夾角為，所以所以故選：A6．為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（    ）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.        7．過點的直線與圓：交于，兩點，當弦取最大值時，直線的方程為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心，然后根據(jù)直線的兩點式方程寫出答案即可【詳解】圓：化為 所以圓心坐標 要使過點的直線被圓所截得的弦取最大值時，則直線過圓心由直線方程的兩點式得： ，即 故選：A8．已知，則的值為（    ）A． B．18 C． D．15【答案】A【分析】原式可除以化簡成，代入求值即可【詳解】，代入可算得原式的值為.故選：A9．已知，關(guān)于該函數(shù)有下列四個說法：①的最小正周期為；②在上單調(diào)遞增；③當時，的取值范圍為；④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到．以上四個說法中，正確的個數(shù)為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及變換法則即可判斷各說法的真假．【詳解】因為，所以的最小正周期為，①不正確；令，而在上遞增，所以在上單調(diào)遞增，②正確；因為，，所以，③不正確；由于，所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，④不正確．故選：A．     二、填空題10．i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________.【答案】4–i    【詳解】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則整理計算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運算法則得：.點睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運算法則及其應(yīng)用，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.11．已知向量．若，則______________．【答案】##【分析】直接由向量垂直的坐標表示求解即可.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：. 12．若直線與圓相切，則_____．【答案】【分析】利用點到直線距離公式求出圓心到直線的距離，即為半徑.【詳解】由題意得：的圓心為，故.故答案為：13．若，則=______．【答案】#【分析】根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，化簡為齊次式，代入即可求解.【詳解】因為，可得.故答案為：#.14．已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點在圓C上，且圓心到直線的距離為，則圓C的方程為__________.【答案】【詳解】試題分析：設(shè)，則，故圓C的方程為【解析】直線與圓位置關(guān)系【名師點睛】求圓的方程有兩種方法：（1）代數(shù)法：即用“待定系數(shù)法”求圓的方程．①若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設(shè)圓的標準方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解．②若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F的方程組求解．（2）幾何法：通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓的位置關(guān)系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標準方程． 15．在中，，，. 若，，且，則的值為______________.【答案】【詳解】 ,則.【解析】向量的數(shù)量積【名師點睛】根據(jù)平面向量的基本定理，利用表示平面向量的一組基地可以表示平面內(nèi)的任一向量，利用向量的定比分點公式表示向量，計算數(shù)量積，選取基地很重要，本題的已知模和夾角，選作基地易于計算數(shù)量積. 三、解答題16．在中，角所對的邊分別為已知.（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由余弦定理求出，即可得出角C的大?。?/span>（2）由正弦定理即可求出答案；（3）求出，由二倍角公式求出，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（1）在中，由余弦定理及，有，又因為，所以.（2）在中，由正弦定理及.可得.（3）由及，可得，，，所以.【點晴】本題主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等變換在解三角形中的應(yīng)用，關(guān)鍵點是熟練掌握有關(guān)公式的運用，考查學生的數(shù)學運算能力.17．在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳解】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又， 所以，，而，所以，故．18．已知函數(shù)，．（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）最小值和最大值．【詳解】試題分析：（1）由已知利用兩角和與差的三角函數(shù)公式及倍角公式將的解析式化為一個復(fù)合角的三角函數(shù)式，再利用正弦型函數(shù)的最小正周期計算公式，即可求得函數(shù)的最小正周期；（2）由（1）得函數(shù)，分析它在閉區(qū)間上的單調(diào)性，可知函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，由此即可求得函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．也可以利用整體思想求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值．由已知，有的最小正周期．（2）∵在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，，∴函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值為，最小值為．【解析】1．兩角和與差的正弦公式、二倍角的正弦與余弦公式；2．三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性． 19．直三棱柱中，，D為的中點，E為的中點，F為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求平面與平面所成二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)(3) 【分析】（1）以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可證得結(jié)論成立；（2）利用空間向量法可求得直線與平面夾角的正弦值；（3）利用空間向量法可求得平面與平面夾角的余弦值.【詳解】（1）證明：在直三棱柱中，平面，且，則以點為坐標原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、、、、、、、，則，易知平面的一個法向量為，則，故，平面，故平面.（2）解：，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，.因此，直線與平面夾角的正弦值為.（3）解：，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，因此，平面與平面夾角的余弦值為.20．如圖，垂直于梯形所在平面，，為中點，，，四邊形為矩形．(1)求證：平面；(2)求二面角的大?。?/span>(3)在線段上是否存在一點，使得與平面所成角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)(3)存在， 【分析】（1）首先以點為原點，建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用，即可證明線面垂直；（2）分別求平面和的法向量和，利用公式，即可求解；（3）首先利用向量共線，設(shè)點，利用線面角的向量公式，即可求得的值.【詳解】（1）證明：以為原點，以，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，由題意得，，，，，，，，則，平面的一個法向量，，，由，取，得，，，平面；（2）設(shè)平面的一個法向量，，，由，取，解得設(shè)平面的一個法向量，由圖可知二面角為銳二面角，二面角的大小為；（3）設(shè)存在點滿足條件，由，，設(shè)，整理得，，直線與平面所成角的大小為，，則，由，得，即點和點重合，故在線段上存在一點，且． 

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