平面與平面平行 【教學(xué)目標(biāo)】1．通過(guò)學(xué)習(xí)空間兩平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。2．借助兩平面平行的判定與性質(zhì)的學(xué)習(xí)，提升邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。【教學(xué)重難點(diǎn)】1．掌握空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系，并會(huì)判斷。2．掌握空間平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并能應(yīng)用這兩個(gè)定理解決問(wèn)題。3．平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用。【教學(xué)過(guò)程】一、問(wèn)題導(dǎo)入我們知道，如果平面α與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，則α∥β。同直線與平面平行類似，用定義來(lái)判定平面與平面平行并不容易，那么平面與平面平行有什么更好的判定方法呢？二、新知探究1．平面與平面間的位置關(guān)系【例1】  已知下列說(shuō)法：①若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a∥b；②若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b是異面直線；③若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b一定不相交；④若兩個(gè)平面α∥β，a?α，b?β，則a與b平行或異面；⑤若兩個(gè)平面α∩β＝b，a?α，則a與β一定相交。其中正確的是________（將你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上)。③④  [①錯(cuò)。a與b也可能異面；②錯(cuò)。a與b也可能平行；③對(duì)。∵α∥β，∴α與β無(wú)公共點(diǎn)。又∵a?α，b?β，∴a與b無(wú)公共點(diǎn)；④對(duì)。由已知及③知：a與b無(wú)公共點(diǎn)，那么a∥b或a與b異面；⑤錯(cuò)。a與β也可能平行。]【教師小結(jié)】兩個(gè)平面的位置關(guān)系有兩種：平行和相交，沒(méi)有公共點(diǎn)則平行，有公共點(diǎn)則相交。2．平面與平面平行的判定【例2】  如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點(diǎn)，求證：（1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；（2)平面EFA1∥平面BCHG。[解]  （1)因?yàn)?/span>G，H分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，所以GH是△A1B1C1的中位線，所以GH∥B1C1．又因?yàn)?/span>B1C1∥BC，所以GH∥BC，所以B，C，H，G四點(diǎn)共面。（2)因?yàn)?/span>E，F分別是AB，AC的中點(diǎn)，所以EF∥BC．因?yàn)?/span>EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，所以EF∥平面BCHG。因?yàn)?/span>A1G∥EB，A1G＝EB，所以四邊形A1EBG是平行四邊形，所以A1E∥GB．因?yàn)?/span>A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，所以A1E∥平面BCHG。因?yàn)?/span>A1E∩EF＝E，所以平面EFA1∥平面BCHG。【教師小結(jié)】判定面面平行的常用方法：（1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)；（2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面；（3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β；（4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ。 3．面面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用[探究問(wèn)題]（1）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)。你能證明直線EG∥平面BDD1B1嗎？[提示]  如圖，連接SB，∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB．又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1．∴直線EG∥平面BDD1B1．（2）上述問(wèn)題中，條件不變，請(qǐng)證明平面EFG∥平面BDD1B1．[提示]  連接SD．∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD．又∵SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1．又EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1．【例3】  如圖，已知平面α∥β，P?α，且P?β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝________。[思路探究]  面面平行?線線平行?分線段比例相等。  [因?yàn)?/span>AC∩BD＝P，所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD，因?yàn)?/span>α∥β，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD．所以＝，即＝。所以BD＝。]【母題探究】（1）將本例改為：若點(diǎn)P位于平面α，β之間（如圖)，其他條件不變，試求BD的長(zhǎng)。[解]  與本例同理，可證AB∥CD．所以＝，即＝，所以BD＝24．（2）將本例改為：已知平面α∥β∥γ，兩條直線l，m分別與平面α，β，γ相交于點(diǎn)A，B，C與D，E，F。已知AB＝6，＝，求AC．[解]  由題圖可知＝?AC＝·AB＝×6＝15．【教師小結(jié)】應(yīng)用平面與平面平行性質(zhì)定理的基本步驟三、課堂總結(jié)1．本節(jié)課的重點(diǎn)是空間兩平面位置關(guān)系的判斷和平面與平面平行的性質(zhì)定理與判定定理，難點(diǎn)是平面平行的判定定理與性質(zhì)定理的應(yīng)用。2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法（1)能夠判斷空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系。（2)平面與平面平行的判定定理。（3)平面與平面平行的性質(zhì)定理。3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是應(yīng)用平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行證明時(shí)條件應(yīng)用不全面致誤。四、課堂檢測(cè)1．判斷（正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)（1）沒(méi)有公共點(diǎn)的兩平面平行。 （    ）（2）若兩個(gè)平面都平行于同一條直線，則這兩個(gè)平面平行。 （    ）（3）若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等，則這兩個(gè)平面平行。????????????? （    ）[答案]  （1）√  （2）×  （3）×[提示]  （1）由平面與平面平行的定義知正確。（2）若兩個(gè)平面都平行于同一條直線，兩平面可能平行，也可能相交，故錯(cuò)誤。（3）兩平面可能相交。2．已知a，b表示直線，α，β，γ表示平面，下列推理正確的是（    ）A．若α與β相交，a?α，b?β，則a與b一定相交B．若a?α，b?β，a∥b，則α∥βC．a∥β，b∥β，a?α，b?α?α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥bD  [A錯(cuò)誤，a與b，可能平行也可能是異面直線；由平面與平面平行的判定定理知B、C錯(cuò)誤；由平面與平面平行的性質(zhì)定理知，D正確。]3．梯形ABCD中，AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，則直線CD與平面α的位置關(guān)系是________。CD∥α  [因?yàn)?/span>AB∥CD，AB?平面α，CD?平面α，由線面平行的判定定理可得CD∥α。]4．如圖所示，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD＝DC＝PD．E，F，G分別為線段PC，PD，BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△PDC折起，使點(diǎn)P?平面ABCD．求證：平面PAB∥平面EFG。[證明]  ∵PE＝EC，PF＝FD，∴EF∥CD，又∵CD∥AB，∴EF∥AB，又EF?平面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面PAB，同理可證EG∥平面PAB．又∵EF∩EG＝E，∴平面PAB∥平面EFG。 

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高中數(shù)學(xué)人教B版 (2019)必修 第四冊(cè)電子課本

11.3.3 平面與平面平行

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